吉大微積分B2偏導(dǎo)數(shù).ppt

,第二節(jié),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計算,二 、高階偏導(dǎo)數(shù),偏 導(dǎo) 數(shù),第八章,一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算法,引例:,研究弦在點 x0 處的振動速度與加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).,x0 處,關(guān)于 t 的,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,將振幅,定義1.,在點,存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,設(shè)函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意:,同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為,偏導(dǎo)數(shù) ,記為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對 x 的,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(請自己寫出),二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,是曲線,在點 M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點M0 處的切線,斜率.,是曲線,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對 y 軸的,函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然,例如,注意：,但在該點不一定連續(xù).,上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)!,例1 . 求,解法1:,解法2:,在點(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),證:,例3. 求,的偏導(dǎo)數(shù) . (P14 例4),解:,求證,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)記號是一個,例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說明:,(R 為常數(shù)) ,不能看作,分子與分母的商 !,此例表明,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,整體記號,二、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個二階偏導(dǎo),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù):,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)為,例5. 求函數(shù),解 :,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,例如,二者不等,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證：,利用對稱性 , 有,方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理.,例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說明:,本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點 (x , y , z) 連續(xù)時, 有,而初等,(證明略),證:令,則,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理.,令,同樣,在點,連續(xù),得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論,定義; 記號; 幾何意義,函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)在此點連續(xù),混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),與求導(dǎo)順序無關(guān),2. 偏導(dǎo)數(shù)的計算方法,求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法,先代后求,先求后代,利用定義,求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法,逐次求導(dǎo)法,(與求導(dǎo)順序無關(guān)時, 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),解答提示:,P73 題 5,P73 題 5 , 6,即 xy0 時,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P73 題6,(1),(2),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）