萬有引力公式-經(jīng)典例題

1、萬有引力公式 - 經(jīng)典例題-作者 : _-日期 : _萬有引力定律及其應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò) :天體運(yùn)萬有引力定地球衛(wèi)一、萬有引力定律 ：（ 1687 年）f g m1m2 r 2適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r 為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；g 為萬有引力恒量（ 1798 年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出）g6.6710 11 nm 2 / kg 2二、萬有引力定律的應(yīng)用1解題的相關(guān)知識：（1）在高考試題中，應(yīng)用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點(diǎn)：一是天體運(yùn)動(dòng)的向心力來源于天體之間的萬有引力，即gmmv2422r ；二是地球?qū)ξ矬w的萬有引力近r2m2 m2 r mrt似等于物體的重力，即 g mm2mg

2、 從而得出 gm r2 g。r 2（2）圓周運(yùn)動(dòng)的有關(guān)公式：，v=r 。t討論：mmv2可得： vgmr 越大， v 越小。由 gr 2m r 2r由 g mmm 2 r 可得：gmr3r 越大， 越小。r 2由 g mmm 22r 可得： t2r 3gm r 越大， t 越大。r 2t由 gmmgmr 越大， a 向 越小。r 2ma向 可得： a向r 22點(diǎn)評：需要說明的是，萬有引力定律中兩個(gè)物體的距離，對于相距很遠(yuǎn)因而可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體就是指兩質(zhì)點(diǎn)的距離；對于未特別說明的天體，都可認(rèn)為是均勻球體，則指的是兩個(gè)球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運(yùn)動(dòng)都近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2常見題型萬有引力定律的應(yīng)

3、用主要涉及幾個(gè)方面：（1）測天體的質(zhì)量及密度 ：（萬有引力全部提供向心力）mm222r34由 gmr 得 mr2tgt 243得3 r 3又 mrgt2 r33【例 1】中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大。現(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為 t= 1 s。問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦30解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。(引力常數(shù) g=6.67 10 11 m 3 /kg.s 2 )解析：設(shè)想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時(shí)，中子星才不會瓦解。設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為 m ，半徑為 r，自轉(zhuǎn)角速度為，位于

4、赤道處的小物塊質(zhì)量為m，則有 gmmm 2 r2m4 r3r2t3由以上各式得3，代入數(shù)據(jù)解得：1.27 1014 kg / m3。gt 2點(diǎn)評：在應(yīng)用萬有引力定律解題時(shí)，經(jīng)常需要像本題一樣先假設(shè)某處存在一個(gè)物體再分析求解是應(yīng)用萬有引力定律解題慣用的一種方法。（2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）3g， 在 星表面有表面重力加速度：mmmg0g0gmgr2r2 道重力加速度：gmmmghghgmr h 2r h2【例 2】一 星 某行星做勻速 周運(yùn) ，已知行星表面的重力加速度 g0，行星的 量 m與 星的 量 m 之比 m/m=81，行星的半徑 r0 與 星的半

5、徑 r 之比 r0/r 3.6，行星與 星之 的距離 r 與行星的半徑 r0 之比 r/r060。 星表面的重力加速度 gmmr 2mg 算得出： 星表面的重力加速度 行星表面的重力加速度的1/3600。上述 果是否正確？若正確，列式 明；若有 ，求出正確 果。解析： 中所列關(guān)于 g 的表達(dá)式并不是 星表面的重力加速度，而是 星 行星做勻速 周運(yùn) 的向心加速度。正確的解法是gmgmr02 mg 星表面r2 g行星表面r02 =g0即 ( r)m=g0即 g =0.16g0。（3）人造 星、宇宙速度：人造 星分 （略）：其中重點(diǎn)了解同步 星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與 星 射速度的區(qū) ）【例

6、3】我國自行研制的“ 云一號”、“ 云二號”氣象 星運(yùn)行的 道是不同的。“一號”是極地 形 道 星。其 道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地球同步 星。兩 星相比號離地面 高；號 察范 大；號運(yùn)行速度 大。若某天上午8 點(diǎn)“ 云一號”正好通 某城市的上空，那么下一次它通 城市上空的 刻將是。解析：根據(jù)周期公式 t= 2r 3gm 知，高度越大，周期越大， “ 云二號” 氣象 星離地面 高；根據(jù)運(yùn)行 道的特點(diǎn)知，“ 云一號” 察范 大；根據(jù)運(yùn)行速度公式v=gmr 知，高度越4小，速度越大，則“風(fēng)云一號”運(yùn)行速度較大，由于“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的周期是 12h，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測，

7、在這種軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時(shí)時(shí)間保持不變。則下一次它通過該城市上空的時(shí)刻將是第二天上午8 點(diǎn)。【例 4】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿足下列條件（）a 、與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓b、與地球表面上某一經(jīng)度線是共面的同心圓c、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是運(yùn)動(dòng)的d、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是靜止的解析：衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供,且萬有引力始終指向地心，因此衛(wèi)星的軌道不可能與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓，故a 是錯(cuò)誤的。由于地球在不停的自轉(zhuǎn)，即使是極地衛(wèi)星的軌道也不可能與任一條經(jīng)度線是共面的

