三年級奧數(shù)-周長

1、三年級奧數(shù) - 周長-作者 : _-日期 : _第六講幾何問題（一）知識點(diǎn)撥基本概念周長：封閉圖形一周的長度就是這個圖形的周長面積：物體的表面或封閉圖形的大小，叫做它們的面積基本公式：長方形的周長 2 (長 寬 )，面積 長 寬正方形的周長 4 邊長，正方形的面積 邊長 邊長常用方法：對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長和面積，對于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法割補(bǔ)成基本圖形，利用長方形、正方形周長及面積計算的公式求解轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法 ：在轉(zhuǎn)化過程中要抓住 “變”與“不變 ”兩個部分轉(zhuǎn)化后的圖形雖然形狀變了，但其周長和面積不應(yīng)該

2、改變，所以在求解過程中不能遺漏掉某些線段的長度或某部分圖形的面積轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為周長或面積可求的圖形尋求正確有效的解題思路 ：意味著尋找一條擺脫困境、繞過障礙的途徑因此，我們在解決數(shù)學(xué)問題時，思考的著重點(diǎn)就是要把所需解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題也就是說，在直接求解不容易或很難找到解題途徑的問題時，我們往往轉(zhuǎn)化問題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，知道最終把它轉(zhuǎn)化成一個或若干個能解決的問題這種解決問題的思想在數(shù)學(xué)中叫 “化歸”，它是數(shù)學(xué)思維中重要的思想和方法原有圖形結(jié)對稱新的圖形結(jié)旋轉(zhuǎn)在原有圖形結(jié)構(gòu)在新的圖形結(jié)構(gòu)0在幾何中，有許多圖形是由一些基本圖形組合、拼湊而成的這樣的圖形我

3、們稱為不規(guī)則圖形不規(guī)則圖形的面積往往無法直接應(yīng)用公式計算那么，不規(guī)則圖形的面積怎樣去計算呢？對稱、旋轉(zhuǎn)、平移這幾種幾何變換就是解決這類面積問題的手段平移：在平面圖形的計算中，常常要將一個平面圖形移動到平面上的另一個位置進(jìn)行計算其中，將圖形沿一個固定方向的移動叫做平移，一個圖形經(jīng)過平行移動不改變其形狀與大小，所以圖形面積是保持不變的利用圖形的平移，可以使面積計算問題的解法簡捷明快，頗有新意割補(bǔ)：割補(bǔ)法在我國古代叫 “出入相補(bǔ)原理 ”，我國古代魏晉時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注中就明確地提出 “出入相補(bǔ)，各從其類 ”的出入相補(bǔ)原理這個原理的內(nèi)容是幾何圖形經(jīng)過分、合、移、補(bǔ)所拼湊成的新圖形，它的面

4、積不變對稱：平面圖形中有許多簡單漂亮的圖形都是軸對稱圖形軸對稱圖形沿對稱軸折疊，軸兩側(cè)可以完全重合也就是說，如果一個圖形是軸對稱圖形，那么對稱軸平分這個圖形的面積熟悉軸對稱圖形這個性質(zhì)，對面積計算會有很大幫助代換：在幾何計算中，對有關(guān)數(shù)量進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q也是解決問題的已知技巧本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的周長，體會一種轉(zhuǎn)化思想，重點(diǎn)在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、割補(bǔ)、差不變原理，通過這些方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會求周長的技巧，提高學(xué)生的觀察能力、動手操作能力、綜合運(yùn)用能力例題精講【例 1】 下圖表示一塊地，四周都用籬笆圍起來，轉(zhuǎn)彎處都是直角已知西邊籬笆長17米，南邊籬笆長23米

5、四周籬笆長多少米？北a北d西 17東西 17c東b2323南南【解析】因?yàn)檫@塊地的東邊和北邊的籬笆轉(zhuǎn)彎處是直角，可以將東西方向的籬笆平移到最外邊得到線段 ad ，將南北方向的籬笆平移到最外邊得到線段 bd ，則折線 acb 的長等于折線 adb 的長所以東邊和北邊籬笆的長分別和西邊、南邊的籬笆長相等列式為：四周籬笆長為： （2317） 280 (米)1【鞏固】 (希望杯培訓(xùn)題 )右圖的周長是分米7分米6分米【解析】把那些與水平方向平行的小線段都 ”放”下來，恰好與底邊一致；把豎直方向的小線段都依次 ”貼到 ”左邊，恰好貼滿左邊，因此多有的短橫線的長的和為 6 分米，所有的短豎線的長的和為 7

