第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.doc

1、 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。3、 會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則

2、。教學(xué)難點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。3. 1 中值定理 一、羅爾定理 費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對(duì)任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x , 使得f (x)=0. 簡(jiǎn)要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù), 則f (x)0, 定理的結(jié)論顯然

3、成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內(nèi)至少有一個(gè)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn), 不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)x(a, b). 于是, , 所以f (x)=0. 羅爾定理的幾何意義: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f (x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的幾何意義: f (x)=, 定理的證明: 引進(jìn)輔函數(shù)令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件: j(a)=j(b)=0, j(x)在

4、閉區(qū)間a, b 上連續(xù)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且j (x)=f (x)-. 根據(jù)羅爾定理, 可知在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x, 使j (x)=0, 即f (x)-=0. 由此得 = f (x) , 即 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理證畢. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個(gè)公式對(duì)于b0或Dx0)或x+Dx, x (Dx0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0q1). 如果記f(x)為y, 則上式又可寫為Dy=f (x+qDx)Dx (0q1). 試與微分d y=f (x)Dx 比較: d

5、 y =f (x)Dx是函數(shù)增量Dy 的近似表達(dá)式, 而f (x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy 的精確表達(dá)式. 作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用, 我們證明如下定理: 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù). 證 在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1, x2(x1x2), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f (x)(x2 - x1) (x1x0時(shí), . 證 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0xx。由于f(0)=0, , 因此上式即為 .又

6、由0xx, 有 . 三、柯西中值定理 設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程 (axb)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點(diǎn)x=x , 使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB, 曲線C上點(diǎn)x=x 處的切線的斜率為 , 弦AB的斜率為 . 于是 . 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F (x)在(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零, 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使等式 .成立. 顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1, 因而柯西中值公式就可

7、以寫成: f(b)-f(a)=f (x)(b-a) (axb), 這樣就變成了拉格朗日中值公式了. 3. 3 泰勒公式 對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù), 為了便于研究, 往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似表達(dá). 由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù), 只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種運(yùn)算, 便能求出它的函數(shù)值, 因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù). 在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道, 當(dāng)|x|很小時(shí), 有如下的近似等式: e x 1+x, ln(1+x) x. 這些都是用一次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)的例子. 但是這種近似表達(dá)式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無窮小; 其次是用它來作近似計(jì)算時(shí),

8、 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差時(shí)候, 就必須用高次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù), 同時(shí)給出誤差公式. 設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個(gè)關(guān)于(x-x0 )的n次多項(xiàng)式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n來近似表達(dá)f(x), 要求p n(x)與f(x)之差是比(x-x0 ) n高階的無窮小, 并給出誤差| f (x)- p n (x)|的具體表達(dá)式. 我們自然希望p n(x)與f(x)在x0 的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n+1)階導(dǎo)數(shù))相等, 這樣就

9、有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n , p n(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) + +na n (x-x0 ) n-1 , p n(x)= 2 a 2 + 32a 3(x-x0 ) + + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n(x)= 3!a 3 +432a 4(x-x0 ) + + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n (x0 )= a 1 , p n (x0 )= 2! a 2

10、, p n (x)= 3!a 3 , , p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f (x0)= p n (x0)= a 1 , f (x0)= p n (x0)= 2! a 2 , f (x0)= p n (x0)= 3!a 3 , f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 從而有 a 0=f(x0 ), a 1=f (x0 ), , , , . (k=0, 1, 2, , n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)(x-x0) 2 + (x-x0) n . 泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有

11、x0的某個(gè)開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有直到(n+1)的階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)x 在(a, b)內(nèi)時(shí), f(x)可以表示為(x-x0 )的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)R n(x)之和: 其中(x 介于x0與x之間).這里 多項(xiàng)式 . 稱為函數(shù)f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 次近似多項(xiàng)式, 公式 + , 稱為f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 階泰勒公式, 而R n(x)的表達(dá)式其中(x介于x與x0之間). 稱為拉格朗日型余項(xiàng). 當(dāng)n=0時(shí), 泰勒公式變成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f (x)(x-x0 ) (x在x0 與x 之間). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 如果對(duì)