8、同心圓，故b 是錯(cuò)誤的。赤道上的衛(wèi)星除通信衛(wèi)星采用地球靜止軌道外，其它衛(wèi)星相對地球表面都是運(yùn)動(dòng)的，故c、d 是正確的。【例 5】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為r，地面處的重力加速度為 g，地球自轉(zhuǎn)的周期為t。解析：如果周期是 12 小時(shí)，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測。如果周期是6 小時(shí)，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行四次觀測。如果周期是24n 小時(shí)，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行n 次觀測。設(shè)上星運(yùn)行周期為 t

9、1，則有 gmmm 4 2 ( h r)( hr) 2t125gmm 0m0 g 解得： t12(h r)3物體處在地面上時(shí)有2rgr在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為t ，即在日照條件下有 t 次經(jīng)過赤道上空，所以每次攝像t1t1機(jī)拍攝的赤道弧長為2 r2 r，將 t1 結(jié)果代入得4 2(h r) 3st1sgtttt1【例 6】在地球（看作質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（）a 它們的質(zhì)量可能不同b它們的速度可能不同c它們的向心加速度可能不同d它們離地心的距離可能不同解析：同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力提供。設(shè)地球的質(zhì)量為m，

10、同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球半徑為 r，同步衛(wèi)星距離地面的高度為h，由 f 引=f 向 ， gmm=m 4 2（r+h）得： h= 3 gmt 2-r，可見同步衛(wèi)星離地心的距離是一定(r h) 2t 24 2的。mmv2gm由 g(rh)2=m rh 得： v=r h ,所以同步衛(wèi)星的速度相同。由 gmm=ma 得： a= gm即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。(rh)2h) 2(r由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應(yīng)是固定的。所以正確選項(xiàng)為 a 。點(diǎn)評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關(guān)知識必須引起高度重視，因?yàn)樵诟呖荚囶}中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且

11、和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星。其運(yùn)行軌道與赤道平面重合。622【例 7】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r 可由 r 3 ab2c 求出，已知式中 a 的單位是 m， b 的單4位是 s，c 的單位是 m/s2，則：a a 是地球半徑， b 是地球自轉(zhuǎn)的周期， c 是地球表面處的重力加速度；ba 是地球半徑。 b 是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期，c 是同步衛(wèi)星的加速度；ca 是赤道周長， b 是地球自轉(zhuǎn)周期， c 是同步衛(wèi)星的加速度da 是地球半徑， b 是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期，c 是地球表面處的重力加速度。解析：由萬有引力定律導(dǎo)出人造地球衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)半徑的表達(dá)式，再將其與題給表達(dá)式中各項(xiàng)對比，以明確式

12、中各項(xiàng)的物理意義。ad 正確?！纠?8】我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載人航天試驗(yàn)飛船“神舟三號”送入預(yù)定軌道，飛船繞地球遨游太空t7 天后又順利返回地面。飛船在運(yùn)動(dòng)過程中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)，獲得圓滿成功。設(shè)飛船軌道離地高度為h，地球半徑為 r，地面重力加速度為g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈 ?(用給定字母表示 )。若 h 600 km，r6400 km，則圈數(shù)為多少 ?解析：（1）在軌道上gmmv2( rh) 2mrhv=2 (rh) t在地球表面： gmm=mg r2聯(lián)立式得： t= 2 ( rh)rhrg故 n= ttrgt2 (r h)r h7代人數(shù)據(jù)得： n=

13、105 圈（4）雙星問題：【例 9】兩個(gè)星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測得兩星中心距離為r，其運(yùn)動(dòng)周期為t，求兩星的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為m 1 和 m2，都繞連線上o 點(diǎn)作周期為 t 的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1 和星球2 到 o 的距離分別為 l和 l 。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得m：gm 1m 2m1121r 2（22l42 r2l1）1m t2gt 2對 m2：g m 1m 2 m2（ 2 ）2 l2m 1 4 2 r2l 2r 2tgt 242 r242 r3兩式相加得 m1m 2（l 1l2）。gt 2gt 2（

14、5）有關(guān)航天問題的分析：【例 10】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為 h3. 4 105m 的圓軌道上運(yùn)行了47 小時(shí)。求在這段時(shí)間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑r=6.37 106m，重力加速度 g9.8m/s2）解析：用 r 表示飛船圓軌道半徑 r=h+ r=6. 71 106m 。m 表示地球質(zhì)量， m 表示飛船質(zhì)量，表示飛船繞地球運(yùn)行的角速度，g 表示萬有引力常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得gmmm2rr 2利用 gmg 得gr22由于2， t 表示周期。解得r 2r 3tt 2 rr ，又 n= t 代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為 n=31。rgt【例 11】2003 年 10 月 16

