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第八章 博弈論,第一節(jié) 博弈論基礎(chǔ) 一、博弈論（Game Theory） 博弈論研究決策主體的行為相互發(fā)生直接作用時的決策，以及這種決策的均衡問題。也就是說，一個主體（一個人或一個企業(yè)）的選擇受到其他主體選擇的影響，并且其選擇反過來會影響到其他主體的選擇，這類的的決策問題和均衡問題就是博弈論研究的對象。在這個意義上說，博弈論也稱為“對策論”。 博弈論中的個體決策與傳統(tǒng)經(jīng)濟學(xué)中的行為個體決策不同。,二、博弈論的基本概念 1、參與者/局中人（players）：在博弈中選擇行動以最大化自己效用的決策主體。 2、行動（acttions, moves)：參與者的決策變量。 3、戰(zhàn)略（strategies）：參與者選擇行動的規(guī)則。,4、信息（information）：是參與人在博弈中的知識，特別是有關(guān)其他參與人(對手)的特征和行動的知識。 5、支付/收益（payoff）：是參與人從博弈中獲得的效用水平，是所有參與人戰(zhàn)略或行動的函數(shù)，也是是每個參與人真正關(guān)心的東西。 6、結(jié)果（outcomes）：是指博弈分析者感興趣的要素的集合。 7、均衡（equilibrium）：是所行參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略或行動的組合。 上述概念中，參與人、行動、結(jié)果統(tǒng)稱為博弈規(guī)則，博弈分析的目的是使用博弈規(guī)則決定均衡。,三、博弈的分類 1、合作博弈（cooperative game）和非合作博弈（non- cooperative game ）： 人們的行為相互作用時，當(dāng)事人能不能達成一個具有約束力的協(xié)議，如果有，就是合作博弈；反之，則是非合作博弈。 現(xiàn)在經(jīng)濟學(xué)家談到博弈論，一般指的是非合作博弈，很少指合作博弈。,2、靜態(tài)博弈（static game）與動態(tài)博弈（dynamic game）： 按參與人行動的先后順序劃分，靜態(tài)博弈：參與者同時決策，或非同時決策但后決策者不知道先決策者的行動。動態(tài)博弈：參與者的行動有先后，后決策者能觀察到縣決策者的行動，并據(jù)此選擇行動。 3、完全信息博弈（games of complete information）和不完全信息博弈（ games of incomplete information ）： 完全信息指的是每一個參與人對所有其他參與人(對手)的特征、戰(zhàn)略空間及支付函數(shù)有準(zhǔn)確的知識；否則，就是不完全信息。,第二節(jié) 完全信息靜態(tài)博弈 一、博弈的標(biāo)準(zhǔn)式（nomal form representation）,例：囚徒困境。 囚徒面臨的問題可用下圖所示的雙變量矩陣表來描述。,囚犯B,囚犯A,在此博弈中，每一囚徒有兩種戰(zhàn)略可供選擇：招認(rèn)、沉默)。 在一組特定的戰(zhàn)略組合被選定后，兩人的收益由矩陣中相應(yīng)單元的數(shù)據(jù)來表示。,博弈的標(biāo)準(zhǔn)表述包括：(1)博弈的參與者，(2)每一參與者可供選擇的戰(zhàn)略集，(3)針對所有參與者可能選擇的戰(zhàn)略組合，每一個參與者獲得的收益。 可以用支付矩陣表述一個博弈。,假定有n個參與者參加博弈，序號分別為1，2，n，第i個參與者可以選擇的戰(zhàn)略集合（i的戰(zhàn)略空間）為Si ，每個具體的戰(zhàn)略si為Si 的元素。令 （ s1，s2，sn)為每個參與人選定一個戰(zhàn)略的組成的戰(zhàn)略組合， ui表示在該戰(zhàn)略組合下參與人i的收益收益函數(shù)： ui（ s1，s2，sn ），表述的標(biāo)準(zhǔn)形式為：,二、占優(yōu)戰(zhàn)略均衡（Dominant-stragety equilibrium） 一般來說，由于每個參與者的效用（支付）是博弈中所有參與人的戰(zhàn)略的函數(shù)，因此每個參與者的最優(yōu)戰(zhàn)略選擇依賴于所有其他參與人的戰(zhàn)略選擇。但在些特殊的博弈中，一個參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略可能并不依賴于其他參與人的戰(zhàn)略選擇，就是說，不論其他參與人選擇什么戰(zhàn)略，他的最優(yōu)戰(zhàn)略是唯一的，這樣的最優(yōu)戰(zhàn)略被稱為“占優(yōu)戰(zhàn)略”（dominant stragety）。