矩陣的對角化及二次型.ppt

第五章 矩陣的對角化及二次型,1 向量的內積與施密特正交化方法,向量的內積,定義：設有n 維向量 令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ， 則稱 x, y 為向量 x 和 y 的內積 說明： 內積是兩個向量之間的一種運算，其結果是一個實數 內積可用矩陣乘法表示：當x 和 y 都是列向量時， x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y ,定義：設有 n 維向量 令 則稱 x, y 為向量 x 和 y 的內積,向量的內積,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內積具有下列性質（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當 x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當 x 0（零向量） 時， x, x 0 施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內積具有下列性質（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數）： 對稱性： x, y = y, x,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內積具有下列性質（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內積具有下列性質（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當 x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當 x 0（零向量） 時， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內積具有下列性質（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當 x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當 x 0（零向量） 時， x, x 0 施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,回顧：線段的長度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1, x2),O,P,O,若令 x = (x1, x2)T，則,若令 x = (x1, x2, x3)T，則,x, x = x12 + x22 + + xn2 0,向量的長度,定義：令 稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度（或范數） 當 | x | = 1時，稱 x 為單位向量 向量的長度具有下列性質： 非負性：當 x = 0（零向量） 時， | x | = 0； 當 x0（零向量） 時， | x | 0 齊次性： | l x | = | l | | x | ,向量的長度,定義：令 稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度（或范數） 當 | x | = 1時，稱 x 為單位向量 向量的長度具有下列性質： 非負性：當 x = 0（零向量） 時， | x | = 0； 當 x 0（零向量） 時， | x | 0 齊次性： | l x | = | l | | x | 三角不等式： | x + y | | x | + | y |,x,y,x + y,y,向量的正交性,施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y = | x | | y | 當 x 0 且 y 0 時， 定義：當 x 0 且 y 0 時，把 稱為 n 維向量 x 和 y 的夾角 當 x, y = 0，稱向量 x 和 y 正交 結論：若 x = 0，則 x 與任何向量都正交,x,y,定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組 定理：若 n 維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向量， 則 a1, a2, , ar 線性無關 證明：設 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量），那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2 從而 k1 = 0 同理可證，k2 = k3 = = kr =0 綜上所述， a1, a2, , ar 線性無關,例：已知3 維向量空間R3中兩個向量 正交，試求一個非零向量a3 ，使a1, a2, a3 兩兩正交 分析：顯然a1a2 解：設a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3 ， a2a3 ，則 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0,得 從而有基礎解系 ，令 ,定義： n 維向量e1, e2, , er 是向量空間 中的向量， 滿足 e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個基（最大無關組）； e1, e2, , er 兩兩正交； e1, e2, , er 都是單位向量， 則稱 e1, e2, , er 是V 的一個規(guī)范正交基 例： 是 R4 的一個規(guī)范正交基,也是 R4 的一個規(guī)范正交基,是 R4 的一個基，但不是規(guī)范正交基,設 e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個正交基，則V 中任意一 個向量可唯一表示為 x = l1e1 + l2e2 + + lrer 于是 特別地，若 e1, e2, , er 是V 的一個規(guī)范正交基，則 問題： 向量空間 V 中的一個基 a1, a2, , ar 向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基 e1, e2, , er,？,求規(guī)范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化過程 設 a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,規(guī)范正交基,b1,c2,a2,b2,返回,令 c2 為 a2 在 b1 上的投影，則 c2 = l b1 ， 若令 b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，則 b1b2 下面確定l 的值因為 所以 ，從而,a2b1,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化過程 設 a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，那么令 于是 b1, b2, , br 兩兩正交，并且與a1, a2, , ar 等價，即 b1, b2, , br 是向量空間 V 中的一個正交基 特別地，b1, , bk 與a1, , ak 等價（1 k r）,第二步：單位化 設 b1, b2, , br 是向量空間 V 中的一個正交基，那么令 因為 從而 e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基,例：設 ，試用施密特正交化 過程把這組向量規(guī)范正交化 解：第一步正交化，取,例：設 ，試用施密特正交化 過程把這組向量規(guī)范正交化 解：第二步單位化，令,例：已知 ，試求非零向量a2, a3 ，使a1, a2, a3 兩兩正交. 