蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件6.3基本不等式.ppt

1了解基本不等式的證明過程 2會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,第3課時(shí) 基本不等式 (a0，b0),1基本不等式是不等式中的重要內(nèi)容，也是歷年高考的重點(diǎn)，它應(yīng)用范圍較廣，幾乎可以涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，內(nèi)容無外乎就是大小判斷、求最值、求取值范圍等 2基本不等式在每年的高考題中幾乎都有所體現(xiàn)，特別是在求有關(guān)最值中，往往和應(yīng)用題結(jié)合，同時(shí)常在基本不等式的使用條件上設(shè)置一些問題，應(yīng)謹(jǐn)慎處理,【命題預(yù)測】,1利用基本不等式證明其他不等式時(shí)，一是要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用基本不等式的情境，二是選擇恰當(dāng)?shù)墓郊捌渥冃涡问剑鏰2b22ab(a，bR),2(a2b2)(ab)2，(ab)24ab， ，同時(shí)也要從整體上把握基本不等式,【應(yīng)試對(duì)策】,2用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)的和或積，使這兩項(xiàng)的和或積或平方和為定值，然后利用基本不等式求出最值在求解最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式進(jìn)行變形，然后用基本不等式使要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值在用基本不等式時(shí)都必須要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件 3利用基本不等式求最值時(shí)，必須滿足三個(gè)條件：一正二定三相等，也就是先滿足是正數(shù)，然后有定值(和定積最大，積定和最小)，三是要看能不能取等號(hào)“當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立”有兩層意思：一是當(dāng)xy時(shí)，取“”；二是取到“”時(shí)，必有xy.所以，在運(yùn)用此定理解題時(shí)一定要重視這一點(diǎn),1證明：不等式a3b3c33abc(a、b、c均為正數(shù)) 證明：a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc (abc)(ab)2(ab)cc23ab(abc) (abc)(a2b2c2abbcca) (abc)(ab)2(bc)2(ca)20， a3b3c33abc 很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”號(hào) 推論：如果a，b，c為正實(shí)數(shù)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取“”號(hào)),【知識(shí)拓展】,1算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 對(duì)于正數(shù)a，b，我們把 稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)， 稱為a，b 的幾何 平均數(shù),2基本不等式 (1)基本不等式成立的條件： . (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào) (3)結(jié)論：兩個(gè)正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù) 其幾何平均數(shù) 思考：你能用數(shù)列的知識(shí)解釋 (a0，b0)的意義嗎？ 提示：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng),a0，b0,ab,不小于,3幾個(gè)重要的不等式 (1)a2b2 (a，bR)(2) (a，b同號(hào)) (3)ab (a，bR) 4運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最大值、最小值 對(duì)于非負(fù)數(shù)a，b， (1)和ab一定時(shí)，積ab有最 ，用基本不等式的變形式 ； (2)積ab一定時(shí)，和ab有最 ，用基本不等式的變形式 .,2ab,2,大值,小值,1(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測)已知a，b(0，)，ab1， 則ab的最大值為_ 答案： 2設(shè)x，y為正數(shù)，則(xy)( )的最小值為_ 解析：(xy)( )5 (x0，y0)5229， 當(dāng)且僅當(dāng)y2x時(shí)取 得最小值9. 答案：9,3已知 1(x0，y0)，則xy的最小值為_ 解析：1 2 ， ，xy60. 當(dāng)且僅當(dāng) ，即x10，y6時(shí)，xy有最小值60. 答案：60,4函數(shù)yx 的值域?yàn)開 解析：當(dāng)x0時(shí)，x 2；當(dāng)x0時(shí)x 2. 函數(shù)的值域?yàn)?，2 2) 答案：(，22，),5已知扇形面積為定值S，則半徑為_時(shí)，扇形周長取最小值_ 解析：設(shè)半徑為R，周長為l.S (l2R)R，l2R 2(R )4 此時(shí)R ， 則R . 答案： 4,1利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，其實(shí)質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推得所證問題，其特征是“由因?qū)Ч?2證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，注意每次等號(hào)是否都成立同時(shí)也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式,【例1】(1)已知a0，b0，ab1，求證： 4.(2)證明：a4b4c4d44abcd. 思路點(diǎn)撥：(1)利用ab1將要證不等式中的1代換，即可得證 (2)利用a2b22ab兩兩結(jié)合即可求證但需兩次利用不等式，注意等號(hào)成立的條件,證明：(1)a0，b0，ab1， 4.原不等式成立 (2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c2d2)22abcd4abcd. 