高三數(shù)學(xué)教案：向量與圓錐曲線

1、專題 12向量與圓錐曲線 高考在考什么【考題回放】1點(diǎn) p(-3,1) 在橢圓x2y21(a b0) 的左準(zhǔn)線上 .過點(diǎn) p 且方向為 a=(2,-5) 的a2b2光線 ,經(jīng)直線 y =-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn),則這個橢圓的離心率為(a )( a )3( b )1( c )21332( d )22已知雙曲線 x2 y2uuuuruuuur1的焦點(diǎn)為 f1 、f2，點(diǎn) m 在雙曲線上且0, 則mf 1mf 22點(diǎn) m 到 x 軸的距離為（ c）（ a ） 4（ b） 5（ c） 2 3（ d） 33333設(shè)過點(diǎn) p( x,y)的直線分別與x 軸的正半軸和y 軸的正半軸交于a,b 兩點(diǎn)，點(diǎn) q

2、與點(diǎn) p 關(guān)于 y 軸對稱， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若uuuruuuruuuruuurbp2pa且oq ab1 ，則點(diǎn)p的軌跡方程g是（d ）a 3x23 y21(x0, y0)b 3x23 y21(x0, y0)3 x223 x22c3y21(x0, y0)d3 y21(x0, y0)224 已知兩點(diǎn)m （ 2 ， 0 ）、 n （ 2， 0 ），點(diǎn)p為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足mnmpmnnp0 ，則動點(diǎn) p（ x， y）的軌跡方程為（b ）（ a ） y 28 x（ b） y 28 x（ c） y24 x（ d ） y 24 x5若曲線 y2 |x| 1與直線 y kx b 沒有公共點(diǎn)，則k、 b

3、 分別應(yīng)滿足的條件是uuuuruuur k0,b (1,1)6已知兩定點(diǎn) f12,0 , f22,0，滿足條件 pf2pf12 的點(diǎn) p 的軌跡是曲線 e，直線 y=kx- 1 與曲線 e 交于 a,b 兩點(diǎn)。如果ab 63 ，且曲線 e 上存在點(diǎn)uuuruuuruuurc，使 oaobmoc ，求 m 的值和abc 的面積 s?！緦＜医獯?】由雙曲線的定義可知，曲線e 是以f12,0,f22,0為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且 c2, a1 ，易知 b 1，故曲線e 的方程為 x2y21 x0y kx 1設(shè) a x1, y1 , b x2 , y2 ，由方程組x2 y2 1第1頁共9頁消去 y ，得

4、 1k 2x22kx20又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)a, b ，有1k 2028 1 k202kx1x22k0解得2k11k 2x1 x2201 k 2又ab1 k 2 x1x21 k2x1x224x1x22k221k22k21 k 24211k22k 21k 2依題意得21k 22k263整理后得28k455 k22501k2 2 k 25 或 k 25但 2 k1 k5742故直線 ab 的方程為5 xy102uuuruuurxc , ycuuur設(shè) c，由已知 oaobmoc ，得 x1 , y1x2 , y2mxc , myc xc , ycx1x2 , y1my2 ， m 0m又

5、x x2k4 5， y y k x x22k 222k21k218121212k21點(diǎn) c45 , 8將點(diǎn) c 的坐標(biāo)代入曲線e 的方程，得 80641mm ，m2m2得 m4 ，但當(dāng) m4 時，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意 m4， c 點(diǎn)的坐標(biāo)為5, 2， c 到 ab 的距離為552121235122 abc 的面積 s163 13 .23 高考要考什么【考點(diǎn)透視】近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向為第2頁共9頁（ 1）考查學(xué)生對平面向量的概念、加減運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及學(xué)生對平面向量知識的簡單運(yùn)用，如向量共線、垂直、定比分點(diǎn)。（ 2）考查學(xué)生把向量作為工具的運(yùn)用能力，如求軌

