2018屆高考數(shù)學一輪總復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 文 新人教a版

第三章三角函數(shù)、解三角形第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k360，kZ2弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1 rad；1 rad弧長公式弧長l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線小題體驗1若sin 0且tan 0，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：C2(教材習題改編)3 900是第_象限角，1 000是第_象限角答案：四一3(教材習題改編)已知半徑為120 mm的圓上，有一條弧的長是144 mm，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為_答案：1.21注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況4三角函數(shù)的定義中，當P(x，y)是單位圓上的點時有sin y，cos x，tan ，但若不是單位圓時，如圓的半徑為r，則sin ，cos ，tan .小題糾偏1下列說法正確的是()A三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B第一象限角必是銳角C不相等的角終邊一定不相同D若k360(kZ)，則和終邊相同答案：D2若角終邊上有一點P(x,5)，且cos (x0)，則sin _.答案：題組練透1給出下列四個命題：是第二象限角；是第三角限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正確的命題有()A1個B2個C3個 D4個解析：選C是第三象限角，故錯誤；，從而是第三象限角，故正確；40036040，從而正確；31536045，從而正確2(易錯題)若角是第二象限角，則是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角解析：選C是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當k為偶數(shù)時，是第一象限角；當k為奇數(shù)時，是第三象限角3設(shè)集合M，N，那么()AMN BMNCNM DMN解析：選B法一：由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，顯然有MN.法二：由于M中，x18045k904545(2k1)，2k1是奇數(shù)；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整數(shù)，因此必有MN.4在7200范圍內(nèi)所有與45終邊相同的角為_解析：所有與45有相同終邊的角可表示為：45k360(kZ)，則令72045k3600，得765k36045，解得kcos x成立的x的取值范圍為_解析：如圖所示，找出在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標出滿足題中條件的角x.答案：10已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，當且僅當2rl，即2時，扇形面積取得最大值4.圓心角2，弦長AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，當且僅當r2，即2時，扇形面積取得最大值4.弦長AB2sin 124sin 1.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0解析：選B是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，則可排除A，C，D.2已知角2k(kZ)，若角與角的終邊相同，則y的值為()A1 B1C3 D3解析：選B由2k(kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.所以y1111.3已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求終邊所在的象限；(3)試判斷 tansin cos的符號解：(1)由sin 0，知在第三、四象限或y軸的負半軸上；由tan 0, 知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合為.(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故終邊在第二、四象限(3)當在第二象限時，tan 0，sin 0, cos 0，所以tan sin cos取正號；當在第四象限時， tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正號因此，tansin cos 取正號第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式_1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系tan .2誘導公式組序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號看象限 小題體驗1已知sin，那么cos ()ABC. D.解析：選Csinsincos ，cos .2若sin cos ，則tan 的值是()A2 B2C2 D.解析：選Btan 2.3(教材習題改編)(1)sin_，(2)tan_.答案：(1)(2)1利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負脫周化銳特別注意函數(shù)名稱和符號的確定2在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號3注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化小題糾偏1(2019福建高考)若sin ，且為第四象限角，則tan 的值等于()A. BC. D解析：選D因為為第四象限的角，故cos ，所以tan .2若sin(3)，則sin _.答案：題組練透1sin 210cos 120的值為()A.BC D.解析：選Asin 210cos 120sin 30(cos 60).2已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2 D1，1,0,2，2解析：選C當k為偶數(shù)時，A2；k為奇數(shù)時，A2.3已知tan，則tan_.解析：tantantantan.答案：4(易錯題)設(shè)f()，則f_.解析：f()，f.答案：謹記通法1利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”2利用誘導公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形；(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值，如“題組練透”第4題典型母題已知是三角形的內(nèi)角，且sin cos .求tan 的值解法一：聯(lián)立方程由得cos sin ，將其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形的內(nèi)角，tan .法二：sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0.sin cos .由得tan .類題通法同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表達式中含有sin ，cos 與tan “1”的變換1sin2cos2cos2(1tan2)tan(sin cos )22sin cos 表達式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用(sin cos )212sin cos 的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化表達式中含有sin cos 或sin cos 越變越明變式一保持母題條件不變，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值解：由母題可知：tan .