高數(shù)課件68多元函數(shù)的極值.ppt

第八節(jié) 多元函數(shù)的極值 一、問(wèn)題的提出 二、多元函數(shù)的極值和最值 三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法 實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每 瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估 計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的 每瓶賣 元，則每天可賣出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益為 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值. 一、問(wèn)題的提出 二、多元函數(shù)的極值和最值 1、二元函數(shù)極值的定義 極值點(diǎn)必須是函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn). (1) 例如1 (2) (3) 2、多元函數(shù)取得極值的條件 證 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的 點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn). 注意：有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)； 但駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn). 極值可疑點(diǎn)：駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？ 極值點(diǎn)也可能是一階偏導(dǎo)不存在的點(diǎn). 定理2（充分條件） 3、多元函數(shù)的最值 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的 極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值. 設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , 則函數(shù)在 D 上必有最大值和最小值 . z = f (x , y) 的最值既可在 D 的內(nèi)點(diǎn)處取得 , 也可 在 D 的邊界點(diǎn)處取得 . 設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)、可微 , 且 只有有限個(gè)極值點(diǎn) , 若最值在 D 內(nèi)取得 , 則最值 點(diǎn)必是極值點(diǎn) . 求出函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)、不可求偏導(dǎo) 的點(diǎn)處的函數(shù)值和在 D 的邊界上的最大值和最 小值相互比較，這些值中最大者即為最大值， 最小者即為最小值. 求最值的一般方法： 解 如圖, 先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn) 求實(shí)際問(wèn)題中，由問(wèn)題的實(shí)際意義可知函 數(shù) f (x , y) 有最值，且在 D 內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)， 則該駐點(diǎn)的函數(shù)值就是所求的最大值或最小值. 三、條件極值拉格朗日乘子法 無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外 ，并無(wú)其他條件. 實(shí)例： 小王有200元錢，他決定用來(lái)購(gòu)買兩 種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶，設(shè)他 購(gòu)買 張磁盤(pán)， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果， 效果函數(shù)為 設(shè)每張磁 盤(pán)8元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配這200 元以達(dá)到最佳效果 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求 在條 件 下的極值點(diǎn) 條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值 拉格朗日乘子法 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)或約束 條件有多個(gè)的情況： 解 則 解 可得 即 可得 即 課后練習(xí)： 多元函數(shù)的極值 條件極值與拉格朗