---向量空間的基.ppt

1、,定理5.1.1 -向量空間的基,定義5.1.3 -線性相關與線性無關,定義5.1.4 -基,例3,例4,5.1 向量空間,定義5.1.1 -向量空間,定義5.1.2 -子空間,例1,例2,例5,定義5.1.5 -維數,例6,例7,例8,例9,例10,定義5.1.1 非空集合 稱為域 上的向量空間,(vector space)或線性空間(linear space), 如果 關于,加法（記作“+”）運算構成一個交換群，并且對每個, 在 中可惟一地確定一個元素 (稱為,與 的標量乘法)，使得對所有的 ， , 以,下四個條件都滿足：,(M1) ;,(M2) ;,(M3) ;,(M4) .,向量空間中

2、的元素稱為向量(vector). 域中的元素,稱為標量或者純量(scalar).,注在高等代數課程中, 我們涉及到的向量空,間（或線性空間）的基域都是數域,是無限域, 且是,特征為零的域, 但我們這里的基域可以是一般的域,它可以是有限域, 且域的特征也可以是素數.,例1 集合 是域 上的,向量空間, 其加法運算和標量乘法運算分別為,例2設 是素數, 則 是一個域. 系數在,上的一元多項式環(huán) 是 上的向量空間.,例3復數域 是實數域 上的向量空間, 運算,是通常的復數的加法和乘法運算.,例4域 上的所有 矩陣的集合 關于,如下矩陣的加法和標量乘法運算構成 上的向量空,間,例5（這個例子是例3的推

3、廣. 雖然它看上去,很平常,但卻是域論中最重要的例子之一）設 是域，,是 的子域, 那么 是 上的向量空間. 向量空間,的運算就是域 中的運算. 因此, 根據第三章定理,3.6.5, 每個域都可看成是某個素域上的向量空間.,定義5.1.2 設 是域 上的向量空間， 是 的,非空子集. 如果 關于 的運算也構成 上的向量空,間, 則稱 為 的子空間,例6集合 是 上,的由所有系數在域 上的多項式組成的向量空間,的子空間.,例7設 是域 上的向量空間， 是,中的向量(它們不必互不相同), 那么子集,稱為 的由 張成的子空間. 形如,的元素稱為 的線性組,合,如果 ，那么我們稱 張成,一般地, 設

4、是 的任一非空子集. 如果 中任一,元素都是 中有限多個元素的線性組合, 則稱 張,成,定義5.1.3 向量組 稱為在 上線性,相關(linearly dependent), 如果存在不全為零的元, 使得 . 如果,向量組在 上不是線性相關的, 則稱為在 上線性無,關(linearly independent).,例8設 , 則 中的向量組,， ， 在 上是線性無關的. 因為假,設存在 , 使得,那么 , 于是 .,定義5.1.4 設 是 上的向量空間. 是 的,一個非空子集. 如果 中任一有限子集都在 線性無,關, 且 張成 , 則稱 為 的基.,例9集合,是 上的向量空間 . 則我們可以證

5、明,是 的基.,首先我們來證明 是線性無關的.,假設有, 使得,那么有,所以, , 從而 線性無關. 其次, 中任何,元素都具有形式,因此, 生成 , 即 是 的基.,定理5.1.1 如果 和 都,是域 上向量空間 的基, 那么 ,證假設 . 不妨設 .,由于,張成 , 所以可設 , 且這些,不全為零, 對 的順序適當重排后可,設 ,則 張成 .,設 ,則 中至少有,一個不為零, 設 ,則 張成 繼續(xù),這樣下去, 有 張成 .,但此時 是,的線性組合, 矛盾! ,定義5.1.5如果一個向量空間 具有一個含,個元素的基, 則稱 的維數(dimension)是 . 零空,間 稱為是由空集張成的, 并規(guī)定它的維數是0.,可以用集合論的方法證明每個向量空間都有基.,以有限多個元素為基的向量空間(包括零空間)稱為,有限維向量空間(finite dimensional vector space), 否,則稱為無限維向量空間 (infinite d