,三、重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡（interated dominance equilibrium） 在每個參與人都有占優(yōu)戰(zhàn)略的情況下，占優(yōu)戰(zhàn)略均衡是一個非常合理的預(yù)測，但在絕大多數(shù)博弈中，不存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。,在囚徒困境中，“招認(rèn)”是每個囚犯的占優(yōu)戰(zhàn)略。博弈的結(jié)果是兩人都選擇“招認(rèn)”，盡管福利不是最大。,囚犯B,囚犯A,占優(yōu)戰(zhàn)略均衡：,小豬,大豬,考慮下面的“智豬博弈”。兩豬共槽吃食，按下在房間另一端的按鈕，能出食8單位，按下按鈕者將付出2單位的代價。若大豬先到食槽，能吃到7單位的食，小豬只能吃到1單位的食；若小豬先到食槽，能吃到4單位的食，大豬能吃到4單位的食。,如果把“理性的參與者不會選擇嚴(yán)格劣戰(zhàn)略”作為局中人的理性假設(shè)，并且局中人的理性是博弈中的共同知識，則可以通過重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略來選擇均衡。,小豬,大豬,在此博以中，小豬的占優(yōu)戰(zhàn)略為“等待”，而大豬不存在占優(yōu)戰(zhàn)略。此時，不存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。,嚴(yán)格劣戰(zhàn)略：,在智豬博弈中，“按”是小豬的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，理性的小豬不會選擇“按”；而大豬知道小豬是理性的，不會選擇“按”。因此，博弈就變成右邊的形式。 顯然，“等待”是大豬的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，大豬不會選擇“不按”。（按，等待）為均衡結(jié)果。,小豬,大豬,等待,按,等待,考慮下面的博弈：局中人A的戰(zhàn)略空間為（上，下）、局中人B的戰(zhàn)略空間為（坐，中，右），收益矩陣如下：,局中人B,局中人A,左,中,上,下,右,“右”是B的相對于“中”的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略。理性的B不會選擇“右”，而理性的A也知道B不會選擇“右”，博弈就變?yōu)椋?局中人B,局中人A,左,中,上,下,此時，“下”是A的相對于“上”的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略。理性的A不會選擇“下”，而理性的B也知道A不會選擇“下”，博弈就變?yōu)椋?局中人B,局中人A,左,中,上,此時，“左”是B的相對于“中”的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略。理性的B不會選擇“下”，而理性的A也知道B不會選擇“下”，博弈的結(jié)果就是：(上，中）。,上面的過程可稱為“重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略”，得到的唯一均衡為重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡。,盡管“重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略” 的過程建立在理性參與人不會選擇嚴(yán)格劣戰(zhàn)略這一合情近理的原則之上，它仍有兩個缺陷： 第一，每一步剔除都需要參與者間相互了解的更進一步假定，如果我們要把這一過程應(yīng)用到任意多步，就需要假定“參與者是理性的 “共同知識”（common knowledge，是與信息有關(guān)的一個重要概念。共同知識指的是“所有參與人知道，所有參與人知道所有參與人知道，所有參與人知道所有參與人知道所有參與人知道”的知識）。,局中人B,局中人A,左,中,上,中,右,下,第二，這一方法對博弈結(jié)果的預(yù)測經(jīng)常是不精確的。例如，在下面的博弈中，就沒有可以剔除的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略。,四、納什均衡（Nash equilibrium） 設(shè)想在博弈論預(yù)測的博弈結(jié)果中，為使該預(yù)測是正確的，局中人自愿選擇的戰(zhàn)略必須是理論給他推導(dǎo)出的戰(zhàn)略。