6、跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系?！緹狳c(diǎn)透析】向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，故它是聯(lián)系多項知識的媒介，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)，數(shù)學(xué)高考重視能力立意，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計試題，因此，解析幾何與平面向量的融合交匯是今后高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢。要注意以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題以及圓錐曲線中的軌跡、范圍、最值、定值、對稱等典型問題。 突破重難點(diǎn)【范例 1】設(shè)雙曲線 x 2y 21 上兩點(diǎn) a 、 b ，ab 中點(diǎn) m （1， 2）（ 1）求直線 ab 方程；2（ 2）如果線段 ab 的垂直平

7、分線與雙曲線交于c、 d 兩點(diǎn)，那么 a 、 b 、c、 d是否共圓，為什么？解析： （ 1）法一：顯然 ab斜率存在。設(shè) ab ： y-2=k(x-1)ykx2k由2得(2-k22-2k(2-k)x-k2+4k-6=0y1)xx 22當(dāng) 0 時，設(shè)a（ x1,y1）， b（ x2,y2），則x1x 2k(2k )22k 2 k=1 ，滿足 0 直線 ab ： y=x+12y 121法二：設(shè) a （x,y ）， b （x ,y ）， 則x 1211222x 22y 212兩式相減得 (x1-x)(x +x)=(y-y)(y1+y2)212112212y1y 22(x 1x 2 ) k ab21

8、 x xx 2y 1y 221x 1 ab ： y=x+1代入 x 2y21 得 0.2（ 2）設(shè) a 、b、c、d 共圓于 m ，因 ab 為弦，故 m 在 ab 垂直平分線即cd 上；又 cd 為弦，故圓心 m 為 cd 中點(diǎn)。因此只需證 cd 中點(diǎn) m 滿足 |m a|=|m b|=|m c|=|m d|yx1由y2得 a（ -1， 0）， b （ 3， 4） . 又 cd 方程： y=-x+3x 212yx3由y 21得 x2+6x-11=0.設(shè) c(x3,y3)， d(x4,y4)，cd 中點(diǎn) m ( x0,y0)x 22第3頁共9頁x 3x 43, y0x 0 3 6 m （ -3

9、， 6）則 x 02 |m c|=|m d|= 1 |cd|= 2 10 2又 |m a|=|m b|= 2 10 |m a|=|m b|=|m c|=|m d| a 、b 、c、 d 在以 cd 中點(diǎn)， m （ -3， 6）為圓心， 2 10 為半徑的圓上【點(diǎn)晴】 第（ 1）小題中法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時，必須檢驗條件 0 是否成立；第（ 2）小題此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗是否滿足所有條件，本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心。充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清

10、晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視?！疚摹?在平面直角坐標(biāo)系x o y 中，直線 l 與拋物線 y2 2x 相交于 a 、 b 兩點(diǎn)（ 1）求證： “如果直線 l 過點(diǎn) t（ 3， 0），那么 oa ob 3”是真命題；（ 2）寫出（ 1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由解 （ 1）設(shè)過點(diǎn)t(3,0) 的直線 l 交拋物線 y2=2x 于點(diǎn) a( x1,y1)、 b( x2,y2).當(dāng)直線 l 的鈄率不存在時 ,直線 l 的方程為 x=3, 此時 ,直線 l 與拋物線相交于點(diǎn) a(3,6 )、 b(3, 6 ). oa ob =3；k ( x 3) ，其中 k0 ，當(dāng)直線 l 的

11、鈄率存在時 ,設(shè)直線 l 的方程為 y由 y22 x得 ky 22y 6k 0 y y26yk ( x3)1又 1212x12 y1 , x22 y2 ，uuuruuur12gy1 y24 ( y1 y2 ) y1 y23，oa ob x1 x2綜上所述，命題 “如果直線l過點(diǎn)t(3,0)，那么oa ob ”是真命題；=3(2) 逆命題 是：設(shè)直線 l 交拋物線 y2=2x 于 a 、b 兩點(diǎn) ,如果 oa ob =3, 那么該直線過點(diǎn) t(3,0). 該命題是 假命題 .a(2,2) ， b(1uuur uuur例如：取拋物線上的點(diǎn)g直線 ab的方程為：2,1)，此時 oa ob =3,y

