悖論與數(shù)理邏輯的三大學派=論文.doc

大學研究生學位課程論文 論 文 題 目： 悖論與數(shù)理邏輯的三大學派 悖論與數(shù)理邏輯的三大學派摘要：由于很多數(shù)學家和邏輯學家不愿因悖論的出現(xiàn)就輕易的放棄他們的研究成果，積極投身于悖論和數(shù)學基礎的研究，為排除悖論，克服危機作了大量的工作。在數(shù)學基礎的研究過程中，數(shù)學家和邏輯學家們對悖論的解決等一系列問題的分歧日漸加深，漸成營壘，形成了關于數(shù)理邏輯的三大學派。本文分別分析了這三大學派，以推進數(shù)理邏輯的進一步發(fā)展。關鍵詞：悖論；數(shù)理邏輯；學派一 悖論與邏輯主義學派集合論悖論的出現(xiàn)，造成數(shù)學基礎的危機，受影響最大的首當其沖是邏輯主義者，因為他們企圖以集合論作為數(shù)學的“永恒的，可靠的基礎”，并企圖把數(shù)學歸結為邏輯。集合論悖論的發(fā)現(xiàn)表明邏輯主義者企圖用以作為數(shù)學基礎的邏輯本身就是不可靠的。這樣，邏輯主義的代表人物羅素就親手釀造了一個苦果，不僅把弗雷格置于對自己事業(yè)萬分失望的尷尬境地，而且自己也不得不苦咽下去。所以從1902年開始，邏輯主義的研究進入一個新時期，他們不僅研究如何由邏輯出發(fā)去開展全部數(shù)學問題，而且必須防止悖論的出現(xiàn)。首先，羅素對悖論進行了仔細的研究，尋求合適的解悖方案。最初，他在數(shù)學的原理(1903)中提出區(qū)別類和類的元素的類型，這也是類型論的最初構想，本質上是簡單類型論，但沒有進行深入的研究。簡單類型論的基本思想是：區(qū)分個體、謂詞或集合的不同類型。要直觀的理解簡單類型論對涉及集合的悖論的作用，需要用集合的語言闡述類型和級的概念。任何集合都可劃分到特定的類型:：類型0，這一層的元素為個體類型1，個體的集合類型2，個體的集合的集合類型3，個體的集合的集合的集合在定義中沒有涉及某些集合的總體性質的集合是第0級的，在定義中涉及“第n級的所有集合”的總體性質的集合則屬于n+l級。在這樣的劃分下，依照原則規(guī)定：類型n中的集合只能以類型n-1中的對象為元素，每一類型各級的集合的界定不能依賴該級的整體或更高的級中的集合。違反規(guī)定的表達式是無意義的，這樣就避免了“元素”和“元素的集合”的混淆，排除了集合論悖論。但是對數(shù)和命題的處理遇到了困難，而且有一些悖論，尤其是語義悖論不能解決。對于這一點，羅素感到失望，沒有再繼續(xù)深入下去，而是是另辟蹊徑。1905年，羅素在另一篇論文關十超窮數(shù)和超窮序型理論中的一些困難中提出了另外三種解悖方法：量性限制理論、曲折論和無類論。同時，受彭加勒的悖論與非直謂定義有關的思想影響，他樂觀的認為一切悖論都有一個共同的根源，就是它們都違反了一個原則：“惡性循環(huán)原則”。基于這一原則和無類論的思想，羅素又對類型論進行了擴充，引進命題函項的概念，做出嚴格的類和級的劃分，沿著非集合的道路發(fā)展出了一個形式的悖論解決方案一一分支類型論。分支類型論比簡單類型論更加具體，它的基本思想不僅包括“任一性質，都要歸屬于一定的類型”而且“對任一性質，還要更具體的歸屬于確定類型論中的一定的級”。于是，羅素想以命題函數(shù)為出發(fā)點，建立一套以階論為中心的類型論的形式化體系，對各種悖論作統(tǒng)一處理。首先，羅素要對命題函數(shù)進行分層處理：第一層：零階函數(shù)，函數(shù)是個體，a，b，c表示個體常元；x, y ,z表示個體變元；第二層：一階函數(shù)，比個體高一層次的函數(shù)，以個體為變元，例如（X）(X,Y)，(Y) (X)Y(x，y，z) 第三層：二階函數(shù)，以一階函數(shù)為變元，例如，（）F(!x, z),(Y)f(Y!z，!z) 一般地，如果一個函數(shù)中變元(或約束變兀)的最高階是n（n0），則稱這一函數(shù)是n+l階的。其次，因為悖論的出現(xiàn)與“非直謂定義”有關，為了遵循惡性循環(huán)原則，避免悖論，羅素把命題函數(shù)分為直謂的和非直謂的，并對直謂函數(shù)作了嚴格的定義。