浙江省中考數(shù)學(xué)復(fù)習題方法技巧專題（十）最短距離訓(xùn)練（新版）浙教版.docx

方法技巧專題(十)最短距離訓(xùn)練【方法解讀】探究平面內(nèi)最短路徑的原理主要有以下兩種:一是“垂線段最短”,二是“兩點之間,線段最短”.立體圖形上的最短路徑問題需借助平面展開圖轉(zhuǎn)化為平面問題.求平面內(nèi)折線的最短路徑通常用軸對稱變換、平移變換或旋轉(zhuǎn)變換等轉(zhuǎn)化為兩點之間的線段.1.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖F10-1,點B的坐標為(3,4),D是OA的中點,點E在AB上,當CDE的周長最小時,點E的坐標為()圖F10-1A.(3,1)B. (3,43)C.(3,53)D.(3,2)2.2018宜賓 在ABC中,若O為BC邊的中點,則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論,解決如下問題:如圖F10-2,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,點P在以DE為直徑的半圓上運動,則PF2+PG2的最小值為()圖F10-2A.10B.192C.34D.103.2017天津 如圖F10-3,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的兩條中線,P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于BP+EP最小值的是()圖F10-3A.BCB.CEC.ADD.AC4.2017萊蕪 如圖F10-4,菱形ABCD的邊長為6,ABC=120,M是BC邊的一個三等分點,P是對角線AC上的動點,當PB+PM的值最小時,PM的長是()圖F10-4A.72B.273C.355D.2645.2017烏魯木齊 如圖F10-5,點A(a,3),B(b,1)都在雙曲線y=3x上,點C,D分別是x軸、y軸上的動點,則四邊形ABCD周長的最小值為()圖F10-5A.52B.62C.210+22D.826.2018泰安 如圖F10-6,M的半徑為2,圓心M的坐標為(3,4),點P是M上的任意一點,PAPB,且PA,PB與x軸分別交于A,B兩點,若點A,B關(guān)于原點O對稱,則AB的最小值為()圖F10-6A.3B.4C.6D.87.2018濱州 如圖F10-7,AOB=60,點P是AOB內(nèi)的定點且OP=3,若點M,N分別是射線OA,OB上異于點O的動點,則PMN周長的最小值是()圖F10-7A.362B.332C.6D.38.2018遵義 如圖F10-8,拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點P是拋物線對稱軸上任意一點,若點D,E,F分別是BC,BP,PC的中點,連結(jié)DE,DF,則DE+DF的最小值為.圖F10-89.2018黑龍江龍東 如圖F10-9,已知正方形ABCD的邊長為4,點E是AB邊上一動點,連結(jié)CE.過點B作BGCE于點G.點P是AB邊上另一動點,則PD+PG的最小值為.圖F10-910.2018廣安改編 如圖F10-10,已知拋物線y=12x2+bx+c與直線y=12x+3相交于A,B兩點,交x軸于C,D兩點,連結(jié)AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).(1)求此拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸l上找一點M,使|MB-MD|的值最大,并求出這個最大值.圖F10-1011.2018廣州 如圖F10-11,在四邊形ABCD中,B=C=90,ABCD,AD=AB+CD.(1)利用尺規(guī)作ADC的平分線DE,交BC于點E,連結(jié)AE(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)在(1)的條件下,證明:AEDE;若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點,求BM+MN的最小值.圖F10-11 參考答案1.B解析 如圖,作點D關(guān)于直線AB的對稱點H,連結(jié)CH與AB的交點為E,此時CDE的周長最小.D(32,0),A(3,0),H(92,0),可求得直線CH的解析式為y=-89x+4.當x=3時,y=43,點E的坐標為(3,43).故選B.2.D解析 取GF的中點O,連結(jié)PO,則根據(jù)材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+222=8+2OP2,若使PF2+PG2的值最小,則必須OP的值最小,所以PO垂直于GF時PO的值最小,此時PO=1,所以PF2+PG2的最小值為10.故選D.3.B解析 連結(jié)PC.由AB=AC,可得ABC是等腰三角形,根據(jù)“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”可知點B與點C關(guān)于直線AD對稱,BP=CP,因此BP+EP的最小值為CE.故選B.4.A解析 如圖,連結(jié)BD,DM,BD交AC于點O,DM交AC于點P,則此時PB+PM的值最小.過點D作DFBC于點F,過點M作MEBD交AC于點E. ABC=120,BCD=60.