《同濟大學數(shù)學系》PPT課件.ppt

同濟大學數(shù)學系 2009-3-22,工科研究生數(shù)學 -矩陣論 第 4 章 內(nèi)積空間,吳 群,同濟大學數(shù)學系,,4.1 實內(nèi)積空間,定義.設V 是一個實線性空間，R為實數(shù)域，,2,若a, b V, 存在唯一的 rR與之對應，,記作(a, b ) = r, 并且滿足,(1) (a, b ) = (b, a ),(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ),(3) (ka, b ) = k(a, b ),(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0,則稱 (a, b ) 為a 與b 的內(nèi)積，V 為實內(nèi)積空間。,實內(nèi)積空間也稱歐幾里得(Euclid)空間。,對稱性,非負性,3,定義內(nèi)積,例. 線性空間,稱為內(nèi)積空間 的標準內(nèi)積。,4,定義內(nèi)積,A為 n 階實正定矩陣，,例. 線性空間,5,定義內(nèi)積,例. 線性空間Ca, b，f , gCa, b,6,由定義知,(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ),(6) (a, kb ) = k(a, b ),向量長度, Cauchy-Schwarz不等式,定義. 設V 為實內(nèi)積空間，稱 為向量a 的長度，,記作 |a |。,定理. 設V 是實內(nèi)積空間，a , b V , k R ，則,等號成立當且僅當a , b 線性相關；,Cauchy-Schwarz 不等式,三角不等式,正定性,齊次性,8,例：利用Cauchy-Schwaz不等式證明,向量的夾角,由Cauchy-Schwaz不等式可知,向量的正交,定義. 設V 是實內(nèi)積空間，a , b V ,若 (a , b ) = 0 , 則稱 a 與b 正交，記作 a b 。,a 與b 正交,這就是實內(nèi)積空間中的勾股定理。,11,向量a 與b 在該基下的坐標為,12,度量矩陣,矩陣 A 稱為基的度量矩陣。,即 A 為實對稱矩陣。,即 A 為實正定矩陣。,定理：設內(nèi)積空間V 的兩個基是：,它們的度量矩陣分別為A與B，則A與B是合同的，,即存在可逆矩陣P ，使得,其中可逆矩陣P 是由前組基到后組基的過渡矩陣。,4.2 標準正交基,若它們兩兩正交，則稱其為一個正交向量組。,定理：正交向量組必是線性無關的。,16,且其中每個向量的長度都是 1，,注意：(1) 標準正交基的度量矩陣是單位矩陣，即,(2) 向量在標準正交基下的坐標是該向量在對應的,基向量上的正投影，即,Gram-Schmidt 正交化過程,Gram-Schmidt 正交化過程：,Gram-Schmidt 正交化過程 圖解,19,令,記,或,注意到K是可逆矩陣，因此,由歸納法假設可知,矩陣A的QR分解,推論1：n 維實內(nèi)積空間V 必存在標準正交基。,推論2：n 維實內(nèi)積空間V 中任一正交向量組都可擴充成,V 的一個正交基。,推論3: 設A為可逆陣，則存在正交陣Q和可逆上三角陣R,使得 A = QR ，稱為矩陣A的QR分解。,24,設A為 n 階可逆陣，則利用Gram-Schmidt正交化過程，,25,26,例: 求矩陣A的QR分解，,4.3 正交子空間,定義: 設W, U是實內(nèi)積空間V 的子空間，,(1) a V , 若b W, 都有(a, b ) = 0,則稱a 與W 正交，記作a W ;,(2) 若a W, b U, 都有(a, b ) = 0,則稱W 與U 正交，記作W U ;,(3) 若W U，并且W + U = V,則稱U 為W 的正交補。,注意：若W U，則 W與U 的和必是直和。,正交補的存在唯一性,定理: 設W 是實內(nèi)積空間V 的子空間，則W 的正交補,存在且唯一，記該正交補為 ，并且,向量的正投影,定義: 設W 是實內(nèi)積空間V 的子空間，,則稱向量b 為向量a 在W上的正投影，,稱向量長度|g |為向量a 到W 的距離。,垂線最短定理,定理: 設W 是實內(nèi)積空間V 的子空間，aV , b 為a 在W,上的正投影，則 dW, 有,并且等號成立當且僅當 b = d。,4.4 正交變換,定義: 設T 是實內(nèi)積空間V 的線性變換，若aV 有,則稱T 為V 的正交變換。,正交變換的特征刻畫,定理: 設T 是實內(nèi)積空間V 的線性變換，a, b V ，,則下列命題等價，,33,推論：(1) 兩個正交變換的積仍是正交變換；,(2) 正交變換的逆變換仍是正交變換。,Householder 變換,構(gòu)造 的正交變換,討論正交變換H 的幾何意義。,故H(a)是a關于子空間的反射，,矩陣H 稱為Householder矩陣，,變換H 稱為Householder變換，,變換H 也稱初等反射變換。,36,求一個初等反射變換H，使H(a)=b。,只需求一個w 使得b 是a 關于子空間 的反射，,于是w 與a - b 平行，故可取,4.5 復內(nèi)積空間,定義.設V 是一個復線性空間，C 為復數(shù)域，,37,若a, b V, 存在唯一的 cC與之對應，,記作(a, b ) = c, 并且滿足,(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ),(3) (ka, b ) = k(a, b ),(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0,則稱 (a, b ) 為a 與b 的內(nèi)積，V 為復內(nèi)積空間。,復內(nèi)積空間也稱酉空間。,對稱性,非負性,38,定義內(nèi)積,例. 線性空間,稱為復內(nèi)積空間 的標準內(nèi)積。,39,在復內(nèi)積空間中還有,(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ),(8) Cauchy-Schwaz不等式,且 (a , b ) = 0 a 與b 正交,(10) Schmidt正交化過程把線性無關的向量組變成正交組,40,向量a 與b 在該基下的坐標為,41,度量矩陣,矩陣 A 稱為基的度量矩陣。,，即 A 為復正定矩陣。,，則稱 A 為Hermite矩陣。,，即A 為Hermite矩陣。,稱 A 為復正定矩陣。,設T 是復內(nèi)積空間V 的線性變換，若aV 有,則稱T 為V 的酉變換。,定理: 設T 是復內(nèi)積空間V 的線性變換，a, b V ，,則下列命題等價，,4.6 正規(guī)矩陣,例如，對角陣，酉矩陣，Hermite陣都是正規(guī)