江蘇省高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)優(yōu)編增分練：高考附加題加分練九數(shù)學(xué)歸納法.doc

(九)數(shù)學(xué)歸納法1已知數(shù)列an滿足：a12a2，an1aan11(nN*)(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a3，試證明：對(duì)nN*，an是4的倍數(shù)(1)解當(dāng)a1時(shí)，a14，an1(1)an11.令bnan1，則b15，bn1(1)bn.b15為奇數(shù)，當(dāng)n2時(shí)，bn也是奇數(shù)且只能為1，bn即an(2)證明當(dāng)a3時(shí)，a14，an13an11.下面利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：an是4的倍數(shù)當(dāng)n1時(shí)，a1441，命題成立；設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，命題成立，則存在tN*，使得ak4t，ak13ak1134t1127(41)4(t1)127(4m1)14(27m7)，其中，4m44(t1)C44t5(1)rC44t4rC4，mZ，當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)nN*，an是4的倍數(shù)成立2已知數(shù)列an滿足an1anan1(nN*)，且a13.(1)計(jì)算a2，a3，a4的值，由此猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并給出證明；(2)求證：當(dāng)n2時(shí)，a4nn.(1)解a24，a35，a46，猜想：ann2(nN*)當(dāng)n1時(shí)，a13，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即akk2，則當(dāng)nk1時(shí)，ak1akak1(k2)2k(k2)1k3(k1)2，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由，得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2(nN*)(2)證明原不等式等價(jià)于n4.顯然，當(dāng)n2時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)n2時(shí)，nCCC2CnCCC254.綜上所述，當(dāng)n2時(shí)，a4nn.3已知函數(shù)f(x)ln(2x)ax在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若數(shù)列an滿足a1(0,1)，an1ln(2an)an，nN*，證明：0anan11.(1)解函數(shù)f(x)ln(2x)ax在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，f(x)a0在區(qū)間(0,1)上恒成立，a.又g(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，ag(1)1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)(2)證明先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1.當(dāng)n1時(shí)，a1(0,1)成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，0ak1成立當(dāng)nk1時(shí)，由(1)知當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)ln(2x)x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，ak1f(ak)ln(2ak)ak，0ln 2f(0)f(ak)f(1)1，即0ak11成立，當(dāng)nN*時(shí)，0an1成立下證anan1.0anln 10，anan1.綜上0anan10；當(dāng)n2時(shí)，S2P2440；當(dāng)n3時(shí)，S3P38910；當(dāng)n6時(shí)，S6P66436280.猜想：當(dāng)n5時(shí)，SnPn0.證明如下：當(dāng)n5時(shí)，由上述可知SnPn0.假設(shè)當(dāng)nk(k5，kN*)時(shí)，SkPk2kk20.當(dāng)nk1時(shí)，Sk1Pk12k1(k1)222kk22k12(2kk2)k22k12(SkPk)k22k1k22k1k(k2)15(52)1140.當(dāng)nk1時(shí)，Sk1Pk10成立由可知，當(dāng)n5