這樣，每個局中人要選擇的戰(zhàn)略必須是針對其他參與者選擇戰(zhàn)略的最優(yōu)戰(zhàn)略。這種理論推測結(jié)果可以叫做“戰(zhàn)略穩(wěn)定”或“自動實施”的，因為沒有參與人愿意獨自離棄他所選定的戰(zhàn)略，我們把這一狀態(tài)稱為納什均衡。,局中人B,局中人A,左,中,上,中,右,下,在右邊的博弈中，,對于A選擇“上”時，B的最優(yōu)戰(zhàn)略為“左”；,對于A選擇“中”時，B的最優(yōu)戰(zhàn)略為“中”；,對于A選擇“下”時，B的最優(yōu)戰(zhàn)略為“右”；,對于B選擇“左”時，A的最優(yōu)戰(zhàn)略為“中”；,對于B選擇“中”時，A的最優(yōu)戰(zhàn)略為“上”；,對于B選擇“右”時，A的最優(yōu)戰(zhàn)略為“下”；,（下，右）滿足納市均衡的條件。,(招認(rèn)，招認(rèn)）是重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡。,(招認(rèn)，招認(rèn)）是納什均衡。,納什均衡和重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡的關(guān)系：如果用重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略把除戰(zhàn)略組合 外所有的戰(zhàn)略組合都剔除掉，則該所存戰(zhàn)略組合就是此博弈惟一的納什均衡。,由于重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略并不一定會只剩下惟一的戰(zhàn)略組合，作為解的概念，納什均衡比重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略更強。,下面的例子表明一個博弈可以有多個納什均衡。,性別博弈,(歌劇，歌劇)和(拳擊，拳擊)都是納什均衡。,五、幾個命題,“斗雞博弈”也有多個納什均衡。,1、 古諾的雙頭壟斷模型,六、應(yīng)用舉例,假定：雙頭壟斷，非勾結(jié)，產(chǎn)量競爭； 同質(zhì)產(chǎn)品，生產(chǎn)的邊際成本為0； 市場需求為線性需求曲線：P = a b Q = a b (q1 + q2 ) ； 決策：假定對方不改變產(chǎn)量決策，追求利潤最大化。,化為標(biāo)準(zhǔn)形式： 參與人：廠商1、廠商2,收益：企業(yè)的收益就是其利潤額，這樣在一般的兩個參與者標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，參與者1的收益分別為：,每個廠商要選擇的戰(zhàn)略必須是針對其他參與者選擇戰(zhàn)略的最優(yōu)戰(zhàn)略，因而兩個廠商各自的反應(yīng)函數(shù)就是其最優(yōu)反應(yīng)。,兩個廠商的反應(yīng)函數(shù)：,根據(jù)納什均衡的定義，博弈的均衡解（q*1， q*2 ）必須同時滿足兩個反應(yīng)函數(shù)：,2、 公地的悲劇 有n戶村民的村莊，每年在村莊公共牧場上放牧羊只。以gi表示第i戶村民放牧的羊數(shù)，全村牧羊總數(shù)G = g1+ g2+ gn。假定購買和照看每只羊的成本為c，c不隨意戶村民擁有的羊的數(shù)目而變化。當(dāng)草地上羊的總數(shù)為G時，一戶村民養(yǎng)一只羊的價值為v(G)。由于一只羊要生存，至少需要一定數(shù)量的青草，草地可以放牧的羊的總數(shù)有一個上限Gmax：當(dāng)G Gmax時， v(G)0，而當(dāng)G Gmax時， v(G)=0。此外，假定在最初，由于有足夠的放牧空間，增加一只羊不會對已經(jīng)放養(yǎng)的羊產(chǎn)生太大影響，而隨著羊的增加，所有羊只的價值將受到影響越來越大，到當(dāng)G = Gmax時，每只羊的價值為0，即： G Gmax時， v(G) 0， v”(G) 0，如下圖所示：,Gmax,G,v(G),O,這里假定羊是連續(xù)可分的，每年初，各戶村民決定養(yǎng)殖羊的數(shù)目gi。 在此博弈中，參與人為n戶村民，每戶村民的戰(zhàn)略就是其決定養(yǎng)殖羊的數(shù)目gi，戰(zhàn)略空間為0，），而收益為：,如果（g*1 ,g*n）為納什均衡，則對于村民i，當(dāng)其他村民選擇戰(zhàn)略（g*1 , g*i-1 , g*i+1 ,g*n）時，其最優(yōu)戰(zhàn)略應(yīng)是使其收益最大的戰(zhàn)略：,第一項為每戶村民每頭羊的邊際收益，第二、三項為對村民而言每增加一頭羊的邊際成本。