12、23 ( x 1) ，而 t(3,0) 不在直線 ab 上；說明：由拋物線 y2=2 x 上的點(diǎn) a (x 1 ,y1)、b (x 2 ,y2 ) 滿足 oa ob =3，可得 y1y2= 6，或 y1y2=2 ，如果 y1y2= 6，可證得直線 ab 過點(diǎn) (3,0)；如果 y1y2=2，可證得直線 ab 過點(diǎn) ( 1,0),而不過點(diǎn) (3,0).【范例 2】已知 i , j是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a = ( x3) i yj ,b = ( x3) iyj 且滿足 b ? i=| a |.求點(diǎn)p( x,y)的軌跡.,rrr( xr 2r3 ，解：法一： q bi3) iyij x

13、 x3( x3)2y2，化簡得y24 3x ，故點(diǎn) p 的軌跡是以 (3 ,0)為焦點(diǎn)以 x3 為準(zhǔn)線的拋物線第4頁共9頁rrrr r法二： q bi|b | cosb, iyr則 b i 表示 b 在 x 軸上的投影，dp( x, y)即點(diǎn) p 到 x3 的距離，設(shè) f 1 (-3 ,0)， f 2(3,0)，所以點(diǎn)p到定點(diǎn)f 2的距離與到定直線x3 的距離相等，f1of2 kx故點(diǎn) p 的軌跡是以 (3 ,0)為焦點(diǎn)以x3x 3 為準(zhǔn)線的拋物線?！军c(diǎn)晴】 將向量問題坐標(biāo)化進(jìn)而數(shù)量化（法一）和將向量問題幾何化（法二）是兩種常用轉(zhuǎn)化方法，應(yīng)熟練掌握?！?文 】 已 知 i , j是 x,y 軸

14、 正 方 向 的 單 位 向 量 ， 設(shè) a = ( x3) i yj , b =( x3)i yj 且滿足| a |+|b |=4.,(1) 求點(diǎn) p(x,y) 的軌跡 c 的方程 .(2) 如果過點(diǎn) q(0 ，m) 且方向向量為c=(1,1)的直線 l 與點(diǎn) p 的軌跡交于 a ， b 兩點(diǎn)，當(dāng)aob 的面積取到最大值時，求m 的值。解： (1)a = (x3)iyj , b = (x3)iyj ,且 | a |+| b |=4.點(diǎn) p(x,y) 到點(diǎn) (3 ,0)，(-3 ,0)的距離這和為4，故點(diǎn) p 的軌跡方程為 x 2y 21(2) 設(shè) a( x ， y ),b( x， y )依題

15、意直線ab 的方程為4y=x+m . 代入橢圓方程，得11225x 28mx4m240，則 x1 + x2 =- 58 m,x1 ? x 2 = 54 (m21)因此， s aob12ab d52(5m2 ) m2當(dāng) 5 m2m 2 時，即 m=210 時， smax1【范例 3】已知點(diǎn) a(22 ，0)，b(2 ，0)動點(diǎn) p 滿足 ap ab2 | ab | | bp |(1) 若動點(diǎn) p 的軌跡記作曲線c1，求曲線 c1 的方程 .(2) 已知曲線1交 y 軸正半軸于點(diǎn)q，過點(diǎn) d （0，2）作斜率為 k 的直線交曲c3線 c1 于 m 、 n 點(diǎn)，求證：無論k 如何變化，以mn 為直徑