12、于某個(gè)固定的n, 當(dāng)x在區(qū)間(a, b)內(nèi)變動(dòng)時(shí), |f (n+1)(x)|總不超過一個(gè)常數(shù)M, 則有估計(jì)式: ,及 . 可見, 妝x x0時(shí), 誤差|R n(x)|是比(x-x0 )n高階的無窮小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí), n 階泰勒公式也可寫成 + . 當(dāng)x0 =0時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 誤差估計(jì)式變?yōu)? . 例1寫出函數(shù)f(x)=e x 的n 階麥克勞林公式. 解: 因?yàn)?f(x)=f (x)=f (x)= =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0)=f (0)=f (0)= =f

13、( n)(0)=1 , 于是 (0q1), 并有 . 這時(shí)所產(chǎn)性的誤差為 |R n(x)|=|x n+1| x | n+1. 當(dāng)x=1時(shí), 可得e的近似式: . 其誤差為 |R n |0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)減少. 證明 只證(1). 在a, b上任取兩點(diǎn)x1 , x2 (x1 x2 ), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2-x1) (x1 x0, 因此, 如果在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f (x)保持正號(hào), 即f (x)0, 那么也有f (x)0. 于是f(x

14、2 )-f(x1 )=f (x)(x2 -x1 )0, 即 f(x1 )0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在0, 2p上的單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調(diào)性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y=e x -1. 函數(shù)y=e x -x-1的定義域?yàn)?-, +). 因?yàn)樵?-, 0)內(nèi)y0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在0, +)上單調(diào)增加. 例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解: 函數(shù)的定義域?yàn)?-, +). 當(dāng)時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 (x0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 當(dāng)x=0時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因?yàn)閤0時(shí), y0時(shí), y0, 所以函數(shù)在0, +)上單調(diào)增加.

15、如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f (x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f (x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào), 因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?(-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f (x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè): x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-, 11, 22, +)f (x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-, 1和2, +)內(nèi)單調(diào)增加, 在

16、區(qū)間1, 2上單調(diào)減少. 例5. 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)? (-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為: y=3x2 . 除當(dāng)x=0時(shí), y=0外, 在其余各點(diǎn)處均有y0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-, 0及0, +)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域: (-, +)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f (x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當(dāng)x1時(shí), . 證明: 令, 則 . 因?yàn)楫?dāng)x1時(shí), f (x)0, 因此f(x)在1, +)上f(x)單調(diào)增加

17、, 從而當(dāng)x1時(shí), f(x)f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)f(1)=0, 即 , 也就是(x1). 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x 1, x 2, 恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下

18、方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f (x)0, 則f(x)在a, b上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f (x)0, 則f(x)在a, b上的圖形是凸的. 簡(jiǎn)要證明 只證(1). 設(shè)x1, x2a, b, 且x1x2, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的圖形是凹的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn). 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟:

19、(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn); 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時(shí)省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因?yàn)樵诤瘮?shù)y=ln x的定義域(0, +)內(nèi), y0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí), y0時(shí), y0, 所以曲線在0, +)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點(diǎn). 解: y=6x 2

20、+6x-12, . 令y=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y0, 所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域?yàn)?-, +); (2),; (3)解方程y=0, 得, ; (4)列表判斷: (-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f (x) + 0 - 0 + f(x) 1 11/27 在區(qū)間(-, 0和2/3, +)上曲線是凹的, 在區(qū)間0, 2/3上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例5 問曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？ 解 y=4x 3, y=

21、12x 2. 當(dāng)x 0時(shí), y0, 在區(qū)間(-, +)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點(diǎn). 例6. 求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-, +); (2) , ; (3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0; (4)判斷: 當(dāng)x0; 當(dāng)x0時(shí), y0. 因此, 點(diǎn)(0, 0)曲線的拐點(diǎn). 3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值 一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義, x0(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果

22、在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值, 那只是就x0 附近的一個(gè)局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值; 如果就f(x)的整個(gè)定義域來說, f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo), 且在x0 處

23、取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f (x0)=0. 證 為確定起見, 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi), 對(duì)于任何點(diǎn)x , f(x) f(x0)均成立. 于是 當(dāng)x x0 時(shí), 因此 ; 從而得到 f (x0) = 0 . 簡(jiǎn)要證明: 假定f(x0)是極大值. 根據(jù)極大值的定義, 在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有f(x)0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f (x)

24、不改變符號(hào), 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)0, 在(x0, b)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f (x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果

25、在(x0-d, x0)內(nèi)f (x)0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f (x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2也可簡(jiǎn)單地這樣說: 當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時(shí), 如果f (x)的符號(hào)由負(fù)變正, 那么f(x)在x0處取得極大值; 如果f (x)的符號(hào)由正變負(fù), 那么f(x)在x0處取得極小值; 如果f (x)的符號(hào)并不改變, 那么f(x)在x0處沒有極值 (注: 定理的敘述與