,從村民的反應(yīng)函數(shù)可看出，盡管每戶村民在決定增加飼養(yǎng)量時考慮了對現(xiàn)有羊的價值的負(fù)效應(yīng)，但他考慮的只是對自己羊的影響，而并不是對所有羊的影響。因此，最優(yōu)點上個人邊際成本小于社會邊際成本，納什均衡的總飼養(yǎng)量大于社會最優(yōu)的飼養(yǎng)量。 從整個村莊的最優(yōu)選擇考慮，最優(yōu)的總飼養(yǎng)數(shù)G*優(yōu)以下最優(yōu)化問題解出：,與納什均衡結(jié)果相比較：,，即公共資源被過渡使用了。,第三節(jié) 完全信息動態(tài)博弈 在靜態(tài)博弈中，所有參與人同時行動(或行動雖有先后，但沒有人在自己行動之前觀測到別人的行動。在動態(tài)博弈中，參與人的行動有先后順序，且后行動者在自己行動之前能觀測到先行動吉的行動。動態(tài)博弈常用擴展式表述。,考慮右邊以博弈樹描述的兩階段博弈。在某產(chǎn)品市場上，廠商A和B對是否進入該市場進行決策。 A是先行動者，B在觀察了A的行動后，決定自己的行動。 如果市場中只有一個廠商，則該廠商得到全部1個單位的收益。不進入市場的廠商收益為零。如果市場中有兩個廠商，則各得到-3單位的收益。,一、博弈的擴展式（extentive form representation）,一個博弈的擴展式表述包括： (1）參與人（players）； （2）行動（actions）,(2a)每一參與者的行動(the order of actions)； (2b)每次輪到某一參與者行動時，他的行動空間（action sets）； (2c)每次輪到某一參與者行動時，他所了解的信息集（information sets）;,(3)與參與者可能選擇的每一行動組合相對應(yīng)的各個參與者的收益。,完全（且完美）信息動態(tài)博弈的主要特點是：(i)行動是順序發(fā)生的，(ii)下一步行動選擇之前，所有以前的行動都可被觀察到，及(iii)每一可能的行動組合下參與者的收益都是共同知識。,二、博弈樹（game tree） 博弈樹由結(jié)（nodes）、枝（branches)、信息集（information set)構(gòu)成。,1結(jié)(nodes)：結(jié)包括決策結(jié)(decition nodes)和終點結(jié)(terminal nodes)兩類。決策結(jié)是參與人采取行動的時點，終點結(jié)是博弈行動路徑的終點。 在博棄樹中，“誰在什么時候行動”用在決策結(jié)旁邊標(biāo)注參與人的辦法來表示。參與人的支付標(biāo)注在博弈樹終點結(jié)處。 2枝(branches)：在博弈樹上，枝是從一個決策結(jié)到它的直接后續(xù)結(jié)的連線，每一個枝代表參與人的一個行動選擇。,3信息集(information sets)：博弈樹上的所有決策結(jié)分割成不同的信息集。每一個信息集是決策結(jié)集合的一個子集。該子集包括所有滿足下列條件的決策結(jié)：(1)每一個決策結(jié)都是輪到同一參與人的決策結(jié)；(2)該參與人知道博弈進入該集合的的某個決策結(jié)，但不知道自己究竟處于哪一個決策結(jié)。,如果參與人在每一步行動中，都知道前面博弈進行的全過程，則其信息集是單結(jié)的，此時，信息是完美的（perfect information）。相反，信息是非完美的（imperfect information）。,在右邊的博弈中，A是先行動者，其信息集為初始結(jié)（initial node），為單結(jié)信息集。,在A行動以后，輪到B行動時，如果B知道A的行動，如A選擇“進入”，則其信息及是單結(jié)的（結(jié)點1）。如果B不知道A的行動，則B的信息集包括結(jié)點1和結(jié)點2，而B不知道自己在其中的哪個結(jié)點上。 在非完美信息條件下，該兩階段博弈其實就是一個完全信息靜態(tài)博弈。,1,2,在當(dāng)然，動態(tài)博弈也可以用標(biāo)準(zhǔn)式來表述。引入信息集的概念后，也可以用擴展式表述靜態(tài)博弈。,在市場進入博弈中：A有兩個行動：“進入”、“不進入”。由于是先行動者，只有兩個戰(zhàn)略：選擇“進入”或“不進入”。 B有兩個行動：“進入”、“不進入”。 但是，有4個戰(zhàn)略：,(1)若A選擇“進入”，B選擇“進入”，若A選擇“不進入”，B選擇“進入”，即 （進入，進入） (2)若A選擇“進入”，B選擇“進入”，若A選擇“不進入”，B選擇“不進入”，即 （進入，不進入）,1,2,(3)若A選擇“進入”，B選擇“不進入”，若A選擇“不進入”，B選擇“不進入”，即 （不進入，進入） (4)若A選擇“進入”，B選擇“不進入”，若A選擇“不進入”，B選擇“不進入”，即 （不進入，不進入）,根據(jù)A、B的戰(zhàn)略空間，可以用標(biāo)準(zhǔn)式表述該博弈。