2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1學(xué)案新人教A版.doc

2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)過程.2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形.知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義思考1給你兩個(gè)圖釘、一根無彈性的細(xì)繩、一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一個(gè)橢圓？答案在紙板上固定兩個(gè)圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長(zhǎng)大于兩圖釘間的距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動(dòng)筆尖即可畫出橢圓.思考2在上述畫橢圓過程中，筆尖移動(dòng)需滿足哪些條件？如果改變這些條件，筆尖運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的軌跡是否還為橢圓？答案筆尖到兩圖釘?shù)木嚯x之和不變，等于繩長(zhǎng).繩長(zhǎng)大于兩圖釘間的距離.若在移動(dòng)過程中繩長(zhǎng)發(fā)生變化，即到兩定點(diǎn)的距離不是定值，則軌跡就不是橢圓.若繩長(zhǎng)不大于兩圖釘間的距離，軌跡也不是橢圓.梳理(1)我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.(2)橢圓的定義用集合語(yǔ)言敘述為：PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|.(3)2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表：條件結(jié)論2a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F22abc一定成立嗎？答案不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小關(guān)系不確定.思考2若兩定點(diǎn)A、B間的距離為6，動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為10，如何求出點(diǎn)P的軌跡方程？答案以兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(3，0)，B(3，0).設(shè)P(x，y)，依題意得|PA|PB|10，所以10，即點(diǎn)P的軌跡方程為1.梳理(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)焦距焦點(diǎn)在x軸上1(ab0)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)2c焦點(diǎn)在y軸上1(ab0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)2c(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系橢圓在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2a2c2(3)根據(jù)方程判斷橢圓的焦點(diǎn)位置及求焦點(diǎn)坐標(biāo).判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“誰大在誰上”.如方程為1的橢圓，焦點(diǎn)在y軸上，而且可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，1)，F(xiàn)2(0，1)，焦距|F1F2|2.類型一橢圓的定義解讀例1點(diǎn)P(3，0)是圓C：x2y26x550內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點(diǎn)，判斷圓心M的軌跡.解方程x2y26x550化標(biāo)準(zhǔn)形式為：(x3)2y264，圓心為(3，0)，半徑r8.因?yàn)閯?dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點(diǎn)，所以|MC|MP|r8，根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C，P的距離之和為定值86|CP|，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓.引申探究若將本例中圓C的方程改為：x2y26x0且點(diǎn)P(3，0)為其外一定點(diǎn)，動(dòng)圓M與已知圓C相外切且過P點(diǎn)，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解設(shè)M(x，y)，據(jù)題，圓C：(x3)2y29，圓心C(3，0)，半徑r3.由|MC|MP|r，故|MC|MP|r3，即3，整理得1(x0).反思與感悟橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視.定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量.常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件.跟蹤訓(xùn)練1下列命題是真命題的是_.(將所有真命題的序號(hào)都填上)已知定點(diǎn)F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則滿足|PF1|PF2|的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；已知定點(diǎn)F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|PF2|4的點(diǎn)P的軌跡為線段；到定點(diǎn)F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓.答案解析b0).依題意有解得由ab0知不合題意，故舍去.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).依題意有解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn).則解得所以所求橢圓的方程為5x24y21，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.引申探究求與橢圓1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，)的橢圓方程.解據(jù)題可設(shè)其方程為1(9)，又橢圓過點(diǎn)(3，)，將此點(diǎn)代入橢圓方程，得11(21舍去)，故所求的橢圓方程為1.反思與感悟(1)若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0).(2)與橢圓1(ab0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為1(ab0，b2)，與橢圓1(ab0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為1(ab0，b2).跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；(2)橢圓過點(diǎn)(3，2)，(5，1)；(3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2，0)和點(diǎn)(0，1).解(1)設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).據(jù)題2a10，c4，故b2a2c29，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0，B0，AB)，則解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).由解得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.命題角度2用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3已知一動(dòng)圓M與圓C1：(x3)2y21外切，與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解據(jù)題C1(3，0)，r11，C2(3，0)，r29，設(shè)M(x，y)，半徑為R，則|MC1|1R，|MC2|9R，故|MC1|MC2|10，據(jù)橢圓定義知，點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且a5，c3，故b2a2c216.