(1).(2)sin22sin cos .變式二若母題條件變?yōu)椤?”， 求tan 的值解：法一：由5, 得5，即tan 2.法二：由5，得sin 3cos 15cos 5sin ，6sin 12cos ，即tan 2.變式三若母題中的條件和結(jié)論互換：已知是三角形的內(nèi)角，且tan ， 求 sin cos 的值解：由tan ，得sin cos ，將其代入 sin2cos21，得cos21，cos2，易知cos 0，cos ， sin ，故 sin cos .破譯玄機1三角形中求值問題，首先明確角的范圍，才能求出角的值或三角函數(shù)值2三角形中常用的角的變形有：ABC,2A2B22C，等，于是可得sin(AB)sin C，cossin等一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1若，sin ，則cos()()AB.C. D解析：選B因為，sin ，所以cos ，即cos().2已知sin()cos(2)，|，則等于()A BC. D.解析：選Dsin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.3已知sin，則cos()A. BC. D解析：選Dcossinsinsin.4已知，sin ，則tan _.解析：，cos ，tan .答案：5如果sin(A)，那么cos的值是_解析：sin(A)，sin A.cossin A.答案：二保高考，全練題型做到高考達標1已知sin()0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是()Asin 0Bsin 0，cos 0，cos 0 Dsin 0，cos 0解析：選Bsin()0，sin 0.cos()0，cos 0，cos 0.2若sin()2sin，則sin cos 的值等于()A BC.或 D.解析：選A由sin()2sin，可得sin 2cos ，則tan 2，sin cos .3(2019江西五校聯(lián)考)()A BC. D.解析：選D原式.4已知f()，則f的值為()A. BC D.解析：選Cf()cos ，fcoscoscos.5已知sin cos ，且，則cos sin 的值為()A B.C D.解析：選B，cos 0，sin 0且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .6化簡：_.解析：原式sin sin 0.答案：07sincostan的值是_解析：原式sincostan().答案：8已知cosa(|a|1)，則cossin的值是_解析：由題意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.答案：09求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945.解：原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020(sin 1 050)tan 945sin 120cos 210cos 300(sin 330)tan 225(sin 60)(cos 30)cos 60sin 30tan 4512.10已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解：由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1sin21sin22sin290_.解析：sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245cos244cos243cos21sin290(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)sin245sin290441.答案：2已知f(x)(nZ)(1)化簡f(x)的表達式；(2)求f f 的值解：(1)當n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時，f(x)sin2x；當n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin2cos21.第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)ysin x，x0,2的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函數(shù)ycos x，x0,2的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kZ).函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRxxR，且x值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性為增；為減2k，2k為減；2k，2k為增為增對稱中心(k，0)對稱軸xkxk小題體驗1下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是()Aycos 2xBysin 2xCytan 2x Dysin答案：B2(教材習題改編)函數(shù)y4sin x，x，的單調(diào)性是()A在，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)B在上是增函數(shù)，在和上都是減函數(shù)C在0，上是增函數(shù)，在，0上是減函數(shù)D在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)答案：B3(教材習題改編)函數(shù)ytan2的定義域為_答案：1閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響2要注意求函數(shù)yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時的符號，盡量化成0時的情況3三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“”聯(lián)結(jié)小題糾偏1函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC. D0解析：選B由已知x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.2函數(shù)ycos的單調(diào)減區(qū)間為_解析：由ycoscos得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)答案：(kZ)題組練透1函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2B0C1 D1解析：選A0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2.2(易錯題)函數(shù)y的定義域為_解析：要使函數(shù)有意義，必須有即故函數(shù)的定義域為.答案：3函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域為_解析：由得3x或0x0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_.解析：f(x)sin x(0)過原點，當0x，即0x時，ysin x是增函數(shù)；當x，即x時，ysin x是減函數(shù)由f(x)sin x(0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知，.