26、教材有所不同) . 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f (x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察f (x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn), 如果是極值點(diǎn), 還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值. 例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ; (2)令f (x)=0, 得駐點(diǎn)x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷 x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)f (x)+不可導(dǎo)-0+f(x)0 (4)極

27、大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0, f (x0)0, 那么 (1)當(dāng)f (x0)0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 證明 在情形(1), 由于f (x0)0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性, 當(dāng)x 在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí), . 但f (x0)=0, 所以上式即. 從而知道, 對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的x來說, f (x)與x-x0符號(hào)相反. 因此, 當(dāng)x-x00即x0; 當(dāng)x-x00即xx0時(shí), f (x)0. 根據(jù)定理2, f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 簡(jiǎn)

28、要證明: 在情形(1), 由于f (x0)0, f (x0)=0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 .根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性, 在x0的某一去心鄰域內(nèi)有 . 從而在該鄰域內(nèi), 當(dāng)x0; 當(dāng)xx0時(shí), f (x)0. 根據(jù)定理2, f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值. 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二導(dǎo)數(shù)f (x0) 0, 那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn), 并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f (x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f (x0)=0, 定理3就不能應(yīng)用. 討論: 函數(shù)f (x)=-x4, g(x)=x3在點(diǎn)x=0是否有極值？ 提示: f (x)=4x 3, f (0)=0; f (x

29、)=12x2, f (0)=0. 但當(dāng)x0時(shí)f (x)0時(shí)f (x)0, 所以f(0) 為極小值. g (x)=3x2, g (0)=0; g (x)=6x, g (0)=0. 但g(0)不是極值 例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f (x)=6x(x2-1)2. (2)令f (x)=0, 求得駐點(diǎn)x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f (x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f (0)=60, 所以f (x)在x=0處取得極小值, 極小值為f(0)=0. (5)因f (-1)=f (1)=0, 用定理3無法判別. 因?yàn)樵?1的左右鄰域內(nèi)f (x)0,

30、 所以f(x)在-1處沒有極值; 同理, f(x)在1處也沒有極值. 二、最大值最小值問題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中, 常常會(huì)遇到這樣一類問題: 在一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題, 這類問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間a,

31、b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者. 最大值和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1, x2, , xn, 則比較 f(a), f(x 1), , f(x n), f(b)的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最小值. 例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點(diǎn)為; 不可導(dǎo)點(diǎn)為x=1和x=2

32、. 由于f(-3)=20, f(1)=0, f(2)=0, f(4)=6, 比較可得f(x)在x=-3處取得它在-3, 4上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在-3, 4上的最小值0. 例4 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運(yùn)輸需要, 要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y, 那么 y=5kCD+3kDB (k是某個(gè)正

33、數(shù)), 即 +3k(100-x) (0x100). 現(xiàn)在, 問題就歸結(jié)為: x 在0, 100內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小. 先求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 例2 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點(diǎn)到火車站B的距離為100km. 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD. 已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5. 為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), B與C間的運(yùn)費(fèi)為y, 則 y=

34、5kCD+3kDB (0x100), 其中k是某一正數(shù). 由=0, 得x=15. 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 注意: f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0 , 并且這個(gè)駐點(diǎn)x0 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn), 那么, 當(dāng)f(x0)是極大值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當(dāng)f(x0)是極小值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x )

35、y 應(yīng)當(dāng)指出, 實(shí)際問題中, 往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. d hb 例6 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大? 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0bd). 這樣, W就是自變量b的函數(shù), b的變化范圍是(0, d). 現(xiàn)在, 問題化為: b等于多少時(shí)目標(biāo)函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對(duì)b 的導(dǎo)數(shù): . 解方程W =0得駐點(diǎn). 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在, 函數(shù)在(0, d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以當(dāng)時(shí), W 的值最大. 這時(shí), , 即 . . 解: 把W表示成b的函數(shù): (0b0, 相反時(shí)s0, =. 于是ds=dx. 這就是弧微分公式. 因?yàn)楫?dāng)Dx0時(shí), Ds, Dx又Ds與同號(hào), 所以 .因此 ,這就是弧微分公式. 二、曲率及其計(jì)算公式 曲線彎曲程度的直觀描述: 設(shè)曲線C是光滑的, 在曲線C上選定一點(diǎn)M 0作為度量弧s 的基點(diǎn). 設(shè)曲線上點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)于弧