三角形角平分線地結(jié)論及應(yīng)用

1、淺議三角形角平分線的結(jié)論及應(yīng)用摘要：一個(gè)角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段。本文主要談兩點(diǎn)：關(guān)于三角形的內(nèi)、外角平分線的夾角的問題和關(guān)于三角形內(nèi)、外角平分線的交點(diǎn)問題。關(guān)于三角形的內(nèi)、外角平分線的夾角問題：（1）三角形兩內(nèi)角平分線的夾角等于90度與三角形第三個(gè)內(nèi)角的一半的和。（2）三角形兩外角平分線的夾角等于90度與三角形第三個(gè)內(nèi)角的一半的差。（3）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角平分線的夾角等于三角形第三個(gè)內(nèi)角的一半（4）三角形兩內(nèi)角平分線的夾角與兩外角平分線的夾角互補(bǔ)或相等。關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線的交點(diǎn)問題：（5）三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形的三邊的距離相

2、等（6）三角形兩外角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊所在的直線相等，并且這點(diǎn)在三角形第三個(gè)內(nèi)角的平分線上等關(guān)鍵詞：三角形角平分線 夾角 交點(diǎn) 變式練習(xí)一個(gè)三角形的角平分線不外乎就是內(nèi)角的平分線和外角的角平分線。在學(xué)習(xí)過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生善于對三角形的角平分線的基本圖形進(jìn)行歸納，對角平分線的性質(zhì)和結(jié)論做好總結(jié)，這樣對以后知識的積累有很大的幫助，對解決復(fù)雜的幾何證明題也更便捷。下面就三角形角平分線的相關(guān)結(jié)論逐一探討。結(jié)論一：如圖1、在ABC中，、的角平分線的交與點(diǎn)D，試探究：D=。解：BD、CD為角平分線， （圖1） 。 在中：（） （） （）變式練習(xí)的題目有（1）如圖2、在ABC中，、的角平分線的交與

3、點(diǎn)D，D=100，則A的度數(shù)是 度。解:由結(jié)論1得知，D=。則=2D180，容易得出=20 （圖2）（2）如圖3: 在四邊形ABCD中，D=120， A=100 、的角平分線的交與點(diǎn)E，試求BEC的度數(shù)。 解： A+D=360又D=120， A=100+=140 BE、CE分別是、的角平分線EBC+ECB=70. （圖3）BEC=110. 結(jié)論二、 如圖4，ABC中，為的兩條外角平分線的交點(diǎn)，試探究：DA解：、為角平分線CBD= （圖4） 在中：（） （）（）（） A 變式練習(xí)的題目：（1）如圖5，ABC中，A=60，為的兩外角CBE與BCE的三等分線的交點(diǎn)，則D的度數(shù)是 。 解：、為CBE與

4、BCE三等分線CBD= 在中：（） （圖5）（） （） （）12A 100. （圖6）（2）如圖6，在中，三個(gè)外角的平分線所在的直線相交構(gòu)成DEF，試判斷DEF的形狀。 解:由結(jié)論二容易得出D90ACB, E90BCA 、F90ABC， 由于D、E、F都小于90，所以DEF是銳角三角形 結(jié)論三、 如圖7，在中，與的外角的平分線交與點(diǎn)D，試探究：。解：為角平分線，又為的平分線. =E， （圖7） E（E） 。變式練習(xí)的題目有;（1）如圖8，如圖，在ABC中，延長BC到D,ABC與ACD的角平分線相較于點(diǎn)，BC與CD的平分線交與點(diǎn)，以此類推，若A=96，則= 度解：由命題的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律A可以直

5、接得：=96=3 （圖8）結(jié)論四、如圖9，在ABC中，、的角平分線的交與點(diǎn)D，的兩條外角平分線交與點(diǎn)E，試探究：D+E=180證明：由結(jié)論一可知;D= 則=2D180 由結(jié)論二可知：EA =180 2E 由可知2D180= 180 2E （圖9）由此得出D+E=180變式練習(xí)的題目：如圖10，點(diǎn)M是ABC兩個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是ABC兩個(gè)外角的平分線的交點(diǎn)，如果CMBCNB=32，那么CAB= 度 由結(jié)論四可知，CMB+CNB=180，CMBCNB=32，CMB=1803=108，由結(jié)3可知，90+12CAB=CMB=108，CAB=36 （圖10）結(jié)論五： 如圖11, ABC中、的角平

6、分線BN、CM的交與點(diǎn)P，,求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明;過點(diǎn)P作PD AB、PEBC、PFCA， 垂足分別是D、E、F BN是的角平分線，PD AB、PEBC PD=PE 同理 PE=PF. （圖11） PD=PE=PF. 即點(diǎn)P到邊AB、BC、 CA的距離相等變式練習(xí)的題目有: （1）已知，如圖12，求證:的三條角平分線相交于一點(diǎn)P證明；假設(shè)ABC、ACB的平分線交于點(diǎn)P. 則過點(diǎn)P作過點(diǎn)P作PD AB、PEBC、PFCA, 垂足分別是D、E、F BN是的角平分線，PD AB、PEBC PD=PE 同理 PE=PF. PD=PF. PD AB、PFCA,點(diǎn)P在A的平分線上

7、 （圖12）即A、ABC、ACB的平分線相交于一點(diǎn)P（2）已知ABC中、的角平分線的交與點(diǎn)D，,求證：點(diǎn)D在A的平分線上（證明略） 結(jié)論六：如圖13，點(diǎn)E是ABC一個(gè)內(nèi)角平分線BE與一個(gè)外角平分線CE的交點(diǎn)，求證:AE是ABC的外角平分線.證明：如圖：則過點(diǎn)E作過點(diǎn)P作EG AC、EFBD、EHBH,垂足分別是G、F 、HBE是ABC的平分線, EFBD、EHBH, 即EF=EG=EH可得：EH=EF 同理：EG=EF EG=EH EG AC、EHBH, （圖13）AE是ABC的外角平分線變式練習(xí)題目：（1）如圖14，直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等

8、,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處 （圖14）解：由以上很容易得到答案：D（2）如圖15，的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)F求證：點(diǎn)F到三邊，所在直線的距離相等 （證明略）(3) 點(diǎn)D是ABC兩個(gè)外角平分線BD、CD的交點(diǎn)， 求證:AD是CAB的角平分線。 (證明略) （圖15）掌握以上知識，那么完成以下題目就很輕松喲！1、（ 2011年湖北省鄂州是中考題）ABC的外角ACD的平分線CP的內(nèi)角ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若BPC=40，則CAP=_解：由結(jié)論六可知:AP是ABC的一個(gè)外角的平分線由結(jié)論三可知：BPC. BPC=40A=80. A的相鄰?fù)饨鞘?00， （圖16）所以CAP=50 2、(2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題)如圖17，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，ACB的平分線與ABC的外角平分線交與E點(diǎn)，連接AE，則AEB= 度解：由結(jié)論六可以知道：AE是ABC的一個(gè)外角平分線,由結(jié)論二可知：AEB=90ACB 由此可得AEB=9090=45 （圖17） 從上面的做題過程來看題目中