2019高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3.3導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用學(xué)案新人教B版.docx

1.3.3導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用1學(xué)會解決實際問題的基本方法，注意首先通過分析、思考、總結(jié)、聯(lián)想，建立問題涉及的變量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)實際意義確定定義域2學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)求解實際問題，感受導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用求實際問題中的最值的主要步驟(1)列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程_；(3)比較函數(shù)在區(qū)間_和使f(x)0的點的取值大小，最大(小)者為最大(小)值(1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考慮，不符合實際意義的理論值應(yīng)舍去；(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值；(3)在解決實際優(yōu)化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間【做一做11】內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為()A和R BR和RCR和R D以上都不對【做一做12】面積為S的所有矩形中，其周長最小的是_如何求解實際應(yīng)用題？剖析：解應(yīng)用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是從實際問題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實際問題中進(jìn)行檢驗，其思路如下：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對結(jié)果進(jìn)行驗證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案值得注意的是：在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0的情形，如果函數(shù)在這個點有極大(小)值，那么不與端點值比較也可以知道這就是最大(小)值這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間題型一 利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最小值【例題1】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值分析：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值反思：解答一道應(yīng)用題重點要過三關(guān)：事理關(guān)(需要讀懂題意，知道講的是什么事件)；文理關(guān)(需要把實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系)；數(shù)理關(guān)(要求學(xué)生有對數(shù)學(xué)知識的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成由實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而借助數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答)對于這類問題，往往因忽視了數(shù)學(xué)語言和普通語言的轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙題型二 利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最大值【例題2】如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD2x，梯形面積為S.(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值分析：建立坐標(biāo)系，求出橢圓方程，表示出梯形的面積，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值反思：本題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，得到橢圓方程1(y0)，進(jìn)而得到梯形面積S2(xr).利用導(dǎo)數(shù)法解決實際問題，當(dāng)遇到在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0的情形時，若函數(shù)在這一點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值題型三 易錯辨析易錯點：在運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的過程中，常常因為忽略實際問題中函數(shù)的定義域而造成結(jié)果求解錯誤解決問題的主要措施為：在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，正確建模，在實際問題的定義域范圍內(nèi)求出問題的最優(yōu)解【例題3】某廠生產(chǎn)一種機(jī)器，其固定成本(即固定投入)為0.5萬元但每生產(chǎn)100臺，需要增加可變成本(即另增加投入)0.25萬元市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售收入(單位：萬元)函數(shù)為R(x)5xx2(0x5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺)(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；(2)年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？錯解：(1)yR(x)C(x)(0.50.25x)x2x(0x5)(2)yx，令y0，得x4.75，4.75必為最大值點年產(chǎn)量為475臺時，工廠利潤最大1將8分為兩數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不對2用邊長為48 cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，當(dāng)所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()A6 cm B8 cmC10 cm D12 cm3某車間要靠墻壁蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有磚只夠砌20 m長的墻壁，則應(yīng)圍成長為_ m，寬為_ m的長方形才能使小屋面積最大4做一個容積為256的方底無蓋水箱，當(dāng)它的高為_時，最省材料答案：基礎(chǔ)知識梳理(2)f(x)0(3)端點【做一做11】B設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長為2，周長l2x4(0xR)，l2，令l0，得x1R，x2R(舍去)，當(dāng)0xR時，l0；當(dāng)RxR時，l0，所以當(dāng)xR時，l取最大值，即矩形周長最大時邊長為R和R.【做一做12】以為邊長的正方形設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長為，周長f(x)2，f(x)2，令f(x)0，得x，易知當(dāng)x時，f(x)有極小值，也就是最小值典型例題領(lǐng)悟【例題1】解：(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)，又C(0)8，k40，因此C(x)，而建造費用C1(x)6x，從而隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，得x15，x2(舍去)，當(dāng)0x5時，f(x)0，當(dāng)5x10時，f(x)0，故5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)6570，即當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時，總費用達(dá)到最小值70萬元【例題2】解：(1)依題意，以AB所在的直線為x軸，AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則點C的橫坐標(biāo)為x，點C的縱坐標(biāo)y滿足方程1(y0)，即y2(0xr)S(2x2r)22(xr)，其定義域為x|0xr(2)記f(x)4(xr)2(r2x2)，0xr，則f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得xr.因為當(dāng)0x時，f(x)0；當(dāng)xr時，f(x)0，所以f(r)是f(x)的最大值因此，當(dāng)xr時，S也取得最大值，最大值為r2.故梯形面積S的最大值為r2.【例題3】錯因分析：實際問題中，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量不一定在500臺之內(nèi)(含500臺)，應(yīng)有x5的情況，錯解忽視了此種情況，就出現(xiàn)了錯誤正解：(1)利潤yR(x)C(x)(2)0x5時，yx24.75x0.5，當(dāng)x4.75時，ymax10.78(萬元)；當(dāng)x5時，y120.25x120.25510.75(萬元)年產(chǎn)量是475臺時，工廠所得利潤最大隨堂練習(xí)鞏固1B設(shè)其中一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8x，yx3(8x)3，0x8，y3x23(8x)2，令y0即3x23(8x)20，得x4.當(dāng)0x4時，y0；當(dāng)4x8時，y0.所以當(dāng)x4時，y最小2B設(shè)截去的小正方形的邊長為x cm，鐵盒的容積為V cm3，由題意，得Vx(482x)2(0x24)，V12(24x)(8x)令V0，則在