故原不等式得證，等號(hào)成立的條件是a2b2且c2d2且a2b2c2d2.,變式1：已知a，b(0，)且ab1，求證： (1) 16；(2)a2b2 ；(3)(1 )(1 )9； (4) 2.,應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)注意： (1)合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立，每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值 (2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法,【例2】(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z 的最小值 (2)已知x ，求函數(shù)y4x2 的最大值 思路點(diǎn)撥：(1)由lgxlgy1得xy10，故可用基本不等式 (2)由x ，可知4x50，故可以對(duì)4x2進(jìn)行拆項(xiàng)，再調(diào)整符號(hào),解：(1)由已知條件lgxlgy1，可得xy10. 則 2.當(dāng)且僅當(dāng)2y5x， 即x2，y5時(shí)等號(hào)成立 2. (2)x0， y4x2 3231， 當(dāng)且僅當(dāng)54x 即x1時(shí)，上式等號(hào)成立當(dāng)x1時(shí)，y取得最大值1.,變式2：已知x0，y0，且xy1，則 的最小值是_ 解析：由已知，得 2 13， 當(dāng)且僅當(dāng) 且x0，y0，即xy 時(shí)，取等號(hào) 答案：3,3x0， f(x) 1，當(dāng)且僅當(dāng) 3x，即x1時(shí)，等號(hào)成立故f(x)的最大值為1.,有關(guān)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題，在利用基本不等式求有關(guān)代數(shù)式的最值的過 程中，要注意相應(yīng)的前提條件是否具備，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果 【例3】某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內(nèi)，沿左、 右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地 當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？,思路點(diǎn)撥：本題主要思路是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，靈活地應(yīng)用不等式等 基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問題.,解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為a m，后側(cè)邊長為b m，則ab800. 蔬菜的種植面積是S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b)， 所以S8084 648(m2)當(dāng)a2b，即a40(m)，b20(m)時(shí)， S最大值648(m2) 所以，當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40 m、后側(cè)邊長為20 m時(shí)，蔬菜的種植面積最 大，最大種植面積為648 m2.,池的深度一定，池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單 價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁厚忽略不計(jì)) (1)污水處理池的長設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低； (2)如果受地形限制，污水處理池的長，寬都不能超過14.5米，那么此時(shí)污水處理 池的長設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低,變式4：某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池，,解：(1)設(shè)污水處理池的長為x米，則寬為 米總造價(jià)f(x) 400(2x2 ) 100 60200800(x )12 000 1 600 12 00036 000(元)， 當(dāng)且僅當(dāng)x (x0)，即x15時(shí)等號(hào)成立 (2)記g(x)x (0x14.5)，顯然是減函數(shù)，x14.5時(shí)，g(x)有最小值， 相應(yīng)造價(jià)f(x)有最小值，此時(shí)寬也不超過14.5米,【規(guī)律方法總結(jié)】 1a2b22ab成立的條件是a，bR，而 成立，則要求a0且b0.使用時(shí)，要明確定理成立的前提條件 2在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為一定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件 3注意掌握基本不等式的逆用，變化形式特點(diǎn) 4不等式的應(yīng)用主要有三方面：一是能轉(zhuǎn)化為求解不等式(組)的有關(guān)問題(如求 函數(shù)的定義域、討論一元二次方程根的分布等)；二是能轉(zhuǎn)化為不等式證明的有關(guān)問題(如證明函數(shù)的單調(diào)性等)；三是能利用兩個(gè)重要不等式的極端情形解決的最值問題.,【例4】 函數(shù)yx (x1)的值域是_,【錯(cuò)因分析】,應(yīng)用基本不等式 時(shí)，易忽視a、b同為非負(fù)數(shù)這一條件而出錯(cuò)，如本題易出現(xiàn)：由yx 13，得出y3，)這一錯(cuò)誤結(jié)果,【答題模板】 解：當(dāng)x1時(shí)，yx 13， 當(dāng)且僅當(dāng)x1 即x2時(shí)等號(hào)成立； 當(dāng)x1時(shí)，yx 11， 即y1，當(dāng)且僅當(dāng)1x 即x0時(shí)等號(hào)成立 原函數(shù)的值域?yàn)?，13，),利用基本不等式ab 以及變式ab2 等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意，a，bR(或a，b非負(fù))，積a b或ab其中之一應(yīng)是定值，特別要注意等號(hào)成立的條件本題中的函數(shù)是形如yax (a，b0)的特殊情況，在應(yīng)用均