人工腎的模型數(shù)學建?？荚囆≌撐?大學開放性作業(yè))

數(shù)學建模考試論文人體中的數(shù)學人工腎模型作者 05級班級 學號 摘要本文將從分析人體腎臟的功能出發(fā)，模仿人體腎的機理建立理想化的人工腎模型。本模型主要用到了微分方程模型的建模方法，分析了血液中廢物濃度的變化，單位時間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量，最后得出了人工腎性能指標清除率的模型。從本模型可以看出數(shù)學是貫穿于其它學科的一門重要工具學科。關(guān)鍵詞：生理學，腎，人工腎，微分方程模型一、引言腎臟是機體主要的排泄器官。通過尿的生成和排出，腎臟實現(xiàn)排出機體代謝終產(chǎn)物以及進入機體過剩的物質(zhì)和異物，調(diào)節(jié)水和電解質(zhì)平衡，調(diào)節(jié)體液滲透壓，體液量和電解質(zhì)濃度，以及調(diào)節(jié)酸堿平衡等功能。腎清除率是人體腎臟的重要性能指標之一。腎清除率是指兩腎在單位時間(一般指每分鐘)內(nèi)能將多少毫升血漿中所含的某一物質(zhì)完全清除，這個被完全清除了該物質(zhì)的血漿的毫升數(shù)就稱為該物質(zhì)的清除率。不同物質(zhì)從血漿中被清除提供了一個定量性衡量腎功能的方法，測定腎清除率可用于腎小球濾過率和腎血漿流量的測定以及對腎小管功能進行評估。腎清除率的計算方法有：UV=PCC=(UV)/P上兩式中的符號說明如下：U：尿中某物質(zhì)的濃度(mg/100ml)V：每分鐘尿量(ml/min)P：血漿中某物質(zhì)的濃度(mg/100ml)C：清除率測定清除率的意義有：測定腎小球濾過率測定腎血流量推測腎小管的功能模仿人體腎的機理可以建立理想化的人工腎模型。二、模型（一）問題的化簡和假設(shè)為了簡化問題，我在建立人工腎時只考慮腎清除率一項性能指標，并設(shè)血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比。（二）模型的建立人工腎是幫助人體從血液中帶走廢物的裝置，它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通，如圖所示，人工腎中通以某種液體，其流動方向與血液在血管中的流動方向相反，血液中的廢物透過薄膜進入人工腎。血管人工腎薄膜血液流動方向液體流動方向圖設(shè)血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比，人工腎總長，建立單位時間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量的模型。以血液流動方向為正方向建立坐標，如圖2所示：（血管）（人工腎）kukvu（x）v（x）xx+x圖2本模型中的主要符號說明為：人工腎總長血液中廢物濃度（）人工腎中廢物濃度（）血液中液體流動的速度ku人工腎中液體流動的速度kv。單位時間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量Q人工腎的清除率I三、分析（一）血液中廢物濃度的變化考察(x,x+x)血液中廢物濃度的變化，得u(x)=u(x)-v(x)dx+u(x+dx),于是=-（u-v），0。同理，=-（u-v），邊界條件為u（0）=，v（l）=0，可解得u(x)= v(x)= 其中=（-）將人工腎模型結(jié)合人體腎臟的實際情況考慮：血液中廢物濃度（0）相當于人體血漿中某物質(zhì)的濃度P （二）單位時間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量單位時間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量為：=dx =-=-u(l)=將人工腎模型結(jié)合人體腎臟的實際情況考慮： 單位時間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量Q相當于人體尿中某物質(zhì)的濃度U與每分鐘尿量V的乘積，即UV（三）人工腎性能指標清除率表示人工腎性能的指標清除率I定義為I = = = 將人工腎模型結(jié)合人體腎臟的實際情況考慮：人工腎的清除率I相當于人體腎清除率C=(UV)/P把UV=Q ， P=代入人體腎清除率的計算公式得：C=I 證明這個人工腎的微分方程模型正確。四、結(jié)論這個模型的建立和求解過程用到了微分方程的建模方法。當我們描述實際對象的某些特性隨時間或空間而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來性態(tài)，研究它的控制手段時，通常要建立對象的動態(tài)模型。建模時首先要根據(jù)建模目的和對問題的具體分析作出簡化假設(shè)，然后按照對象內(nèi)在的或可以類比的其他對象的規(guī)律列出微分方程，求出方程的解并將結(jié)果翻譯回實際對象，就可以進行描述、分析、預(yù)測或控制了。本文建立的人工腎模型，大致就是這個過程。五、進一步的探討腎臟除了腎清除率，還有其它重要的性能指標，比如腎血流量、腎小球濾過率、腎小球有效濾過壓等。為了建立更完善的人工腎模型，可以在建模時把這些因素都考慮在內(nèi)，可以用微分方程建模思想和層次分析建模思想相結(jié)合，建立更復雜實用的數(shù)學模型。由于時間有限，在此不再作進一步的探討。五、參考文獻1姜啟源、謝金星、葉俊 ，數(shù)學模型