幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式(5).ppt

,二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式,第三節(jié),一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的應(yīng)用,應(yīng)用,目的用多項式近似表示函數(shù).,理論分析,近似計算,泰勒公式,第三章,特點(diǎn):,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分應(yīng)用中已知近似公式 :,需要解決的問題,如何提高精度 ?,如何估計誤差 ?,x 的一次多項式,1. 求 n 次近似多項式,要求:,故,令,則,2. 余項估計,令,(稱為余項) ,則有,公式 稱為 的 n 階泰勒公式 .,公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項 .,泰勒(Taylor)中值定理 :,階的導(dǎo)數(shù) ,時, 有,其中,則當(dāng),泰勒,公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項 .,在不需要余項的精確表達(dá)式時 , 泰勒公式可寫為,注意到,* 可以證明:, 式成立,特例:,(1) 當(dāng) n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(2) 當(dāng) n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理,可見,誤差,稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 .,則有,在泰勒公式中若取,則有誤差估計式,若在公式成立的區(qū)間上,麥克勞林,由此得近似公式,二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式,其中,麥克勞林公式,其中,麥克勞林公式,麥克勞林公式,類似可得,其中,其中,麥克勞林公式,已知,其中,因此可得,麥克勞林公式,三、泰勒公式的應(yīng)用,1. 在近似計算中的應(yīng)用,誤差,M 為,在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,需解問題的類型:,1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;,2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;,3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.,例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過,解: 已知,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計算可知當(dāng) n = 9 時上式成立 ,因此,的麥克勞林公式為,說明: 注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.,本例,若每項四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則,各項舍入誤差之和不超過,總誤差限為,這時得到的近似值不能保證誤差不超過,因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .,例2. 用近似公式,計算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.,解: 近似公式的誤差,令,解得,即當(dāng),時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果,能準(zhǔn)確到 0.005 .,2. 利用泰勒公式求極限,例3. 求,解:,由于,用洛必達(dá)法則不方便 !,3. 利用泰勒公式證明不等式,例4. 證明,證:,內(nèi)容小結(jié),1. 泰勒公式,其中余項,當(dāng),時為麥克勞林公式 .,2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P142 P144 ),3. 泰勒公式的應(yīng)用,(1) 近似計算,(3) 其他應(yīng)用,求極限 , 證明不等式 等.,(2) 利用多項式逼近函數(shù),例如,泰勒多項式逼近,泰勒多項式逼近,思考與練習(xí),計算,解:,原式,第四節(jié),作業(yè) P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8; *10 (1), (2),泰勒 (1685 1731),英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最,優(yōu)秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),線性透視論(1719),他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理論的奠基人 .,麥克勞林 (1698 1746),英國數(shù)學(xué)家,著作有:,流數(shù)論(1742),有機(jī)幾何學(xué)(1720),代數(shù)論(1742),在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的,麥克勞林級數(shù) .,證: 由題設(shè)對,備用題 1.,有,且,下式減上式 , 得,令,兩邊同乘 n !,= 整數(shù) +,假設(shè) e 為有