線性代數(shù)測(cè)試試卷及答案.doc

1、線性代數(shù)（A卷） 一選擇題(每小題3分,共15分)1. 設(shè)是任意階方陣,那么下列等式必成立的是( ) (A) (B) (C) (D)2. 如果元齊次線性方程組有基礎(chǔ)解系并且基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量,那么矩陣的秩為( ) (A) (B) (C) (D) 以上答案都不正確3.如果三階方陣的特征值為,那么及分別等于( ) (A) (B) (C) (D) 4. 設(shè)實(shí)二次型的矩陣為,那么( ) (A) (B) (C) (D) 5. 若方陣A的行列式，則( ) (A) A的行向量組和列向量組均線性相關(guān) (B)A的行向量組線性相關(guān),列向量組線性無(wú)關(guān) (C) A的行向量組和列向量組均線性無(wú)關(guān) (D)A的列向量組線

2、性相關(guān),行向量組線性無(wú)關(guān)二填空題(每小題3分,共30分)1 如果行列式有兩列的元對(duì)應(yīng)成比例,那么該行列式等于 ；2. 設(shè)，是的伴隨矩陣，則 ；3. 設(shè),是非齊次線性方程組的解,若也是它的解, 那么 ；4. 設(shè)向量與向量正交,則 ；5. 設(shè)為正交矩陣,則 ；6. 設(shè)是互不相同的三個(gè)數(shù),則行列式 ；7. 要使向量組線性相關(guān)，則 ；8. 三階可逆矩陣的特征值分別為,那么的特征值分別為 ；9. 若二次型是正定的，則的取值范圍為 ；10. 設(shè)為階方陣,且滿足,這里為階單位矩陣,那么 .三計(jì)算題（每小題9分，共27分）1. 已知，求矩陣使之滿足.2. 求行列式的值.3 求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組和秩.四(1

3、0分)設(shè)有齊次線性方程組問當(dāng)取何值時(shí), 上述方程組(1)有唯一的零解(2)有無(wú)窮多個(gè)解,并求出這些解. 五(12分)求一個(gè)正交變換,把下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形:. 六(6分)已知平面上三條不同直線的方程分別為試證：這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為.線性代數(shù)（A卷）答案一1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二1. 0 2. 3. 1 4. 3 5. 1或-16. 7. 0 8. 9. 10. 三1. 解 由得. (2分)下面求. 由于 (4分)而 . (7分)所以. (9分)2. 解 (4分) (8分) (9分) .3. 解 由于 (6分)故向量組的秩是 3 ，是它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。(

4、9分)四解 方程組的系數(shù)行列式 (2分)當(dāng),即且時(shí),方程組有唯一的零解; (4分)當(dāng)時(shí), ,方程組的系數(shù)矩陣為,它有一個(gè)二階子式,因此秩()(這里),故方程組有無(wú)窮多個(gè)解.對(duì)施行初等行變換,可得到方程組的一般解為 其中可取任意數(shù); (7分)當(dāng)時(shí), ,方程組的系數(shù)矩陣為,顯然,秩()(這里),所以方程組也有無(wú)窮多個(gè)解.對(duì)施行初等行變換可得方程組的一般解為 其中可取任意數(shù). (10分)五 解 二次型的矩陣為, (2分)因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為,所以特征值是(二重)和. (4分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為. 利用施密特正交化方法將正交化:, ,再將單位化得 ,

5、(8分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為.再將單位化得. (10分)令則是一個(gè)正交矩陣,且滿足.所以,正交變換為所求,它把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形. (12分)六證明:必要性由交于一點(diǎn)得方程組有解,可知 (2分)由于,所以 (3分)充分性：, (5分) 因此方程組 有唯一解，即交于一點(diǎn). (6分)線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分 選擇題 (共28分)一、 單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于（ ） A. m+nB. -(m

6、+n) C. n-mD. m-n2.設(shè)矩陣A=，則A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（ ） A. A =0B. BC時(shí)A=0 C. A0時(shí)B=CD. |A|0時(shí)B=C5.已知34矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.設(shè)兩個(gè)向量組1，2，s和1，2，s均線性相關(guān)，則（ ） A.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1+

7、1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（ ） A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個(gè)r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A.1+2是Ax=0的一個(gè)解B.1+2是Ax=b的一個(gè)解 C.1-2是Ax=0的一個(gè)解D.21-2是Ax=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（ ） A.秩

8、(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（ ） A.如存在數(shù)和向量使A=，則是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數(shù)和非零向量，使(E-A)=0，則是A的特征值 C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量 D.如1，2，3是A的3個(gè)互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線性相關(guān)11.設(shè)0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有（ ） A. k3B. k312.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A.|A|2必為1B.|A|必為1 C

9、.A-1=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（ ） A.A與B相似 B. A與B不等價(jià) C. A與B有相同的特征值 D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） A.B. C.D.第二部分 非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。15. .16.設(shè)A=，B=.則A+2B= .17.設(shè)A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(

10、a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a= .19.設(shè)A是34矩陣，其秩為3，若1，2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為 .20.設(shè)A是mn矩陣，A的秩為r(n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)數(shù)為 .21.設(shè)向量、的長(zhǎng)度依次為2和3，則向量+與-的內(nèi)積（+，-）= .22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為 .23.設(shè)矩陣A=，已知=是它的一個(gè)特征向量，則所對(duì)應(yīng)的特征值為 .24.設(shè)實(shí)二次型f

11、(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 .三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.設(shè)A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.試計(jì)算行列式.27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線

12、性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設(shè)0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，1，2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c為

13、任意常數(shù)20. n-r21. 522. 223. 124. 三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64（-2）=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二 考慮4=x11+x22+x33，即 方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解 對(duì)矩陣A施行初等行變換A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向

14、量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的屬于特征值=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得1=，2=.=-8的一個(gè)特征向量為3=，經(jīng)單位化得3=所求正交矩陣為 T=.對(duì)角矩陣 D=（也可取T=.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.設(shè)， 即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y12-2y22-5y32 .四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A