2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)3弧度制學(xué)案北師大版必修4.docx

3弧度制內(nèi)容要求1.了解弧度制的意義，能正確地進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)(重點).2.掌握弧度制下的弧長公式，會用弧度解決一些實際問題(難點)知識點1弧度制(1)角度制與弧度制的定義角度制用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的弧度制長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制(2)角的弧度數(shù)的計算如果半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對值是|.【預(yù)習(xí)評價】(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位()(2)1的角是周角的，1 rad的角是周角的()(3)1的角比1 rad的角要大()(4)1 rad的角的大小和所在圓的半徑的大小有關(guān)()知識點2角度制與弧度制的換算常見角度與弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30【預(yù)習(xí)評價】請?zhí)畛渫暾卤恚恍┨厥饨堑慕嵌葦?shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系有：角度0130456090120135150180270360弧度02知識點3扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，(02)為其圓心角，則度量單位類別為角度制為弧度制扇形的弧長lL|R扇形的面積SSlR|R2【預(yù)習(xí)評價】1.一個扇形的半徑為2 cm，圓心角為，則該扇形所對的弧長l_cm.答案2.一個扇形的半徑為2 cm，其對應(yīng)的弧長為2.則該扇形的面積為_cm2.答案2知識點4利用弧度制表示終邊相同的角在弧度制下，與終邊相同的角連同在內(nèi)可以表示為2k(kZ)，其中的單位必須是弧度【預(yù)習(xí)評價】1.與30終邊相同的角為()A2k(kZ)B2k(kZ)C360k(kZ)D2k30(kZ)答案B2.終邊在x軸上的角的集合用弧度制表示為_答案|k，kZ題型一角度與弧度的互化【例1】將下列角度與弧度進行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)2020 rad rad.(2)1515 rad rad.(3) rad180105.(4) rad180396.規(guī)律方法角度制與弧度制互化的原則、方法以及注意點(1)原則：牢記180 rad，充分利用1rad和1 rad進行換算(2)方法：設(shè)一個角的弧度數(shù)為，角度數(shù)為n，則 rad180；nnrad.(3)注意點：用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫；用“弧度”為單位度量角時，“常常把弧度數(shù)寫成多少的形式，如無特別要求，不必把寫成小數(shù)；度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度【訓(xùn)練1】將下列各角度與弧度互化：(1)；(2)；(3)15730.解(1)18075；(2)180210；(3)15730157.5157.5 rad rad.題型二用弧度制表示終邊相同的角【例2】(1)把1 480寫成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0)，且與(1)中終邊相同，求.解(1)1 48010，02，1 480252(5).(2)與終邊相同，2k，kZ.又4，0)，1，2.【訓(xùn)練2】用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)并判斷2 015是不是這個集合的元素解因為150.所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為S.因為2 015215536010，又.所以2 015S，即2 015是這個集合的元素方向1求弧長【例31】已知扇形OAB的圓心角為120，半徑長為6.求的長；解120，r6，的長l64.方向2求圓心角【例32】已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角解設(shè)圓心角是，半徑是r，則或(舍)故扇形圓心角為.方向3求面積的最值【例33】已知一扇形的周長為40 cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設(shè)扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，面積為S，則l2r40，l402r.Slr(402r)r20rr2(r10)2100.當(dāng)半徑r10 cm時，扇形的面積最大，最大值為100 cm2，此時rad2 rad.當(dāng)扇形的圓心角為2 rad，半徑為10 cm時，扇形的面積最大為100 cm2.規(guī)律方法靈活運用扇形弧長公式、面積公式列方程組求解是解決此類問題的關(guān)鍵，有時運用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的有關(guān)最值問題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為r的二次函數(shù)的最值問題.課堂達標(biāo)1與120角終邊相同的角為()A2k(kZ)B.C2k(kZ)D(2k1)(kZ)解析120且2k(2k4)(kZ)，120與2k(kZ)，終邊相同答案C2化為角度應(yīng)為()A345B15C315D375解析180345.答案A3已知扇形的半徑為12，弧長為18，則扇形圓心角為_解析由弧長公式lR得.答案4下列結(jié)論不正確的是_(只填序號) rad60；10 rad；36 rad； rad115.解析 rad180112.5，錯答案5一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數(shù)解設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，則2Rl4，l42R，根據(jù)扇形面積公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圓心角為2 rad.課堂小結(jié)1角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應(yīng)2解答角度與弧度的互化問題的關(guān)鍵在于充分利用“180 rad”這一關(guān)系式3在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，具體應(yīng)用時，要注意角的單位取弧度.基礎(chǔ)過關(guān)1在半徑為10的圓中，240的圓心角所對弧長為()A.B. C. D.解析240240 rad rad，弧長l|r10，故選A.答案A2下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)答案C3若3，則角的終邊在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析3，3是第三象限角答案C4若三角形三內(nèi)角之比為456，則最大內(nèi)角的弧度數(shù)是_答案5如果一扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼谋?，半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，則該扇形的面積為原扇形面積的_解析由于SlR，若ll，RR，則SlRlRS.答案6把下列各角化為2k(02，kZ) 的形式且指出它是第幾象限角，并寫出與它終邊相同的角的集合(1)；(2)1 485；(3)20.解(1)82，它是第二象限角，終邊相同的角的集合為.(2)1 485536031552，它是第四象限角終邊相同的角的集合為.(3)2042(820)，而8202.20是第四象限角，終邊相同的角的集合為|2k(820)，kZ7直徑為20 cm的圓中，求下列兩個圓心角所對的弧長及扇形面積(1)；(2)165.解(1)l|r10(cm)，S|r2102(cm2)(2)165165 rad rad.l|r10(cm)Slr10(cm2)能力提升8時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.B C.D解析顯然分針在1點到3點20分這段時間里，順時針轉(zhuǎn)過了兩周又一周的，用弧度制表示就是42.答案B9如圖是一個半徑為R的扇形，它的周長為4R，則這個扇形所含弓形(陰影區(qū)域)的面積是()A.(2sin 1cos 1)R2B.R2sin 1cos 1C.R2D(1sin 1cos 1)R2解析l4R2R2R，2.S弓形S扇形S|R2(2Rsin )(Rcos )2R2R2sin 1cos 1R2(1sin 1cos 1)答案D10已知是第二象限角，且|2|4，則的集合是_解析是第二象限角，2k2k，kZ，|2|4，62，當(dāng)k1時，當(dāng)k0時，2，當(dāng)k為其他整數(shù)時，滿足條件的角不存在答案(，)(，211若24，且與角的終邊垂直，則_.解析2k2k，kZ，24，k2，；或者2k2k，kZ，20，la2r0，0r，當(dāng)r時，Smax.此時，la2