高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用學(xué)案蘇教版選修.docx

1.4導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點1學(xué)會解決利潤最大，用料最省，效率最高等優(yōu)化問題2學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)解決生活中簡單實際問題，并體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用3提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.重點：用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的最優(yōu)化問題難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用例如，用料最省、利潤最大、效率最高等問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的_問題，從而可用_來解決預(yù)習(xí)交流1做一做：有一長為16 m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則此矩形場地的最大面積為_ m2.預(yù)習(xí)交流2做一做：做一個無蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_預(yù)習(xí)交流3用導(dǎo)數(shù)求解生活中的優(yōu)化問題時應(yīng)注意哪些問題？在預(yù)習(xí)中還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學(xué)困點我的學(xué)疑點答案：預(yù)習(xí)導(dǎo)引最值導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)交流1：提示：設(shè)矩形長為x m，則寬為(8x) m，矩形面積Sx(8x)(8x0)，令S82x0，得x4.此時S最大4216(m2)預(yù)習(xí)交流2：提示：設(shè)半徑為r，則高h，S2rhr22rr2r2，令S2r0，得r3，當(dāng)r3時，用料最省預(yù)習(xí)交流3：提示：(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應(yīng)舍去(2)在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還應(yīng)確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間(3)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值一、面積、體積最大問題如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r.計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S.(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值思路分析：表示面積時，首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，借助橢圓的方程，可表示出等腰梯形的高用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積1求面積、體積的最大值問題是生活、生產(chǎn)中的常見問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質(zhì)寫出面積或體積關(guān)于自變量的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的方法來解2必要時，可選擇建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用點的坐標(biāo)建立函數(shù)關(guān)系或曲線方程，有利于解決問題二、費用最省問題如圖所示，設(shè)鐵路AB=50，B，C之間距離為10，現(xiàn)將貨物從A運往C，已知單位距離鐵路費用為2，公路費用為4，問在AB上何處修筑公路至C，可使運費由A至C最省？思路分析：可從AB上任取一點M，設(shè)MB=x，將總費用表示為變量x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費用為56048x(單位：元)為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？1求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考慮，不符合實際意義的理論值應(yīng)舍去；2在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值；3在解決實際優(yōu)化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域三、利潤最大問題某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5 000輛本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加已知年利潤(每輛車的出廠價每輛車的投入成本)年銷售量(1)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為y3 240，則當(dāng)x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤是多少？思路分析：根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求解某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價格P(元/噸)之間的關(guān)系為P24 200x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R50 000200x元問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？(利潤收入成本)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的最優(yōu)化問題的一般步驟：第一步，分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)第二步，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.第三步，比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值1若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積最大為_2一個箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)x2(0x60)，則當(dāng)箱子的容積最大時，x的值為_3將8分成兩個非負(fù)數(shù)之和，使這兩個數(shù)中一個數(shù)的立方與另一個數(shù)的平方之和最小，則這個最小值等于_4以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為_5某商品每件成本9元，銷售價30元，每星期賣出432件如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低量x(單位：元，0x30)的平方成正比已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？提示：用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進行識記.知識精華技能要領(lǐng)答案：活動與探究1：解：(1)依題意，以AB的中點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則點C的橫坐標(biāo)為x，點C的縱坐標(biāo)為y，滿足方程(y0)，解得y2(0xr)S(2x2r)22(xr)，其定義域為x|0xr(2)記f(x)4(xr)2(r2x2),0xr，則f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得xr.因為當(dāng)0xr時，f(x)0；當(dāng)rxr時，f(x)0，所以f是f(x)的最大值因此，當(dāng)xr時，S也取得最大值，最大值為r2，即梯形面積S的最大值為r2.遷移與應(yīng)用：解：設(shè)容器底面短邊的邊長為x m，則另一邊長為(x0.5) m，高為3.22x(m)由題意知x0，x0.50，且3.22x0，0x1.6.設(shè)容器的容積為V m3，則有Vx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)V6x24.4x1.6.令V0，有15x211x40，解得x11，x2(舍去)當(dāng)x(0,1)時，V(x)0，V(x)為增函數(shù)，x(1,1.6)時，V(x)0，V(x)為減函數(shù)V在x(0,1.6)時取極大值V(1)1.8，這個極大值就是V在x(0,1.6)時的最大值，即Vmax1.8.這時容器的高為1.2 m.當(dāng)高為1.2 m時，容器的容積最大，最大值為1.8 m3.活動與探究2：解：設(shè)MBx，于是AM上的運費為2(50x)，MC上的運費為4，則由A到C的總運費為p(x)2(50x)4(0x50)p(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)當(dāng)x時，p(x)0；當(dāng)x時，p(x)0，所以當(dāng)x時，取得最小值即在離B點距離為的點M處筑公路至C時，貨物運費最省遷移與應(yīng)用：解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，則f(x)(56048x)56048x(x10，xN*),f(x)=48令f(x)=0,得x=15或x=15(舍去)，當(dāng)x15時，f(x)0；當(dāng)10x15時，f(x)0，因此當(dāng)x=15時，f(x)取最小值f(15)=2000.故為了樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為15層.活動與探究3：解：(1)由題意得：上年度的年利潤為(1310)5 00015 000(萬元)；本年度每輛車的投入成本為10(1x)；本年度每輛車的出廠價為13(10.7x)；本年度年銷售量為5 000(10.4x)，因此本年度的年利潤為y13(10.7x)10(1x)5 000(10.4x)(30.9x)5 000(10.4x)1 800x21 500x15 000(0x1)，由1 800x21 500x15 00015 000，解得0x.所以當(dāng)0x時，本年度的年利潤比上年度有所增加(2)本年度的年利潤為f(x)(30.9x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)，則f(x)3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3)，由f(x)0，解得x或x3(舍去)，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x時，f(x)0，f(x)是減函數(shù)所以當(dāng)x時，f(x)取極大值f20 000萬元因為f(x)在(0,1)上只有一個極大值，所以它是最大值，所以當(dāng)x時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20 000萬元遷移與應(yīng)用：解：每月生產(chǎn)x噸時的利潤為f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 0000，解得x1200，x2200(舍去)因為f(x)在0，)內(nèi)只有一個點x200使f(x)0，故它就是最大值點，且最大值為f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元當(dāng)堂檢測12r2解析：如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則R=rcos ，L=2rsin ，所以側(cè)面積S=2rcos 2rsin =4r2sin cos .令S=4r2(cos2sin2)=0，解得，即當(dāng)，也就是R=r時，側(cè)面積S最大，且最大值為2r2.240解析：V(x)x330x2，V(x)x260x，令V(x)0，得x40(x0舍去)，且當(dāng)0x40時V(x)0；當(dāng)40x60時V(x)0，故V(x)在x40時取得最大值344解析：設(shè)其中一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8x，且0x8，則yx3(8x)2x3x216x64，y3x22x160，解得x2，且當(dāng)0x2時，y0；當(dāng)2x8時，y0，故當(dāng)x2時，y取最小值44.425解析：設(shè)矩形垂直于直徑的一邊長為x，則另一邊長為2，于是矩形面積S(x)2x，則S(x)，令S(x)0得x，因此當(dāng)x時面積取最大值為S25.5解：(1)設(shè)商品降價x元時，多賣出的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的銷售利潤為f(x)，則由題意，得f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(43