平均數(shù)、標準差和變異系數(shù).ppt

,在數(shù)理統(tǒng)計中，平均數(shù)是用來反映一組變數(shù)的集中趨勢，即變數(shù)分布的中心位置。常用的度量指標有：,1. 算術(shù)平均數(shù) 2. 中位數(shù)（M） 4. 幾何平均數(shù)（Mg） 3. 眾數(shù)（Mo） 5. 調(diào)和平均數(shù)（H）,3.1 平均數(shù)：,第三章 平均數(shù)、標準差 與變異系數(shù),作為一個資料的代表，指資料中各變數(shù)集中 較多的中心位置，用來與另一資料相比較。 不同的平均數(shù)適合于不同的數(shù)據(jù)資料。,例如：不同國家、地區(qū)、種族之間身高、體重等 的比較；不同品種的家畜、家禽之間生產(chǎn) 性能的比較,集中趨勢的度量,平均數(shù)的意義,3.1.1 算術(shù)平均數(shù),一、定義 一組資料中，所有觀測值的總和除以其個數(shù)所得到的商，稱為算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)或均數(shù)。 是最常用的一種集中趨勢度量指標。 樣本的平均數(shù)記為 總體平均數(shù)記為,集中趨勢的度量,：第i個觀察值或變數(shù) n：觀察值或變數(shù)的個數(shù) ：求和符號（sigma）,二、計算公式：,集中趨勢的度量,（一）離均差之和為零： 一個樣本觀察值與平均數(shù)之差簡稱離均差。,（xi- ） =（x1- ）+(x2- )+(xn- ) = x1+x2+xn+n = xi- nxi/n = 0,三、算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì),集中趨勢的度量,（二）離均差平方和最?。?一個樣本的各個觀察值與平均數(shù)之差的平方和比各個觀察值與任意其他數(shù)之差的平方和小。,所以：平均數(shù)是與各個觀察值最接近的數(shù)值。 平均數(shù)代表這個樣本的集中趨勢。,集中趨勢的度量,三、算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì),樣本平均數(shù)常作為檢驗對象的原因,1、離均差的平方和（ - ）2最小。說明樣本平均數(shù)與樣本各個觀測值最接近，平均數(shù)是資料的代表數(shù)。 2、樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計值，即E（ ）=。 3、根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中心極限定理，樣本平均數(shù)服從或逼近正態(tài)分布。,定義：將n個觀察值從小到大依次排隊，位于中間的那個觀察值稱為中位數(shù)。,3.1.2 中位數(shù)（Md）,集中趨勢的度量,對于頻數(shù)分布的資料，公式如下：,Lmd：中位數(shù)所在組的組下限； fm：中位數(shù)所在組的頻數(shù)； C：從第一組到中位數(shù)所在組前一組的累計頻數(shù) n：樣本含量； i：組距；,集中趨勢的度量,3.1.2 中位數(shù)（Md）,定義：n個非負數(shù)的乘積開n次方的根稱為幾何平均 數(shù)，用 G 表示。,3.1.3 幾何平均數(shù),集中趨勢的度量,為了計算方便，各變數(shù)先取對數(shù)，再相加除以n，即為logG，再求其反對數(shù)，即為G值。,集中趨勢的度量,3.1.3 幾何平均數(shù),幾何平均數(shù)用于以百分率、比例表示的數(shù)據(jù)資料，如：增長率、利率、藥物效價、抗體滴度等。 能夠消弱數(shù)據(jù)中個別過分偏大值的影響。,定義：在資料中某一個變數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多，就稱 之為眾數(shù)。 1. 離散性資料：出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。 2. 連續(xù)性資料：頻數(shù)分布表中，頻數(shù)出現(xiàn)最多的 一組的組中值。,！