6、分米，圖形的周長為（67） 226 (分米 )【鞏固】 計算右邊圖形的周長 (單位：厘米 )。1015【解析】要求這個圖形的周長，似乎不可能，因?yàn)槿鄙贄l件。但是，我們仔細(xì)觀察這個圖形，發(fā)現(xiàn)它的每一個角都是直角，所以，我們可以將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動到虛線處 (見右下圖 )，這樣正好移補(bǔ)成一個長方形。求長方形的周長就易如反掌了。所以圖形的周長是： (1015)250 (厘米 )?！纠?2】 下圖中標(biāo)出的數(shù)表示每邊長，單位是厘米它的周長是多少厘米？【解析】 平移轉(zhuǎn)化為求長方形的周長，長方形的長5+6=11(厘米 )，寬 1+3=4(厘米 )，周長 (11+4) 2=30(厘米

7、)，(5+6)+(1+3) 2=30(厘米 )，它的周長是30 厘米【鞏固】 如下圖是某校的平面圖，已知線段a120 米， b130 米， c70 米， d 60 米， l 250 米楊老師每天早晨繞學(xué)校跑 3 圈，問每天跑多少米？2【解析】 平移法轉(zhuǎn)化為長方形再求(120 130+60) (70+250) 23 3780(米 )【鞏固】圖 、圖 都是由完全相同的正方形拼成的，并且圖 的周長是 22 厘米，那么圖 的周長是多少厘米？(1)(2)【解析】圖 的周長是小正方形邊長的 12 倍，圖 的周長是小正方形邊長的 18 倍，因此，圖 的周長為 22 12 18 33 厘米【例 3】 下圖的小

8、正方形邊長為1 厘米這個圖形的外沿的周長是多少厘米？【解析】 28 厘米【例 4】 一個周長是 20 厘米的正方形，剪下一個周長是6 厘米的正方形，剩下的圖形的周長是 (寫出所有可能的結(jié)果 )【解析】周長為 6 厘米的正方形的邊長為： 6 4 1.5 (厘米 )，周長為 20 厘米的正方形的邊長為 20 4 5 (厘米 )，在一個正方形中剪下一個小正方形有兩種情況：圖 1圖 23對于圖 1 的周長，與原來正方形的周長相等，為 20 厘米；圖 2 的周長，觀察可以發(fā)現(xiàn)，比原來正方形的周長多了兩條小正方形的邊，即為： 20 1.5 2 23 (厘米 )【鞏固】 求右圖的周長【解析】 140 厘米【

9、例 5】 求下圖的周長 【解析】 通過平移轉(zhuǎn)化為右上圖，周長等于大長方形周長加上ab、 cd 的長，即有周長為 (50+35) 2+102=190(厘米 )【例 6】 (第七屆 ”小機(jī)靈杯 ”數(shù)學(xué)競賽初賽)下面兩張圖中，周長較大的是 (在橫線上填寫表示圖名的字母)a10b1414【解析】 通過平移比較發(fā)現(xiàn) b 比 a 多兩小第段題邊，得 b 的周長較大【鞏固】如下圖，正方形操場邊長 100 米，一只螞蟻沿甲地走了一圈，另一只螞蟻沿乙地走了一圈，誰走的路長？ 它們各走了多少米？4【解析】我們分別求甲、乙的周長甲的周長可轉(zhuǎn)化為長方形周長 (如圖 )，即為 (100+50+30) 2=360(米)再

10、求乙的周長 乙的周長等于長方形周長加上 2 個 30 米，即為 (100+50) 2+302=360(米 )所以它倆走的一樣長【鞏固】 求右圖所示圖形的周長 (單位：分米 )505010【解析】這道題最簡單的方法也是用平移法來解下面我們來看一個基本解法這是一個組合圖形，由兩個矩形組成，不要誤認(rèn)為兩個矩形周長的和就是組合圖形的周長仔細(xì)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：右邊矩形的右邊邊長可以移到左邊，這樣就可以使左邊的矩形變得完整所以，這個組合圖形的周長就是左邊矩形的周長再加上右邊矩形的一條已知邊長的 2 倍即：（5010） 2502220(分米 )【例 7】 如圖是一個機(jī)器零件的側(cè)面圖，圖中每一條最短線段長5

11、厘米，這個零件高 30 厘米，求這個零件側(cè)面的周長是多少厘米？【解析】采用平移，零件側(cè)面的周長等于長方形周長加上內(nèi)部 10 條最短線段長，即 (5 7+30)2+510=180(厘米 )5【例 8】 下 是一面 的平面 ，每 20 厘米，高 8 厘米，像 中那 一 、二 一共 十 ，求 好后 十 的周 是多少？【解析】我 仍然可以通 平移 化 方形來求 方形的 是 10 的 度，即 2010=200(厘米 )， 是 10 的 度，即 810=80(厘米 )，所以十 的周 是 (200+80) 2=560(厘米 )【鞏固】把 長 2 厘米、 1 厘米的 方形 成如 的形狀，求 形的周 ？【解析】