他是這樣定義的：“對一元命題而言，當函數(shù)的階恰比它的自變元的階高1時，稱為直謂的；對于有K (K1)個自變元的K元命題函數(shù)，若K個子變元中最高的階是n，而函數(shù)的階是n+l，則稱該K元函數(shù)是直謂的。由此可知，一階函數(shù)都是直謂函數(shù)，而二階和二階以上的函數(shù)則分為直謂的和非直謂的兩種。如果函數(shù)本身的階不是比函數(shù)中自變元的階高1，就是非直謂函數(shù)。這樣，各個函數(shù)階層徑渭分明，互不交叉，每個函數(shù)都是有限階的，并目在函數(shù)階層中有唯一確定的位置，把涉及命題總體的命題(非直謂命題)和不涉及命題總體的命題(直謂命題)區(qū)分開來，從而避免了一些著名的悖論。羅素又引入了可歸化公理，該公理斷言：“對任何命題函數(shù)，必存在一個與它形式等價的直謂函數(shù)。”借助這一公理，就可以把一個命題函數(shù)決定的類，定義為與它形式等價的直謂函數(shù)所決定的類，從而一切類都可看作是由直謂函數(shù)決定的。因為直謂函數(shù)的階比它的自變元的階高1,所以個體的集合的階總比個體的階高1。這樣，正如上面所表述的，在類的理論中，個體、個體的集合、個體的集合的集合形成一個遞增的層次，和這一層次相對應的事個體、個體的直謂函數(shù)、個體的直謂函數(shù)的直謂函數(shù)這樣一個遞增的函數(shù)層次。這個以階論為中心發(fā)展起來的邏輯體系便是羅素的分支類型論。后來羅素就是按照分支類型論的原則由集合論出發(fā)開展全部數(shù)學理論的研究。為實現(xiàn)這一目標，羅素和懷特海經(jīng)過艱苦的勞動，完成了著名的數(shù)學原理。羅素的類型論在數(shù)理邏輯發(fā)展史上有重要的地位，因為利用它可避免一些著名悖論(康托悖論，布拉里一一福蒂悖論，羅素悖論及一些語義悖論)，不能不說是一大成就。但是羅素的類型論也有嚴重的缺陷：首先，類型論要求過于嚴格，雖排除了一些悖論，但同時也排出了許多合理的東西，尤其是一些重要的定理不能證明，某些無害的數(shù)學概念宣布為非法，結果是得不償失。但如果放寬原則的話，誰能保證不會出現(xiàn)別種類型的悖論呢?其次，羅素提出了可歸化公理實質上降低了分支類型論將函數(shù)劃分為不同階層要求，遭到了強烈的批判，并且，羅素的類型論系統(tǒng)本身也過于繁瑣，引起不少的麻煩。從數(shù)理邏輯的發(fā)展歷史看，雖然邏輯主義想把數(shù)學全部歸結于邏輯的意圖是不可能實現(xiàn)的，但邏輯主義還是有很大的貢獻：首先，邏輯主義者以集合論為基礎進行數(shù)學研究，為了避免悖論，他們必須做使邏輯嚴格化的工作，這就直接促進了邏輯的數(shù)學化。所以，數(shù)學原理是用數(shù)學方法研究邏輯取得的高度成就，正是在這個意義上，它常被說成是數(shù)理邏輯成熟的標志。其次，羅素的理論對后來研究者產(chǎn)生重大影響，公理化集合論就是沿著他的方向發(fā)展起來的。羅素的分層思想對后來的數(shù)理邏輯學家也有極大的啟示:塔爾斯基就是沿著羅素開辟的道路對語言進行分層處理，對數(shù)理邏輯的發(fā)展做出重大貢獻。二 悖論與直覺主義學派與此同時，在數(shù)學基礎這一研究領域中，出現(xiàn)了一種與邏輯主義完全對立的數(shù)學思想：把直覺當作數(shù)學最根本的基礎，全然否認數(shù)學構造中有邏輯的作用，認為所有的數(shù)學對象和定理都是從原始直覺出發(fā)能行地構造出來的，這就是數(shù)學基礎問題上的另一主要流派一一直覺主義。直覺主義者傾向于歡迎悖論的到來，因為悖論似乎使他們樂于去證明非直覺主義數(shù)學的虛弱。第一個對數(shù)學采取自覺的直覺主義的是德國數(shù)學家克隆尼克，但他并沒有對此進行系統(tǒng)的闡述，所以沒有得到其他人的支持。他曾經(jīng)預言說：“假如我不做這件事，追隨我的人也會去實行”，但追隨者并沒有很快出現(xiàn)。直到1901年羅素悖論的出現(xiàn)，使數(shù)學界出現(xiàn)了混亂，從而為直覺主義新的崛起創(chuàng)造了條件。1907年，直覺主義的代表人物布勞威爾在他的博士論文中初步制定了直覺主義綱領，他認為要解決集合論悖論問題，必須改變?nèi)藗儗σ恍┻壿嫽痉▌t，特別是排中律的絕對普適性認識。