15、日北京時(shí)間 6 時(shí) 34 分，中國首位航天員楊利偉乘坐“神舟”五號飛船在內(nèi)蒙古中部地區(qū)成功著陸，中國首次載人航天飛行任務(wù)獲得圓滿成功。中國由此成為世界上繼俄、美之后第三個(gè)有能力將航天員送上太空的國家。據(jù)報(bào)道，中國首位航天員楊利偉乘坐的“神8舟”五號載人飛船，于北京時(shí)間十月十五日九時(shí)，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征二號f”型運(yùn)載火箭發(fā)射升空。此后，飛船按照預(yù)定軌道環(huán)繞地球十四圈，在太空飛行約二十一小時(shí)，若其運(yùn)動(dòng)可近似認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船距地面高度約為340 千米，已知萬有引力常量為g=6.6710 11 牛米2 /千克 2，地球半徑約為 6400 千米，且地球可視為均勻球體，則試根據(jù)以上條件估算

16、地球的密度。（結(jié)果保留 1 位有效數(shù)學(xué)）解析：設(shè)地球半么為 r，地球質(zhì)量為 m，地球密度為 ；飛船距地面高度為h，運(yùn)行周期為t，飛船質(zhì)量為 m。t213600s=5400s據(jù)題意題 t14n飛船沿軌道運(yùn)行時(shí)有f引mm42 m(rh)f向即gh)2t 2(r而 mv4 r33由式得：3 (rh) 3gt 2 r 3代入數(shù)據(jù)解得33.14(6400 103340103 ) 36 103 kg/m36.67 10 11 54002(6400103 )3（6）天體問題為背景的信息給予題近兩年，以天體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現(xiàn)，不僅考查學(xué)生對知識的掌握，而且考查考生從材料、信息中

17、獲取有用信息以及綜合能力。這類題目一般由兩部分組成：信息給予部分和問題部分。信息給予部分是向?qū)W生提供解題信息，包括文字?jǐn)⑹觥?shù)據(jù)等，內(nèi)容是物理學(xué)研究的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是圍繞信息給予部分來展開，考查學(xué)生能否從信息給予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關(guān)鍵所在。9【例 12】 地球質(zhì)量為 m，半徑為 r，自轉(zhuǎn)角速度為。萬有引力恒量為g，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0，則質(zhì)量為 m 的物體離地心距離為r 時(shí)，具有的萬有引力勢能可表示為e pg mm 。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的r一個(gè)巨大人

18、造天體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實(shí)驗(yàn)。設(shè)空間站離地面高度為h，如果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m 的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，由該衛(wèi)星在離開空間站時(shí)必須具有多大的動(dòng)能？解析：由 g mmmv2得，衛(wèi)星在空間站上動(dòng)能為 ek1 mv 2gmmr 2r22( r h)衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為epgmm(rh)機(jī)械能為 e1 ek e pmmg2( r h)同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)行時(shí)有g(shù) mmm2 r 故其軌道半徑 r3 mgr 22由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能e2g mm1m3 g 2 m 2 22r2衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，故離開航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)為e2

19、 設(shè)離開航天飛機(jī)時(shí)衛(wèi)星的動(dòng)能為 ekx 則 ekx e2e p1 m3 g 2 m 2 2 g mm2rh【例 13】 1997 年 8 月 26 日在日本舉行的國際學(xué)術(shù)大會上，德國maxplanck學(xué)會的一個(gè)研究組宣布了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的根據(jù)是用口徑為3.5m 的天文望遠(yuǎn)鏡對獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測所得的數(shù)據(jù)。他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中約 60 億千米的星體正以2000km/s 的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見提示 2）通過計(jì)算確認(rèn)，如果銀河系中心確實(shí)存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數(shù)是 g6.671

20、020km3kg 1s 2）10解析：表面上的所有物質(zhì)，即使速度等于光速c 也逃脫不了其引力的作用。本題的題源背景是銀河系中心的黑洞，而題目的“提示”內(nèi)容則給出了本題的基本原理：（1）它是一個(gè)“密度極大的天體”，表面引力強(qiáng)到“包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都逃脫不了其引力的作用”，（ 2）計(jì)算采用“拉普拉斯黑洞模型”。這些描繪當(dāng)代前沿科學(xué)的詞匯令人耳目一新，讓人感到高深莫測。但是反復(fù)揣摩提示就會看到，這些詞句恰恰是本題的“眼”，我們據(jù)此可建立起“天體環(huán)繞運(yùn)動(dòng)模型”，且可用光速c 作為“第一宇宙速度”來進(jìn)行計(jì)算。設(shè)位于銀河系中心的黑洞質(zhì)量為m ，繞其旋轉(zhuǎn)的星體質(zhì)量為m，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有： g mm2=m v2rr根據(jù)拉普拉斯黑洞模型有：mmc2g2 =mrr聯(lián)立上述兩式并代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得：r2.67105