解：若a1a2 ， a1a3 ，則 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3 應滿足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基礎解系為 把基礎解系正交化即為所求,（以保證 a2a3 成立）,定義：如果 n 階矩陣 A 滿足 ATA = E， 則稱矩陣 A 為正交矩陣，簡稱正交陣,即 A1 = AT，,于是 從而可得 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交,即 A 的列向量組構成Rn 的規(guī)范正交基,定義：如果 n 階矩陣A 滿足 ATA = E，即 A1 = AT， 則稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交即 A 的列向量組構成Rn 的規(guī)范正交基. 因為ATA = E 與AAT = E 等價，所以,定義：如果 n 階矩陣A 滿足 ATA = E，即 A1 = AT， 則稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交即 A 的列向量組構成Rn 的規(guī)范正交基 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的行向量都是單位向量，且兩兩正交,即 A 的行向量組構成Rn 的規(guī)范正交基.,例：正交矩陣,R4 的一個規(guī)范正交基,正交矩陣具有下列性質： 若 A 是正交陣，則 A1 也是正交陣，且|A| = 1 或1 若 A 和B是正交陣，則 A 和 B 也是正交陣 定義：若 P 是正交陣，則線性變換 y = Px 稱為正交變換 經過正交變換，線段的長度保持不變（從而三角形的形狀保 持不變），這就是正交變換的優(yōu)良特性,表示一個從變量 到變量 線性變換， 其中 為常數.,n 個變量 與 m 個變量 之間的 關系式,系數矩陣,線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.,返回,2 特征值與特征向量,引言,純量陣 lE 與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB BA 數乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ? 例：,一、基本概念,定義：設 A 是 n 階矩陣，如果數 l 和 n 維非零向量 x 滿足 Ax = l x， 那么這樣的數 l 稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 對應于特征值 l 的特征向量 例： 則 l = 1 為 的特征值， 為對應于l = 1 的特征向量.,一、基本概念,定義：設 A 是 n 階矩陣，如果數 l 和 n 維非零向量 x 滿足 Ax = l x， 那么這樣的數 l 稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 對應于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x 非零向量 x 滿足 (AlE) x = 0（零向量） 齊次線性方程組有非零解 系數行列式 | AlE | = 0,特征方程,特征多項式,特征方程 | AlE | = 0 特征多項式 | AlE |,二、基本性質,在復數范圍內 n 階矩陣 A 有 n 個特征值（重根按重數計算） 設 n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|,例：求矩陣 的特征值和特征向量 解：A 的特征多項式為 所以 A 的特征值為 l1 = 2，l2 = 4 當 l1 = 2 時， 對應的特征向量應滿足 ，即 解得基礎解系 ,k p1（k 0）就是對應的特征向量,例：求矩陣 的特征值和特征向量 解：A 的特征多項式為 所以 A 的特征值為 l1 = 2，l2 = 4 當 l2 = 4 時， 對應的特征向量應滿足 ，即 解得基礎解系 ,k p2（k 0）就是對應的特征向量,例：求矩陣 的特征值和特征向量 解： 所以 A 的特征值為 l1 = 1，l2 = l3 = 2 ,例：求矩陣 的特征值和特征向量 解（續(xù)）：當 l1 = 1 時，因為 解方程組 (A + E) x = 0 解得基礎解系 ,k p1（k 0）就是對應的特征向量,例：求矩陣 的特征值和特征向量 解（續(xù)）：當 l2 = l3 = 2 時，因為 解方程組 (A2E) x = 0 解得基礎解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同時為零）就是對應的特征向量,二、基本性質,在復數范圍內 n 階矩陣 A 有 n 個特征值（重根按重數計算） 設 n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎解系 就是對應于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關組,例：設 l 是方陣 A 的特征值，證明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 當 A 可逆時，1/l 是 A1 的特征值 結論：若非零向量 p 是 A 對應于特征值 l 的特征向量，則 l2 是 A2 的特征值，對應的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，對應的特征向量也是 p 當 A 可逆時，1/l 是 A1 的特征值，對應的特征向量仍然是 p ,二、基本性質,在復數范圍內 n 階矩陣 A 有n 個特征值（重根按重數計算） 設 n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎解系 就是對應于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關組 若 l 是 A 的一個特征值，則 j (l) = a0 + a1 l + + am l m 是矩陣多項式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值,例：設3 階方陣 A 的特征值為1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1) 2 = 2 設 l 是 A 的一個特征值， p 是對應的特征向量令 則,定理：設 l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應的特征向量，如果l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關 例：設 l1 和 l2 是方陣 A 的兩個不同的特征值，對應的特征 向量依次為 p1 和 p2， 證明 p1 + p2不是 A 的特征向量,3 相似矩陣,定義：設 A, B 都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 P 滿足 P 1AP = B ， 則稱 B 為矩陣 A 的相似矩陣，或稱矩陣A 和 B 相似 對 A 進行運算 P 1AP 稱為對 A 進行相似變換 稱可逆矩陣 P 為把 A 變成 B 的相似變換矩陣 定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 證明：根據題意，存在可逆矩陣 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |AlE | |P | = |AlE | ,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項式 j (A) 和 B 的 多項式 j (B) 相似 證明：設存在可逆矩陣 P ，使得 P 1AP = B ，則P 1AkP = Bk . 設j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E = j (B) .,定理：設 n 階矩陣 L = diag(l1, l2, , ln )，則l1, l2, , ln 就 是 L 的 n 個特征值 證明： 故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 個特征值,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項式 j (A) 和 B 的 多項式 j (B) 相似 若 n 階矩陣 A 和 n 階對角陣 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，則 從而通過計算j (L) 可方便地計算j (A). 