16、的圓過點(diǎn)q.解：（ 1）設(shè) p(x，y)，則有 ap ( x22, y)ab(2,0)bp(x2, y) apab2 | ab | | bp |2x422(x2) 2y 2得 x 22y 24（ 2）由 x2y21得 q (0，2 )設(shè)直線 c 的方程為 y=kx -2423代入 x2+2y2=4 得 (1+2k 2) x242 kx32039設(shè) m(x 1，y1) n(x 2， y2)qm( x1 , y12 ), qn( x2 , y22)第5頁共9頁 x1x42kx1x2322)k 29(12k 2 )3(1又 qm qn x1 x2(kx14 2 ) (kx24 2 ) = x1x2

17、(1 k 2 )33423232 (1 k2 )4242k32x2 )93k (x1912k 2k3(12k 2 )039 qmqn點(diǎn) q 在以 mn為直徑的圓上 .【點(diǎn)晴】 直接法求軌跡是最常見的方法，要注意運(yùn)用；向量是將幾何問題代數(shù)化的有力工具?！疚摹?如圖，過拋物線 x2=4y 的對稱軸上任一點(diǎn)p（ 0,m）(m0) 作直線與拋物線交于 a ， b 兩點(diǎn)，點(diǎn) q 是點(diǎn) p 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn) .設(shè)點(diǎn) p 分有向線段 ab 所成的比為，證明 :qp(qaqb) ；解：依題意，可設(shè)直線ab 的方程為 ykxm,代入拋物線方程x24 y 得 x24kx4m0.設(shè) a 、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x1

18、 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ),則 x1 、 x2 是方程的兩根 . 所以x1 x24m.由點(diǎn) p（ 0， m）分有向線段ab 所成的比為，得 x1x20,即x1 .1x2又點(diǎn) q 是點(diǎn) p 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，故點(diǎn) q 的坐標(biāo)是（ 0， m），從而 qp(0,2m) .qaqb (x1 , y1m)( x2 , y2 m) ( x1x2 , y1y2(1)m).qp (qaqb)2m y1y2(1)m2m x12x1x22(1x1 ) n2m( x1x2 )x1x24m4x24x24x22m(x1x2 )4m4m0.4x2所以qp(qaqb).uuuruuur【范例 4】已知 a,

19、b 為拋物線 x2=2 py(p0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，0 ，點(diǎn) coa ob坐標(biāo)為（ 0， 2p）（ 1）求證： a,b,c 三點(diǎn)共線；uuuuruuur（ 2）若 am bm （0 試求點(diǎn) m 的軌跡方程。r ）且 omab（ 1）證明：設(shè)x12x22uuuruuur0 得a( x1 , 2 p), b(x2 , 2 p )，由 oa ob第6頁共9頁x1 x2x12 x220, x1x24 p2 ，2 p 2 puuur2uuur22又 q ac ( x1 ,2 px1 ), ab (x2x1, x2x1 )2 p2 px1x22x12(2 px12 ) (x2x1) 0，uuur2 p2

20、puuurac / ab ，即 a,b,c 三點(diǎn)共線。uuuuruuur（ 2）由（ 1）知直線0 及 am bm （r）ab 過定點(diǎn) c，又由 omab知 omab，垂足為 m，所以點(diǎn) m 的軌跡為以 oc 為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)m的軌跡方程為 x2+(y-p)2=p2(x0， y 0)?！军c(diǎn)晴】 兩個向量的平行（共線）與垂直的充要條件在解析幾何中有重要應(yīng)用。在解題時尤其要注意幾何位置向量表達(dá)式坐標(biāo)表示之間的轉(zhuǎn)化?！疚摹?已知雙曲線 m：x2y2=1，直線 l 與雙曲線 m 的實軸不垂直，且依次交直線y=x、雙曲線 m、直線 y= x 于 a、 b、 c、 d 四點(diǎn)， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)