答案：命題分析正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形正切函數(shù)的圖象只是中心對稱圖形，應把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結(jié)合，體會二者的統(tǒng)一常見的命題角度有：(1)三角函數(shù)的周期；(2)求三角函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心；(3)三角函數(shù)對稱性的應用題點全練角度一：三角函數(shù)的周期1函數(shù)y12sin2是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)解析：選Ay12sin2cos 2sin 2x，所以f(x)是最小正周期為的奇函數(shù)2(2019長沙一模)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期T滿足1T2，則自然數(shù)k的值為_解析：由題意知，12，即k2k.又kN，所以k2或k3.答案：2或3角度二：求三角函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心3(2019太原模擬)已知函數(shù)f(x)sin(0)的最小正周期為，則函數(shù)f(x)的圖象()A關(guān)于直線x對稱B關(guān)于直線x對稱C關(guān)于點對稱 D關(guān)于點對稱解析：選Bf(x)sin的最小正周期為，2，f(x)sin.當x時，2x，A，C錯誤；當x時，2x，B正確，D錯誤角度三：三角函數(shù)對稱性的應用4(2019西安八校聯(lián)考)若函數(shù)ycos(N*)圖象的一個對稱中心是，則的最小值為()A1 B2C4 D8解析：選Bk(kZ)6k2(kZ)min2.5.設(shè)偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0,00)的最小正周期為，則f ()A1B.C1 D解析：選A由題設(shè)知，所以2，f(x)sin，所以f sinsin 1.3(2019石家莊一模)函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：選B由k2xk(kZ)得，x(kZ)，所以函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)4函數(shù)f(x)sin(2x)的單調(diào)增區(qū)間是_解析：由f(x)sin(2x)sin 2x，2k2x2k得kxk(kZ)答案：(kZ)5函數(shù)y32cos的最大值為_，此時x_.解析：函數(shù)y32cos的最大值為325，此時x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ)二保高考，全練題型做到高考達標1若函數(shù)f(x)cos 2x，則f(x)的一個遞增區(qū)間為()A.B.C. D.解析：選B由f(x)cos 2x知遞增區(qū)間為，kZ，故只有B項滿足2(2019河北五校聯(lián)考)下列函數(shù)最小正周期為且圖象關(guān)于直線x對稱的函數(shù)是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin解析：選B由函數(shù)的最小正周期為，可排除C.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x對稱知，該直線過函數(shù)圖象的最高點或最低點，對于A，因為sinsin 0，所以選項A不正確對于D，sinsin，所以選項D不正確對于B，sinsin 1，所以選項B正確3已知函數(shù)f(x)2sin(2x)(|), 若f2，則f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是()A. B.C. D.解析：選Df 2，2sin2，sin1.又|0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖象關(guān)于點(x0,0)成中心對稱，x0，則x0()A. B.C. D.解析：選A由題意得，T，2.又2x0k(kZ)，x0(kZ)，而x0，所以x0.5若函數(shù)f(x)sin(x)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從1減少到1，則f ()A. B.C. D1解析：選C由題意得函數(shù)f(x)的周期T2，所以2，此時f(x)sin(2x)，將點代入上式得sin1，所以，所以f(x)sin，于是f sincos.6已知函數(shù)f(x)2sin(x)，對于任意x都有f f ，則f 的值為_解析：f f ，x是函數(shù)f(x)2sin(x)的一條對稱軸f 2.答案：2或27函數(shù)ytan的圖象與x軸交點的坐標是_解析：由2xk(kZ)得，x(kZ)函數(shù)ytan的圖象與x軸交點的坐標是，kZ.答案：，kZ8已知x(0，關(guān)于x的方程2 sina有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：令y12sin，x(0，y2a，作出y1的圖象如圖所示若2sina在(0，上有兩個不同的實數(shù)解，則y1與y2應有兩個不同的交點，所以a2.答案：(，2)9已知f(x)sin.(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程；(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)當x時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解：(1)f(x)sin，令2xk，kZ，則x，kZ.函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程是x，kZ.(2)令2k2x2k，kZ，則kxk，kZ.故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.(3)當x時，2x，1sin，f(x)1，當x時，函數(shù)f(x)的最大值為1，最小值為.10已知函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為.(1)求當f(x)為偶函數(shù)時的值；(2)若f(x)的圖象過點，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：f(x)的最小正周期為，則T，2.f(x)sin(2x)(1)當f(x)為偶函數(shù)時，f(x)f(x)sin(2x)sin(2x)，將上式展開整理得sin 2xcos 0，由已知上式對xR都成立，cos 0，0，.(2)f(x)的圖象過點時，sin，即sin.又0，0時，a33，b5.當a0，0)，振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點法畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.由函數(shù)ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)(A0，0)的圖象的兩種方法小題體驗1若函數(shù)ysin(x)(0)的部分圖象如圖，則()A5B4C3 D2答案：B2(教材習題改編)函數(shù)ysin的振幅為_，周期為_，初相為_答案：43用五點法作函數(shù)ysin在一個周期內(nèi)的圖象時，主要確定的五個點是_、_、_、_、_.答案：1函數(shù)圖象變換要明確，要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；2要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應先利用誘導公式化為同名函數(shù)；3由yAsin x的圖象得到y(tǒng)Asin(x)的圖象時，需平移的單位數(shù)應為，而不是|.小題糾偏1把ysin x的圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)sin x的圖象，則的值為()A1B4C. D2答案：C2要得到函數(shù)ysin 2x的圖象，