學(xué)科教育論文-積分中的對(duì)稱性.docVIP

學(xué)科教育論文-積分中的對(duì)稱性【摘要】介紹幾種常見對(duì)稱性在重積分、曲線積分及曲面積分的計(jì)算過程中的幾個(gè)結(jié)論?！娟P(guān)鍵詞】積分；輪換對(duì)稱性；奇對(duì)稱；偶對(duì)稱在積分的計(jì)算過程中，當(dāng)積分區(qū)域具有某種對(duì)稱性時(shí)，如果被積函數(shù)具有某種特性，這時(shí)可以利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化積分的計(jì)算。這里所討論的對(duì)稱性主要包括兩個(gè)方面：積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸（或坐標(biāo)面）的對(duì)稱性和積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性。設(shè)Dn為一積分區(qū)域，所謂積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性是指當(dāng)任一點(diǎn)P(x1,x2,xn)Dn時(shí)，有Pi(xi,xi+1,xn,x1,x2,xi-1)Dn,i=1,2,n。在一元函數(shù)積分學(xué)中，我們有下面所熟悉結(jié)論：若f(x)在閉區(qū)間-a,a上連續(xù)，則有a-af(x)dx=0,f(-x)=-f(x)2JF(Za0f(x)dxJF),f(-x)=f(x)利用這一性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化較復(fù)雜的定積分的計(jì)算。對(duì)重積分、曲線積分及曲面積分也有類似的結(jié)論。下面我們根據(jù)積分范圍的不同來介紹對(duì)稱性在各類積分計(jì)算中的幾點(diǎn)應(yīng)用。1對(duì)稱性在重積分計(jì)算中的應(yīng)用Df(x,y)d方面的應(yīng)用。結(jié)論1若f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可積，且區(qū)域D關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱，則有Df(x,y)d=0,f(x)為關(guān)于x（或y）的奇函數(shù)Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y)為關(guān)于x（或y）的偶函數(shù)。其中D1為區(qū)域D被y軸（或x軸）所分割的兩個(gè)對(duì)稱區(qū)域之一。結(jié)論2若f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可積，且區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則有：Df(x,y)d=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)關(guān)于原點(diǎn)成奇對(duì)稱；Df(x,y)d=2D1f(x,y)d=2D2f(x,y)d,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)關(guān)于原點(diǎn)成偶對(duì)稱,其中D1、D2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且D1+D2=0。結(jié)論3若f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可積，且區(qū)域D關(guān)于直線L對(duì)稱，則有：Df(x,y)d=0,f(x,y)關(guān)于直線L奇對(duì)稱；Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y)關(guān)于偶對(duì)稱。其中D1為區(qū)域D被直線L所分割的兩個(gè)對(duì)稱區(qū)域之一。說明：若對(duì)D內(nèi)關(guān)于直線L對(duì)稱的任意兩點(diǎn)P、Q，都有f(P)=-f(Q),(f(P)=f(Q)，則稱f(x,y)關(guān)于直線L奇（偶）對(duì)稱。特別地，若區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)(x,y)D時(shí)，有(y,x)D，這時(shí)積分區(qū)域D關(guān)于x、y具有輪換對(duì)稱性。這時(shí)我們有：Df(x,y)d=12Df(x,y)+f(y,x)d若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=xDf(x,y)d=0；若f(x,y)=f(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x偶Df(x,y)d=2D1f(x,y)d。f(x,y,z)d時(shí)，也有類似的結(jié)論。若積分區(qū)域關(guān)于面xoy面（或yoz面或zox面）對(duì)稱，記1為區(qū)域被坐標(biāo)面所分割的兩個(gè)對(duì)稱區(qū)域之一。則有：f(x,y,z)d=0,f(x,y,z)為關(guān)于z（或x或y）的奇函數(shù)；f(x,y,z)d=21f(x,y,z)d,f(x,y,z)為關(guān)于z（或x或y）的偶函數(shù)。若積分區(qū)域關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，即當(dāng)(x,y,z)時(shí)，(y,z,x),(z,x,y)f(x,y,z)d=f(y,z,x)d=f(z,x,y)d=13f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)d2對(duì)稱性在曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用2.1對(duì)稱性在第一類曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用結(jié)論1若積分曲線L關(guān)于x軸（或y軸）對(duì)稱，記L1為曲線L被坐標(biāo)軸所分割的兩個(gè)對(duì)稱區(qū)域之一，則有：Lf(x,y)ds=0,f(x,y)為關(guān)于y（或x）的奇函數(shù)；Lf(x,y)ds=2L1f(x,y)ds,f(x,y)為關(guān)于y（或x）的偶函數(shù)。結(jié)論2若積分曲線L關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)(x,y)L時(shí)，有(y,x)L，即L關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，這時(shí)有：Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds=12Lf(x,y)+f(y,x)ds若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x奇對(duì)稱，則Lf(x,y)ds=0；若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x偶對(duì)稱，則Lf(x,y)ds=2L1f(y,x)ds。其中L1為曲線L被直線y=x所分割的兩個(gè)對(duì)稱區(qū)域之一。2.2對(duì)稱性在第二類曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)有曲線積分I=LP(x,y)dx，其中L為光滑的有向曲線弧，如果L關(guān)于某條直線（包括坐標(biāo)軸）對(duì)稱，這時(shí)利用對(duì)稱性計(jì)算上述曲線積分時(shí)，不僅要考慮P(x,y)的大小和符號(hào)，還要考慮投影元素dx的符號(hào)。當(dāng)積分方向和坐標(biāo)軸正向之夾角小于2時(shí)，投影元素為正，否則為負(fù)。一般地，我們有：結(jié)論若積分曲線L關(guān)于某直線對(duì)稱，記