泰勒級數(shù)與冪級數(shù)(上.ppt

,微,積,分,電,子,教,案,11.4 泰勒級數(shù)與冪級數(shù),一、函數(shù)項級數(shù)的概念,二、冪級數(shù)及其收斂性,三、冪級數(shù)的性質(zhì),四、泰勒級數(shù),五、函數(shù)展開成冪級數(shù),1.定義,一、函數(shù)項級數(shù)的概念,設(shè) 是定義在 上的函數(shù),則 稱為定義在區(qū)間 上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).,對于每一個 ，函數(shù)項級數(shù) 就是一個常數(shù)項級數(shù),2.收斂點與收斂域,一、函數(shù)項級數(shù)的概念,如果 ，常數(shù)項級數(shù) 收斂, 則稱 為級數(shù) 的收斂點，否則稱為發(fā)散點. 函數(shù)項級數(shù) 的所有收斂點的全體稱為收斂域，所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.,當 時，收斂；,收斂域：,當 時，發(fā)散；,發(fā)散域：,余項,3.和函數(shù),若函數(shù)項級數(shù)的部分和,例如：,在收斂域：,其和函數(shù)為：,注意：級數(shù)的收斂域未必等于和函數(shù)的定義域,一、函數(shù)項級數(shù)的概念,在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是 的函數(shù) ，稱 為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。,二、冪級數(shù)及其收斂性,2.1、定義, (x-x0) 的冪級數(shù):,x的冪級數(shù):,其中 為冪級數(shù)系數(shù).,稱為x1的冪級數(shù),由于收斂域與發(fā)散域互補,下面只研究收斂域.,二、冪級數(shù)及其收斂性,2.2、冪級數(shù)的斂散性特點,定理2,此時冪級數(shù)的收斂區(qū)間有以下四種可能：,如果冪級數(shù) 不是僅在 一點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù) 存在,它具有下列性質(zhì):,當 時,冪級數(shù)絕對收斂; 當 時,冪級數(shù)發(fā)散; 當 時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.,二、冪級數(shù)及其收斂性,定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.,冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.,規(guī)定,問題,如何求冪級數(shù)的收斂半徑?,要求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，關(guān)鍵求實數(shù)R,2.3、冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間,二、冪級數(shù)及其收斂性,定理3 如果冪級數(shù) 的所有系數(shù) , 設(shè) （或 ） （1）則當 時， ； （2）當 時， ； （3）當 時， 。,解：,所以收斂半徑 R=3,例1. 求 的收斂半徑,根據(jù)系數(shù)的表達式，也可以,二、冪級數(shù)及其收斂性,二、冪級數(shù)及其收斂性,例2 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:,解,該級數(shù)收斂,該級數(shù)發(fā)散,二、冪級數(shù)及其收斂性,是發(fā)散的,是收斂的,故收斂區(qū)間為(0,1.,二、冪級數(shù)及其收斂性,二、冪級數(shù)及其收斂性,定理3 如果冪級數(shù) 的所有系數(shù) , 設(shè) （或 ） （1）則當 時， ； （2）當 時， ； （3）當 時， 。,注意：如果冪級數(shù) 中奇次項或偶次項系數(shù) 為零，則不能利用該定理確定收斂半徑。,解：,缺少偶次冪的項,級數(shù)收斂,二、冪級數(shù)及其收斂性,例3 求冪級數(shù) 的收斂域.,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為,二、冪級數(shù)及其收斂性,為什么？,解：,二、冪級數(shù)及其收斂性,例4,練習： 收斂區(qū)間為-2,2, (-2,2), (-2,2, -2,2),注意: 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間,通常先求級數(shù)的收斂半徑,得到級數(shù)絕對收斂的一個開區(qū)間；,求收斂半徑的方法：比(根)值法、系數(shù)法(局限性),然后判斷級數(shù)在區(qū)間端點的斂散性(數(shù)項級數(shù)),最后得到收斂區(qū)間,二、冪級數(shù)及其收斂性,解:,級數(shù)發(fā)散.,二、冪級數(shù)及其收斂性,級數(shù)收斂.,解:,收斂.,二、冪級數(shù)及其收斂性,發(fā)散.,(*),對于(*),3.1、和函數(shù),三、冪級數(shù)的性質(zhì),在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是 的函數(shù) ，稱 為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。,三、冪級數(shù)的性質(zhì),3.2、和函數(shù)的可加性,收斂區(qū)間為（-1,1）,三、冪級數(shù)的性質(zhì),3.3、和函數(shù)的連續(xù)性,(收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變。）,三、冪級數(shù)的性質(zhì),3.4、逐項可導性,(收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變。）,三、冪級數(shù)的性質(zhì),3.4、逐項可積性,上式兩邊積分得：,于是,冪級數(shù)在逐項微分或積分后，收斂半徑不變，但是收斂區(qū)間可能改變。,逐項積分后，收斂半徑?jīng)]變，收斂區(qū)間改變了。,三、冪級數(shù)的性質(zhì),由于我們已知收斂的幾何級數(shù)的求和公式，所以對于冪級數(shù)求和函數(shù)，總設(shè)法將級數(shù)的一般項轉(zhuǎn)化為幾何級數(shù)的通項，方法就是逐項積分或微分。,1、求收斂半徑，并設(shè)其和函數(shù)為 S（x）,2、求積分，使其轉(zhuǎn)化為幾何級數(shù)，然后求和,3、對 逐項求導，得到和函數(shù),對,4、考察原級數(shù)端點的斂散性，得收斂區(qū)間,求和函數(shù)的方法,三、冪級數(shù)的性質(zhì),解：,三、冪級數(shù)的性質(zhì),例4,發(fā)散;,發(fā)散;,故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為,解：,三、冪級數(shù)的性質(zhì),例4,上式求導：,解：,三、冪級數(shù)的性質(zhì),例4,解,三、冪級數(shù)的性質(zhì),收斂;,發(fā)散;,故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為,解,兩邊積分得,三、冪級數(shù)的性質(zhì),解：,三、冪級數(shù)的性質(zhì),例6,發(fā)散;,收斂;,故冪級數(shù)