12、 66 厘米【例 9】 右圖是由 16 個同樣大小的正方形組成的，如果這個圖形的面積是 400 平方厘米，那么它的周長是多少厘米？【解析】考 此 我 即可以局部分析，各個突破，也可以 全局整體思考每個正方形的面 4001625 (平方厘米 )，所以每個正方形的 是 5 厘米 察右 ， 個 形的周 從上下方向來看是由 7 2 14 條正方形的 成，從左右方向來看是由 4 2 3 4 20 條正方形的 成，所以其周 5 14 5 20 170 厘米【鞏固】下 是由 1 厘米的 11 個正方形堆成的 “土 ”字 形 求出其周 6【解析】 周長是由 24 條 1 厘米的邊長組成，所以周長=124=24

13、(厘米 )【例 10】 如圖所示，一個大長方形被三條線段分成了四個小長方形，各條線段長度見圖 (單位：厘米 )求：圖中所有長方形的周長之和24312【解析】類似于上題，題目中所說的長方形，并不只包括最小的幾個長方形，因此需要先求出每條線段在求和過程中被累加了多少次因?yàn)闆]從大長方形的長上找到一條線段，就能對應(yīng)地找到大長方形內(nèi)的一個長方形，所以可以利用上一個問題的結(jié)論來解決這個問題當(dāng)然，要考慮到，每個長方形都有兩條長和兩條寬，因此計算過程中應(yīng)該注意不要漏算先考慮大長方形的長上各邊：應(yīng)用上一道題目的結(jié)論，每條邊上長為 4、 3、 1、2 的線段分別被計算了 4、 6、 6、4 次然后再考慮大長方形的

14、寬：因?yàn)楣灿?4 3 2 1 10 個長方形，所以長度為 2 的寬被計算了 10 2 20 （次）故總周長可以用下式計算得到：244361624220136（厘米）【鋪墊】求圖中所有線段的總長(單位：厘米 )4b312eacd【解析】 要注意到，題目所求的是圖中所有線段的總長，而圖中的線段，并不僅僅是 ab 、 bc 、 cd 、 de 四段，還包括 ac 、 be 等等，因此不能簡單地將圖中標(biāo)示的線段長度進(jìn)行求和同時應(yīng)該注意到，acabbc43 ； bebccdde3126 ，等等因此，為了計算圖中所有線段的總長，需要先計算 ab 、bc、cd、de 這四條線段分別被累加了幾次這里，可以按照

15、每條線段分別是由幾部分組成的加以討論：由 1 段組成的線段共有 4 條，即 ab 、 bc、 cd、 de，而求和過程中 ab 、bc、cd、de 這四條線段各被累加了 1 次類似地考慮到，由 2 段組成的線段共有 3 條，求和過程中 ab 、de 各被累加了 1 次， bc、cd 各被累加了 2 次由 3 段組成的線段共有 2 條，求和過程中 ab 、de 各被累加了 1 次， bc、 cd 各被累加了 2 次由 4 段組成的線段只有 ae ，其中 ab 、bc、cd、de 各被計算了 1 次綜上所述， ab 、de 各被計算了 4 次， bc、cd 各被計算了 6 次因而圖中所有線段的總長

16、度為： 4 4 2 6 3 1 48 (厘米 )【例 11】如圖，正方形的邊長為4 ，被分割成如下12 個小長方形，求這12 個小長方7形的所有周長之和【解析】 444 5256 【鞏固】（ “希望杯 ”第一試）如右圖，正方形 abcd 的邊長是 6 厘米，過正方形內(nèi)的任意兩點(diǎn)畫直線，可把正方形分成 9 個小長方形。這 9 個小長方形的周長之和是多少厘米？adbc【解析】從總體考慮，在求這 9 個小長方形的周長之和時， ab 、 bc 、 cd 、 da 這四條邊被用了 1次，其余四條虛線被用了 2 次，所以 9 個小長方形的周長之和是： 6 4 6 2 4 72 （厘米）?！纠?12】邊長是

17、 15厘米的 3個正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是多少？【解析】想一想，把幾個正方形拼合在一起，拼出的長方形的周長與所有正方形的周長相差多少呢？由 3個大小相同正方形拼成一個長方形，只有一種拼法，就是把三個正方形排成一排于是拼成的長方形的長是 15 3 45厘米，寬是 15厘米所以長方形的周長是： (長寬) 2 （4515） 2120 (厘米 )【鞏固】 兩個大小相同的正方形拼成了一個長方形，長方形的周長比原來的兩個正方形周長的和減少了6 厘米，原來一個正方形的周長是多少厘米？【解析】 先想一想，減少的 6 厘米相當(dāng)于正方形的幾條邊的邊長呢？把兩個正方形拼成一個長方形時，拼成的長方形的