,三、博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述與擴展式表述,A,B,（進入，進入）,進入,不進入,（進入，不進入）,（不進入，進入）,（不進入，不進入）,市場進入博弈的標(biāo)準(zhǔn)式：,1)參與人：A，B 2）行動順序； A的行動空間：（“沉默”、“招認(rèn)”）、 B的行動空間：（“沉默”、“招認(rèn)”）； A的信息集：（ 初結(jié)點）、 B的信息集：（ 結(jié)點1，結(jié)點2 ）； 3)支付。,1,2,囚徒博弈的擴展式（非完美信息博弈）：,四、子博弈，子博弈精煉納什均衡 1、子博弈 子博弈是原博弈的一部分，它本身可以作為一個獨立的博弈進行分析。,子博弈的定義：一個擴展式博弈中的子博弈，a)由具有單結(jié)信息集的決策結(jié)n開始，并包括博弈樹中該決策結(jié)以下的所有決策結(jié)和終點結(jié)，并且b)沒有對任何信息集形成分割（即如果博弈樹中n之下有一個決策結(jié)n，則和n處于同一信息集的其他決策集結(jié)也必須在n之下，從而也必須包含于子博弈中。) 在市場進入博弈中，包含3個子博弈（包括原博弈）。而在囚徒博弈中，只有一個子博弈（？）。,2、子博弈精煉納什均衡 考慮市場進入博弈的納什均衡。,A,B,（進入，進入）,進入,不進入,（進入，不進入）,（不進入，進入）,（不進入，不進入）,如果理論得到這樣的結(jié)果，無助于預(yù)測博弈參與人的行為。此外，納什均衡假定，每一個參與人選擇的最優(yōu)戰(zhàn)略是在所有其他參與人的戰(zhàn)略選擇給定時的最優(yōu)反應(yīng)，即參與人并不考慮自己的選擇對其他人選擇的影響，因而納什均衡很難說是動態(tài)博弈的合理解。,因此， 必須在多個納什均衡中剔除不合理的均衡解，即所謂“不可置信威脅”。子博弈精煉納什均衡是對納什均衡概念的最重要的改進。它的目的是把動態(tài)博弈中的“合理納什均衡”與“不合理納什均衡”分開。正如納什均衡是完全信息靜態(tài)博弈解的基本慨念一樣，子博弈精煉納什均衡是完全信息動態(tài)博弈解的基本概念。,不進入，（進入，進入） 進入，（不進入，進入）進入，（不進入，不進入）,前邊得到的三個納什均衡中，均衡意味著當(dāng)A不進入時，B選擇進入；而當(dāng)A選擇進入時，B仍選擇進入（B威脅無論如何都要進入市場）。,顯然，當(dāng)A選擇進入時，B仍選擇進入是不合理的，如果A進入市場，B選擇“不進入”比選擇“進入”收益要更大，理性的B不會選擇進入，而A知道B是理性的，因此也不會把該戰(zhàn)略視為B會選擇的戰(zhàn)略。因此，B的戰(zhàn)略（進入，進入）是不可置信威脅。,均衡意味著當(dāng)A進入時，B選擇不進入；而當(dāng)A選擇不進入時，B仍選擇進入（B威脅無論如何都不進入市場）。顯然，當(dāng)A選擇進入時，B仍選擇進入是不合理的，B的戰(zhàn)略是不可置信威脅。,不進入，（進入，進入） 進入，（不進入，進入） 進入，（不進入，不進入）,只有均衡是合理的：如果A進入，B不進入；如果A不進入，B進入。因為A是先行動者，理性的A會選擇“進入”（他知道B是理性的，B不會選擇“進入”），而理性的B選擇“不進入”。 觀察博弈樹上的三個均衡中，B的不可置信戰(zhàn)略中的反應(yīng)，在第二階段B開始行動的兩個子博弈中不是最優(yōu)；而合理的納什均衡中，B的戰(zhàn)略在所有子博弈中都是最優(yōu)的，與A的第一階段可能選擇的行動構(gòu)成該子博弈的納什均衡。,因此，只有當(dāng)一個戰(zhàn)略規(guī)定的行動規(guī)則在所有可能的情況下都是最優(yōu)的時，它才是一個合理的、可置信的戰(zhàn)略。子博弈精煉納什均衡就是要剔除掉那些只在特定情況下是合理的而在其他情況下并不合理的行動規(guī)則。,子博弈精煉納什均衡： 如果參與者的戰(zhàn)略在每一個子博弈中都構(gòu)成了 納什均衡，則稱納什均衡是子博弈精練的(澤爾滕，1965) 。,為簡單起見，假定博弈有兩個階段，第一階段參與人1行動，第2階段參與人2行動，并且2在行動前觀測到1的選擇。令A(yù)1是參與人1的行動空間，A2是參與人2的行動空間。當(dāng)博弈進入第二階段，給定參與人1在第一階段的選擇為a1 A1 ，參與人2面臨的問題是：,顯然參與人2的最優(yōu)選擇a2*依賴于參與人1的選擇a1。用a