故所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為1.反思與感悟用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的思路：先分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定a，b的值.跟蹤訓(xùn)練3已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)P作長(zhǎng)軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求此橢圓的方程.解設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，不妨取|PF1|，|PF2|，由橢圓的定義，知2a|PF1|PF2|2.即a.由|PF1|PF2|知，PF2垂直于長(zhǎng)軸.在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，b2a2c2.又所求的橢圓的焦點(diǎn)可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為1或1.類型三橢圓中焦點(diǎn)三角形問題例4(1)已知P是橢圓1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且F1PF230，求F1PF2的面積.(2)已知橢圓1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上.若|PF1|4，求F1PF2的大小.解(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由橢圓的定義，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2).|PF1|PF2|sinF1PF216(2)84.(2)由1，知a3，b，c，|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，F(xiàn)1PF2120.反思與感悟在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)不是橢圓與焦點(diǎn)所在軸的交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形就是焦點(diǎn)三角形.這個(gè)三角形中一條邊長(zhǎng)等于焦距，另兩條邊長(zhǎng)之和等于橢圓定義中的常數(shù).在處理橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|MF2|2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解.跟蹤訓(xùn)練4(1)在橢圓C：1(ab0)的焦點(diǎn)三角形PF1F2中，F(xiàn)1PF2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，求證：PF1F2的面積c|y0|b2tan.證明|F1F2|y0|c|y0|.在PF1F2中，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|PF2|2a.兩邊平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.根據(jù)余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 4c2.，得(1cos )|PF1|PF2|2b2，所以|PF1|PF2|.根據(jù)三角形的面積公式，得|PF1|PF2|sin sin b2.又因?yàn)閠an，所以b2tan.(2)已知橢圓的方程為1，橢圓上有一點(diǎn)P滿足PF1F290(如圖).求PF1F2的面積.解由已知得a2，b，所以c1.從而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|24.又由橢圓定義知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|PF1|.從而有(4|PF1|)2|PF1|24.解得|PF1|.所以PF1F2的面積S|PF1|F1F2|2，即PF1F2的面積是.1.已知A(5，0)，B(5，0).動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|BC|10，則點(diǎn)C的軌跡是()A.橢圓 B.直線 C.線段 D.點(diǎn)答案C解析因?yàn)閨AC|BC|10|AB|，所以點(diǎn)C的軌跡是線段AB，故選C.2.若方程3x2ky21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的可能取值為()A.1 B.3 C.0 D.2答案A解析當(dāng)k1時(shí)，原方程可化為1，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其他選項(xiàng)不合題意.3.已知橢圓C：1內(nèi)有一點(diǎn)M(2，3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，則|PM|PF1|的最大值為_，最小值為_.答案1010解析由橢圓的定義，得|PF1|2a|PF2|，即|PF1|10|PF2|，所以|PF1|PM|10|PM|PF2|.由三角形中“兩邊之差小于第三邊”可知，當(dāng)P，M，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|PF2|取得最大值|MF2|，最小值|MF2|.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1可得點(diǎn)F2(3，0).又|MF2|，所以|PF1|PM|取得最大值10，最小值10.4.橢圓8x23y224的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_.答案(0，)，(0，)解析據(jù)題知1，它的焦點(diǎn)位于y軸上，且c，故兩焦點(diǎn)分別為(0，)，(0，).5.求經(jīng)過兩點(diǎn)(2，)，(1，)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解方法一若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0).同理得a24，b28，此時(shí)a20，B0，AB).將兩點(diǎn)(2，)，(1，)的坐標(biāo)分別代入，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.1.橢圓的定義式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|).在解題過程中將|PF1|PF2|看成一個(gè)整體，可簡(jiǎn)化運(yùn)算.2.橢圓的定義中要求一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù)，因而在解決問題時(shí)，若出現(xiàn)“兩定點(diǎn)”“距離之和”這樣的條件或內(nèi)容，應(yīng)考慮是否可以利用橢圓的定義來解決.3.凡涉及橢圓上的點(diǎn)的問題，首先要考慮它應(yīng)滿足橢圓的定義|MF1|MF2|2a(M為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn))，一般進(jìn)行整體變換，其次要考慮該點(diǎn)的坐標(biāo)M(x0，y0)適合橢圓的方程，然后再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.已知橢圓1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()A.1 B.4 C.3 D.22答案B解析由橢圓的定義知P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a6，故所求距離為624，故選B.2.已知橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，2)，那么k的值為()A.1 B.1 C. D.答案B解析原方程可化簡(jiǎn)為x21，由c214，得k1.3.已知橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，則橢圓的方程是()A.1 B.1 C.x21 D.1答案D解析由題意