從“存在必須等于被構造”的要求出發(fā)，布勞威爾對邏輯法則的有效性進行直接的分析：由于邏輯法則的應用并不能保證相應構造的可實現(xiàn)性，因此邏輯法則在數(shù)學中的應用并不總是有效的。而且布勞威爾認為經(jīng)典邏輯是從有限性對象中抽象出來的，不能無限制的推廣到無限對象，而悖論恰恰就出現(xiàn)在無限問題上，而排中律只是在有限的領域內(nèi)起作用的法則，一涉及無限的領域，排中律便不再有效。所以，直覺主義者認為實在無限觀念是悖論產(chǎn)生的深刻根源。因此，直覺主義正是從“數(shù)學活動是一種心智構造”出發(fā)，導致了對排中律的拒絕。 其次，由于堅持構造性的立場，布勞威爾認為數(shù)學直覺具有無可爭辯的可信性、可靠性，因而數(shù)學只要根基于其上，便可避免悖論的產(chǎn)生。所以直覺主義對已有的經(jīng)典數(shù)學采取否定態(tài)度，使已有的數(shù)學知識支離破碎。為什么直覺主義采取如此極端的手段呢?因為直覺主義者認為：悖論在集合論中的出現(xiàn)不是偶然的事，實質上是整個數(shù)學所感染的疾病的一個癥狀，即數(shù)學的“不可靠性”，如果不從根本上清除傳統(tǒng)數(shù)學，便不足以克服悖論。因此，直覺主義者不滿足于對已有數(shù)學的某些部分作一些限制性的限制和修改，而是要依據(jù)“可靠性”標準對已有數(shù)學進行徹底的審查和改造。于是，直覺主義者對已有數(shù)學進行了強烈的批判：他們認為，已有的數(shù)學理論并不都是可靠的，因此必須按照某種更為嚴格的要求對此進行全面審查，而且毫不猶豫的舍棄“不可靠”的概念和方法并代之以“可靠”的概念和方法。由此可見，直覺主義是要革傳統(tǒng)數(shù)學的命。最后，直覺主義者雖然否定不符合構造性要求的古典數(shù)學命題的有效性，但他們?nèi)匀徽J為這些命題具有一定的啟發(fā)作用。因此直覺主義者就是依據(jù)“構造性”標準來重建數(shù)學，即“直覺主義數(shù)學”。與邏輯主義不同的是布勞威爾是以自然數(shù)理論而不是以集合論為基礎開展他的直覺主義數(shù)學理論的，并且直覺主義者也發(fā)展了自己的邏輯系統(tǒng)，直覺主義的命題演算系統(tǒng)和一階謂詞演算系統(tǒng)是由黑丁于1935和1956分別做出的。所以，直覺主義者避免悖論的方法事實上依賴十他們關十心靈之“構造”這一含糊哲學，用“構造”的思想構建邏輯與數(shù)學系統(tǒng)。為了避免悖論，把“直覺上的可構造性”作為數(shù)學“可靠性”的唯一標準，對古典數(shù)學絕對否定，造成了數(shù)學的支離破碎，并目作為悖論的解決方案，這個要求已經(jīng)相當弱了，但即使這個目標也沒有完全達到。但我們不能否認直覺主義者做出的貢獻，因為他們第一次完整地建立了一個構造性的數(shù)學系統(tǒng)，而構造性數(shù)學已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學理論的有機組成部分。而且由于人們和直覺主義的多次論戰(zhàn)，逐漸了解直覺主義的說法在于注重能行性，因為構造的基本要求，即“能行性”。正是這種想法產(chǎn)生了能行性理論，從而促進了數(shù)理邏輯的另一分支遞歸論的形成和發(fā)展。另外，形式主義學派的代表人物雖然對直覺主義者進行批判，但在一定程度上接受了他們的構造性思想，這對希爾伯特的形式化研究綱領起了至關重要的作用，而形式主義學派是我們將要討論的內(nèi)容。三 悖論與形式主義學派 集合論中發(fā)現(xiàn)的悖論表明，甚至那些看上去簡單并且自明的正確的基本原則也可能包含暗藏的矛盾。這使人們將注意力集中到一致性問題上來。所以，為解決數(shù)學基礎中出現(xiàn)的悖論問題，形式主義采取了與邏輯主義和直覺主義不同的方法：他們企圖構造一個無矛盾的，完備的，可判定的形式系統(tǒng)，數(shù)學的各個分支及所有證明全部形式化，使數(shù)學本身成為數(shù)學研究對象，以達到證明數(shù)學的一致性，從而避免了悖論，這就是著名的“希爾伯特規(guī)劃”。