又DC=BC,BCD是等邊三角形.BF=CF=12BC=3.MF=CF-CM=3-2=1,DF=3BF=33.DM=(33)2+12=27.MEBD,CEMCOB.MEOB=CMBC=26=13.又OB=OD,MEOD=13.MEBD,PEMPOD.PMPD=MEOD=13,PM=14DM=1427=72.故選A.5.B解析 點A(a,3),B(b,1)都在雙曲線y=3x上,a=1,b=3,A(1,3),B(3,1),則AB=(1-3)2+(3-1)2=8=22.作點A關(guān)于y軸的對稱點A1,作點B關(guān)于x軸的對稱點B1,連結(jié)A1B1,交y軸于點D,交x軸于點C,則A1(-1,3),B1(3,-1),A1B1=(-1-3)2+3-(-1)2=32=42,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),四邊形ABCD周長的最小值是AB+A1B1=22+42=62.故選B.6.C解析 連結(jié)OP,PAPB,APB=90.AO=BO,AB=2PO.若要使AB取得最小值,則PO需取得最小值,如圖,連結(jié)OM,交M于點P,當點P位于點P位置時,OP取得最小值,過點M作MQx軸于點Q,則OQ=3,MQ=4,OM=5.又MP=2,OP=3,AB=2OP=6.故選C.7.D解析 如圖,分別以O(shè)A,OB為對稱軸作點P的對稱點P1,P2,連結(jié)P1P2,OP1,OP2,P1P2分別交射線OA,OB于點M,N,則此時PMN的周長有最小值,PMN周長等于=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知,OP1=OP2=OP=3,P1OP2=120,OP1M=30,過點O作MN的垂線段,垂足為Q,在OP1Q中,可知P1Q=32,所以P1P2=2P1Q=3,故PMN周長的最小值為3.故選D. 8.322解析 因為點D,E,F分別是BC,BP,PC的中點,所以DE,DF是PBC的中位線,所以DE=12PC,DF=12PB,所以DE+DF=12(PC+PB),即求PC+PB的最小值.因為B,C為定點,P為對稱軸上一動點,點A,B關(guān)于對稱軸對稱,所以連結(jié)AC,與對稱軸的交點就是點P的位置,PC+PB的最小值等于AC的長度,由拋物線的解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=32,所以DE+DF=12(PC+PB)=322.9.213-2解析 由問題“PD+PG的最小值”考慮到“最短路徑問題”,由于點D為定點,因此考慮作點D關(guān)于AB軸對稱的點M,如圖,連結(jié)PM,GM,則MP=DP.根據(jù)兩點之間線段最短,當M,P,G三點不在同一條直線上時,PM+PGMG,即DP+PGMG;當M,P,G三點在同一條直線上時,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,當PD+PG取最小值時,M,P,G三點在同一條直線上,此時DP+PG=MG.進一步得到:當MG取得最小值時,DP+PG隨之取得最小值.下面分析MG何時取得最小值.注意到問題與點G有關(guān),點G是BCG的直角頂點,BCG的斜邊為定值,因此,其斜邊的一半也為定值,因此取BC中點N,連結(jié)GN,則GN的長為2.連結(jié)MN,結(jié)合定點M,可知MN也為定值.再分析點G,無論點E怎樣變化,點G始終在以N為圓心,NG長為半徑的圓上.根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,可知,當點M,G,N不在同一直線上時,MGMN-GN,進一步可知,當點G在線段MN上時,MG=MN-GN,此時MG最小,最小值為MN-GN.如圖,易知MN的長,進一步可得結(jié)果.如圖,作點D關(guān)于AB軸對稱的點M,取BC中點N,連結(jié)MN,交AB于點P,以BC為直徑畫圓,交MN于點G,則DP=MP,DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作NQAD于Q,則MN=MQ2+NQ2=213,MN-GN=213-2,PD+PG的最小值為213-2.10.解:(1)拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點A(0,3),C(-3,0),解得b=52,c=3.拋物線的解析式為y=12x2+52x+3.(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形兩邊之差小于第三邊,得當點B,C,M在同一條直線上時,|MB-MD|的值最大.由一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點,得12x2+52x+3=12x+3,解得x=-4或x=0.當x=-4時,y=1,即點B(-4,1).點C(-3,0),BC=(-4+3)2+(1-0)2=2,|MB-MD|的最大值為2.11.解:(1)如圖:(2)證明:如圖,延長DE,AB相交于點F.ABC=C=90,ABC+C=180.ABCD.CDE=F.DE平分ADC,ADE=CDE.ADE=F.AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD.BF=CD.在CED和BEF中,CEDBEF.DE=EF.又AD=AF,AEDE.如圖,作DH垂直AB于點H,作點N關(guān)于AE的