21、uuuruuuruuur(1)若 abbccd ，求 aod 的面積；uuuruuuruuur(2)若 boc 的面積等于 aod 面積的 1 ，求證： abbccd 3解：（ 1）設(shè) l : y kxb代入 x2y21,y得(1 k2) x22bkxb210. ll(1)a顯然 k1,4b2 k 24(1 b2 )(1k 2 )0 ,b即 b2(1k 2 )0 .設(shè) b( x1 , y1 ),c( x2 , y2 ),則x1 , x2是方程 (1) 的兩ocx2d個根，有x1x22bk(1b).1k 2 , x1 x21 k 2l設(shè) a( x3 , y3 ), d ( x4 , y4 )yk

22、xb,b;由yx,得 x31。kykxb,bq ab bc cd ,所以 x1x21 x3x4 。由yx,得x41k32bk22412b9所以4b, 整理，得 b2( k21).1k 21k 23 1k 28qb20,2又 qoa2bod2b,aod90 ,k1.,1k1k2s aob1 oaodb29 .21 k8（ 2）設(shè) bc的中點(diǎn)為 p,ad的中點(diǎn) q,則 xpx1x2bk, xqx3x4bk,212k 21 k 2第7頁共9頁xp xq , 又 p, q都在直線上, 所以 p , q重合 .apdp ,ap bpdpcp ,abcd .又 s boc1 s aod ,bc1 ad,a

23、bcd2ad ,ab bc cd .333 自我提升1、平面直角坐標(biāo)系中，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知a （ 3，1）， b（ -1， 3），若點(diǎn) c 滿足 ocoaob ，其中r，且=1，則點(diǎn) c 的軌跡方程為 (d)a 3x+2y-11=0 b (x-1)2 +(y-2) 2=5c 2x-y=0d x+2y-5=02、已知 i , j 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè)a = (x 2)iyj , b = ( x2)iyj ,且滿足 | a |+|b |=4.則點(diǎn) p(x,y)的軌跡是 .( c )a 橢圓b雙曲線c線段d 射線3、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0， 52 )的橢圓被直線3x y 2=

24、0 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 ，則橢圓方程為 (c )2a. 2x22 y21b. 2x22 y21 c. x2y21 d. x2y2125757525257575254、直線 y=kx+1與橢圓x 2y251恒有公共點(diǎn)，則 m的取值范圍是（ a ）.ma 、 m1且 m 5b、 m 1c、 m 5d 、 m55、已知 i, j 是 x,y 軸正方向的單位向量， 設(shè) a = (x3)iyj , b = (x3)iyj ,且滿足 | a |-| b |=2.則點(diǎn) p(x,y)的軌跡 c 的方程為 _.(x2y21(x0) ).26已知 a 、b 為拋物線 x2=2 py (p0) 上兩點(diǎn)，直線

25、 ab 過焦點(diǎn) f，a 、b 在準(zhǔn)線上的射影分別為 c、d ，則 y 軸上恒存在一點(diǎn)k，使得 ka ? kf0 ； cf ? df0 ；存在實數(shù)使得adao ；若線段ab中點(diǎn) p 在在準(zhǔn)線上的射影為t ，有ft ? ab0 。中說法正確的為 _7已知圓 x2+y2=1 ，雙曲線 (x-1)2-y2=1，直線 l 同時滿足下列兩個條件：與雙曲線交于不同兩點(diǎn)； 與圓相切， 且切點(diǎn)是直線與雙曲線相交所得弦的中點(diǎn)。求直線 l 方程。分析： 選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把條件“l(fā) 是圓的切線 ”“切點(diǎn) m 是弦 ab 中點(diǎn) ”翻譯為關(guān)于參數(shù)的方程組。法一：當(dāng) l 斜率不存在時， x=-1 滿足；當(dāng) l 斜率存在時，設(shè) l： y=kx+b與 o 相切，設(shè)切點(diǎn)為m，則 |om |=1| b |1 b2=k2+1k 21ykxb得 (1-k2)x2-2