希爾伯特規(guī)劃的提出有一個較長的歷史過程：1899年，希爾伯特在集合基礎這一著作中，不僅為數(shù)學提供了新的研究方法一一形式的公理化研究方法，同時還為數(shù)學開辟了新的研究領域“元數(shù)學”，為“希爾伯特規(guī)劃”提出打下了基礎。由十1901年羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，使希爾伯特把注意力放到數(shù)學基礎上來。經(jīng)過認真研究，希爾伯特不同意直覺主義拒斥大部分古典數(shù)學的主張，他認為完全可以在保留現(xiàn)有數(shù)學成果的條件下解決悖論問題，無須犧牲古典數(shù)學中有價值的部分。那么，怎樣解決悖論問題呢?希爾伯特曾經(jīng)指出，如果要避免悖論，就必須在某種程度上同時進行邏輯定律和算術定律的研究。這種研究的目的即證明數(shù)學理論的相容性(無矛盾勝)，因為如果數(shù)學理論的相容性得到了證明，悖論就自然排除了，這也是所謂的“海德堡計劃”。在該計劃中，希爾伯特第一次提出應把數(shù)學證明本身作為數(shù)學研究對象的思想，創(chuàng)建了數(shù)理邏輯的第一個分支“證明論”的思想，開了把數(shù)學理論系統(tǒng)作為對象的“元數(shù)學”的先河。1922年作為對直覺主義向古典數(shù)學挑戰(zhàn)的回應，希爾伯特提出了基礎研究規(guī)劃：首先將數(shù)學理論組織成形式系統(tǒng)，然后再用有限的方法證明這一系統(tǒng)的無矛盾性。這一規(guī)劃可以看成是證明論思想的進一步發(fā)展和深化。盡管希爾伯特對直覺主義進行批判，但在一定程度上接受了他們的構造性思想，只不過這種構造性是對證明論(元數(shù)學)的要求。這種思想體現(xiàn)在1925年論無限中，希爾伯特與直覺主義者相仿，認為絕對可靠性只存在于有限的范疇，為保證數(shù)學的可靠性，避免悖論的出現(xiàn)，必須堅持“有限性”的立場。(但是，他認為可以把非有限的成分作為“理想元素”引入到數(shù)學中，不但使證明簡化，還使排中律法則得以保存。)所以，希爾伯特把數(shù)學分成兩個不同部分：“真實的數(shù)學”和“理想元素”。由于理想數(shù)學認為是不具有意義的，希爾伯特提出必須把理想數(shù)學組織成形式系統(tǒng)的思想。在形式系統(tǒng)中，把數(shù)學對象徹底的符號化和演算化，這樣就可以保留古典數(shù)學的成果。但為保證理想元素不會導致錯誤，必須對這種工具的構造進行徹底研究，即證明形式系統(tǒng)的一致性，這也是證明論思想的進一步深化。這樣，希爾伯特就站在有限性的立場上，企圖通過將數(shù)學理論形式公理化并證明形式系統(tǒng)的一致性來避免悖論的產(chǎn)生，并保住現(xiàn)存數(shù)學的全部成果。所以，希爾伯特的最終目標是構造一個無矛盾的、可判定的、完備的、范疇性的形式系統(tǒng)，其中可證命題集恰好與直覺上為真的數(shù)學命題集相對應，而上述證明又可以在一個僅僅包含一般遞歸函數(shù)，性質和關系的算術部分中得出，即可以用有限的方法實現(xiàn)，這就是希爾伯特規(guī)劃的目地。希爾伯特對此計劃充滿信心，并目斷言，要得出形式化算術系統(tǒng)無矛盾性證明為期不遠了。后來幾年形勢確如他愿，1928年希爾伯特和他的學生阿克曼用有限性方法證明了一階邏輯的相容性，邁出了重大一步。于是，希爾伯特說出了與直覺主義觀點針鋒相對的名言：“要想從數(shù)學家手中奪走排中律，就像奪去天文學家的望遠鏡或禁止拳擊家用拳頭一樣?！弊鳛殂Ｕ摰囊环N解決方案考慮，如果希爾伯特計劃得以實現(xiàn)，應是非常令人滿意的，然而，果真用有限的構造就可一勞永逸解決數(shù)學理論的相容性，并進而證明其完全性嗎?事實并非如此。1930年哥德爾循著這個思路得出的一項重要成果卻使希爾伯特陷入絕望的境地。哥德爾以無可辯駁的精密方法證明了形式算術系統(tǒng)是不完全的，它的相容性也不可能以希爾伯特方案即有限的方法加以證明，即哥德爾不完全性定理。所以，希爾伯特的形式系統(tǒng)沒有堅固到可以背負起他想讓它承受的重擔。并且，希爾伯特在數(shù)學基礎上