函數(shù)的冪級數(shù)展開式.ppt_第1頁
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文檔簡介

第四節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開式,問題： 一、為何將函數(shù)展開成冪級數(shù)？ 二、將函數(shù)展開成冪級數(shù)需要何條件？ 三、如何將函數(shù)展開成冪級數(shù)？,一、為何將函數(shù)展開成冪級數(shù)？,數(shù)學(xué)思想： 將復(fù)雜問題的簡單化，用簡 單的函數(shù)表示復(fù)雜的函數(shù)。,復(fù)雜的 函數(shù),簡單的 函數(shù),數(shù)學(xué)的方法,在實際問題中，我們需要將一個函數(shù)表示成一個冪級數(shù)形式。,問題：計算機(jī)是如何計算sin(x)的函數(shù)值的？,二、將函數(shù)展開成冪級數(shù)需要何種條件？,該問題轉(zhuǎn)化為：對任意給定的函數(shù) f(x),(2) 如果能展開, 是什么?,(3) 展開式是否唯一?,(1)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?,證明,（定理1回答了問題二）,將函數(shù)展開成冪級數(shù)需要何種條件？,泰勒系數(shù)是唯一的,逐項求導(dǎo)任意次,得,泰勒系數(shù),定義,只要函數(shù)f(x)在已知點任意階可導(dǎo)，f(x)在該點的泰勒級數(shù)總是可以寫出的，那末這個泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是否一定收斂于f(x)呢?,不一定.,即,問題：,可見,在x=0點任意可導(dǎo),比如,洛必達(dá)法則,證明,必要性,充分性,三、如何將函數(shù)展開成冪級數(shù)？,1.直接法(泰勒級數(shù)法),步驟:,如條件滿足，,(2) 判定 是否成立？,例1,解,例2,解,例3,解:,注意:,有如下牛頓二項式展開式（展開過程略）,雙階乘,2.間接法,此方法簡單易行，效果好，是以后將函數(shù)展開成冪級數(shù)的主要方法，應(yīng)重點掌握。,例如,例：將y=xarctanx展成x的冪級數(shù)。 若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，還得討論余項Rn(x)。,若用間接方法，就很簡便。,例4,解,Ex,將函數(shù),在,和,間接展開為泰勒級數(shù)。,Ex,將函數(shù),展開成,的冪級數(shù)。,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法,(1) 直接展開法, 利用泰勒公式 ;,(2) 間接展開法, 利用冪級數(shù)的性

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