若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩陣）.,可逆矩陣 P ，滿足 P 1AP = L （對角陣）,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,對應的 特征向量,其中,?,P.123定理4： n 階矩陣 A 和對角陣相似 當且僅當 A 有 n 個線性無關的特征向量,推論：如果 A 有 n 個 不同的特征值，則 A 和對角陣相似,4 實對稱矩陣的對角化,定理：設 l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關 （P.120定理2）,可逆矩陣 P ，滿足 P 1AP = L （對角陣）,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,對應的 特征向量,其中,?,(Ali E) pi = 0,矩陣 P 的 列向量組 線性無關,定理：設 l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關（P.120定理2） 定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關的特征向量（P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當 A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關 的特征向量，從而不一定能對角化（P.118例6）,定理：設 l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關（P.120定理2） 定理：設 l1 和 l2 是對稱陣 A 的特征值， p1, p2 是對應的特 征向量，如果 l1 l2 ，則 p1, p2 正交（P.124定理6） 證明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是對稱陣） l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0 因為l1 l2 ，則 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交,定理：設 A 為 n 階對稱陣，則必有正交陣 P，使得 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 個特征值為對角元的對角陣（不唯一）. （P.124定理7）,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關的特征向量 （P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當 A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關 的特征向量，從而不一定能對角化,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關的特征向量 （P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當 A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關 的特征向量，從而不一定能對角化,推論：設 A 為 n 階對稱陣，l 是 A 的特征方程的 k 重根，則 矩陣 A lE 的秩等于 n k， 恰有 k 個線性無關的特征向量與特征值 l 對應,例：設 ，求正交陣 P，使P1AP = L對角陣. 解：因為 A 是對稱陣，所以 A 可以對角化 求得 A 的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1 ,當 l1 = 2 時， 解方程組 (A + 2E) x = 0 ，得基礎解系 當 l2 = l3 = 1 時， 解方程組 (AE) x = 0 ，得 令 ，則 . 問題：這樣的解法對嗎？,當 l1 = 2時，對應的特征向量為 ； 當 l2 = l3 = 1 時，對應的特征向量為 . 顯然，必有x1x2 ， x1x3 ，但x2x3 未必成立 于是把 x2, x3 正交化： 此時x1h2 ， x1h3 ，h2h3 ,單位化： 當 l1 = 2時，對應的特征向量為 ； 當 l2 = l3 = 1 時，對應的特征向量為 .,當 l1 = 2時，對應的特征向量為 ； 當 l2 = l3 = 1 時，對應的特征向量為 于是 p1, p2, p3 構成正交陣 從而 ,把對稱陣 A 對角化的步驟為： 求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, , ls ，它們的重數依次為k1, k2, , ks （k1 + k2 + + ks = n） 對每個 ki 重特征值 li ，求方程組 | Ali E | = 0 的基礎解系，得 ki 個線性無關的特征向量 把這 ki 個線性無關的特征向量正交化、單位化，得到 ki 個兩兩正交的單位特征向量 因為k1 + k2 + + ks = n ，總共可得 n 個兩兩正交的單位特征向量 這 n 個兩兩正交的單位特征向量構成正交陣 P，便有 P 1AP = L L 中對角元的排列次序應于中列向量的排列次序相對應.,例：設 ，求 An . 分析： 數學歸納法,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項式 j (A) 和 B 的 多項式 j (B) 相似 若 n 階矩陣 A 和 n 階對角陣 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，則 從而通過計算j (L) 可方便地計算j (A). 若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩陣）.,例：設 ，求 An . 分析： 數學歸納法 因為 A 是對稱陣，所以 A 可以對角化 求得 A 的特征值 l1 = 1， l2 = 3 下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣 P ,下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣 P 當 l1 = 1 時， 解方程組 (AE) x = 0 ，得基礎解系 當 l2 = 3 時， 解方程組 (A3E) x = 0 ，得基礎解系 問題：是否需要單位化？ 于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即 若 ，則 ,于是 ，即,5 二次型與對稱矩陣,投影變換,例 2階方陣,以原點為中心逆時針 旋轉j 角的旋轉變換,例 2階方陣,解析幾何中，二次曲線的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通過選擇適當的的旋轉變換 使得 mx 2 + ny 2 = 0 定義：含有 n 個變量 x1, x2, , xn 的二次齊次函數 稱為二次型,令 aij = aji，則 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是,對稱陣,對稱陣 A 的秩也叫做二次型 f 的秩 線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.,對稱陣的 二次型,二次型 的矩陣,對于二次型，尋找可逆的線性變換 使二次型只含平方項，即 f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定義：只含平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）. 如果標準形的系數 k1 , k2 , , kn 只在1, 0, 1三個數中取值, 即 f = k1 y12 + + kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 則上式稱為二次型的規(guī)范形 說明：這里只討論實二次型，所求線性變換也限于實數范圍.,簡記為 x = C y ， 于是 f = xTAx