18、周長比原來兩個正方形的 8 條邊減少了 2 條邊 (如圖所示 )而這兩條邊的和正好是減少的 6 厘米，所以，正方形的邊長是 6 2 3 厘米，原來一個正方形的周長是 3 4 12 厘米8所以原來一個正方形的周長是：62412 (厘米 )【總結(jié)】 通過這個例題，可以看出，求組合圖形及一些特殊圖形的周長與面積，一定要仔細(xì)觀察，善于發(fā)現(xiàn)其中內(nèi)在的聯(lián)系，找出未知與已知的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化，從而得到解決下面我們來學(xué)習(xí)幾種求幾何圖形周長和面積的技巧【例 13】( 2007 年 ”希望杯 ”第一試 )右圖中的陰影部分bcgf 是正方形，線段fh 長18 厘米，線段ac 長 24厘米，則長方形adhe 的周長是

19、厘米efghabcd【解析】 本題需要注意，長方形adhe 的寬應(yīng)等于正方形bcgf 的邊長由于圖中陰影部分 bcgf 是個正方形，其四條邊的邊長都相等，且等于長方形 adhe 的寬 fh ac 的和應(yīng)為長方形 adhe 的長加上正方形bcgf 的邊長，所以等于長方形adhe 的長與寬之和所以長方形adhe 的周長為： (1824)284 厘米【鞏固】 如圖，在長方形 abcd 中， efgh 是正方形已知af10cm，hc7cm ，求長方形 abcd 的周長efabdhgc【解析】 通過觀察發(fā)現(xiàn) af hg 是長方形的長與寬，所以長方形abcd 的周長是（107） 2 34 ( cm )【例

20、 14】如右圖所示，在一個正方形內(nèi)畫中、小兩個正方形，使三個正方形具有公共頂點(diǎn)，這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲，和l 形區(qū)域乙和丙甲的周長為 4厘米，乙的邊長是甲的周長的1.5 倍，丙的周長是乙的周長的 1.5 倍，那么丙的周長為多少厘米？ ef長多少厘米？9dc丙e 乙 jf i甲aghb【解析】乙的周長實(shí)際上是正方形 ahje 的周長 (我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、向下平移 )，同樣的，丙的周長也就是正方形 abcd 的周長由于 ae 4 1.5 6 ， ad 6 1.5 9 ，所以丙的周長為 9 4 36 厘米，efaeaf642 (厘米 )【例 15】用若干個邊長都是2

21、厘米的平行四邊形與三角形( 如右圖 ) 拼接成一個大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長是244 厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個？【解析】 大平行四邊形上、下兩邊的長為(24422)2120 厘米，觀察上邊，每 6 厘米有兩個平行四邊形的邊，所以共有小平行四邊形 120 6 2 40 個，而三角形的數(shù)量與小平行四邊形的數(shù)量相等，也是 40個【鞏固】用若干個邊長都是 2 厘米的平行四邊形與三角形 (如右圖 )拼接成一個大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長是 236 厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個？【解析】 大平行四邊形上、下兩邊的長為(23622) 2 116 厘米，觀察上邊，

22、每 6 厘米有兩個平行四邊形的邊，116619l 2 ，所以有三角形19 2 38 個，小平行四邊形 38 1 39 個【例 16】有 9 個小長方形，它們的長和寬分別相等，用這9 個小長方形拼成的大長方形 (如圖 )的面積是 45平方厘米，求這個大長方形的周長【解析】 從圖上可以知道，小長方形的長的4 倍等于寬的 5 倍，所以長是寬的541.25倍每個小長方形的面積為4595平方厘米，所以 1.25 寬10寬 5 ，所以寬為 2 厘米，長為 2.5 厘米大長方形的周長為(2.5422.5)229 厘米【鞏固】右圖的長方形被分割成 5 個正方形，已知原長方形的面積為 120平方厘米，求原長方形

23、的長與寬【解析】大正方形邊長的 2倍等于小正方形邊長的 3倍，所以大正方形的邊長是小正方形邊長的 1.5 倍，大正方形的面積是小正方形面積的 1.5 1.5 2.25 倍，所以小正方形面積為 120 (2.25 2 3) 16 平方厘米，所以小正方形的邊長為 4 厘米，大正方形的邊長為 6 厘米，原長方形的長為 4 3 12 厘米，寬為 4 6 10 厘米【例 17】 馮大叔給兒子做玩具用 8 個一樣大的小長方形拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖案甲是一個正方形，圖案乙是一個大的長方形；圖案甲的中間留下了邊長是 2 cm 的正方形小洞求小長方形的長和寬？甲乙【解析】 由甲圖可以看出小長方形的長加上小正方形的邊長等于小長方形的兩個寬，由乙圖可以看出，設(shè)小長方形的寬為x cm ，則小長方形的長為(2 x 2) cm ，根據(jù)乙圖小長方形的 3 個