有的資料可出現(xiàn)多個眾數(shù)，即多個數(shù)具有相同的最高頻數(shù)；有的資料沒有眾數(shù)，即所有數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)都相同。,集中趨勢的度量,3.1.4 眾數(shù),定義：各觀察值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù),3.1.5 調(diào)和平均數(shù),集中趨勢的度量,適用于極端右偏態(tài),3.1.5 調(diào)和平均數(shù),集中趨勢的度量,例：用某藥物救治12只中毒的小鼠，它們的存活天數(shù)記錄如下：8、8、8、10、10、7、13、10、9、14，另有兩只一直未死亡，求平均存活天數(shù)。,由于數(shù)據(jù)極端右偏態(tài)，用調(diào)和平均數(shù)較為合理。,1,15,2.2.3 百分位數(shù)（百分位點）,指將一組 n 個數(shù)據(jù)由小到大排列，如果小于 某數(shù)值的數(shù)據(jù)個數(shù)為全體數(shù)據(jù)個數(shù)的x%，則稱該數(shù)為第 x 百分位數(shù)或 x% 分位數(shù)。 25%分位數(shù)或下四分位數(shù)：0.25n個數(shù)的后一個數(shù)。 50%分位數(shù)或中位數(shù)：0. 5n個數(shù)的后一個數(shù)。 75%分位數(shù)或上四分位數(shù)：0.75n個數(shù)的后一個數(shù)。,適用于非參數(shù)檢驗，如卡方檢驗。,4、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù) 適用于右偏態(tài)分布。,集中趨勢的度量,3、中位數(shù),平均數(shù)的代表程度與樣本的變異程度有關(guān) 一個樣本內(nèi)有很多的變數(shù)，用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表程度決定于樣本內(nèi)各個變數(shù)的變異程度。,3.2標準差,離散趨勢的度量,即使兩個樣本的平均數(shù)相同，但是樣本內(nèi)變數(shù)的變異程度不一定相同。,離散趨勢的度量,3.2標準差,1.如果各個變數(shù)相同或者變異程度比較小，則平 均數(shù)能夠代表整個樣本。 2.如果各個變數(shù)的變異程度比較大，則平均數(shù)的代 表性就小。,離散趨勢的度量,3.2標準差,定義：全部變數(shù)的最大值與最小值之差 R= Max(x) -Min(x),3.2 范圍（全距）,范圍或全距可以反映變異程度的一部分，但是不能代表樣本內(nèi)各變數(shù)之間的變異程度。 目前，被廣泛使用的是以標準差來度量變異程度。,離散趨勢的度量,如果一個樣本有n個觀察值 x1，x2 xn，設(shè)其算術(shù)平均數(shù)為 ，則該樣本的標準差為：,標準差考慮了每個變數(shù)與平均數(shù)的離差。 每個變數(shù)與平均數(shù)相差愈小，樣本變異程度愈小，反之，愈大。 因此，標準差是離散程度的度量,3.2.1 標準差的定義,離散趨勢的度量,1.離均差=（x- ） 2.離均差之和= （x- ）=0 3.離均差平方和 SS= (x- )2,離散趨勢的度量,3.2.2 標準差公式的來源,3.2.3 樣本方差和樣本標準差,離散趨勢的度量,總體是未知的，用樣本標準差估計和推斷總體標準差,離散趨勢的度量,3.2.4 總體方差和樣本標準差,如果一個樣本含有n個變數(shù)，從理論上講，n個變數(shù)都同樣用以計算標準差，n個變數(shù)與平均數(shù)相減有n個離均差。 表面上雖有n個比較，但實質(zhì)上僅有n-1個可以自由變動，最后一個離均差受到離均差之和這個條件的限制，所以不能自由。,3.2.5 自由度： df，n-1,例如：有3個變數(shù),平均數(shù)等于5。 問著三個變數(shù)可能是多少？,離散趨勢的度量,3.2.5 自由度：,（4、5、6）（2、4、9）（3、5、7） 他們的共同特點：前兩個數(shù)可以自由選擇，為了使平均數(shù)等于5，第三個數(shù)不用選就確定了。這時（31）2就是所謂自由度。,自由度： 消除限制性因數(shù)后，所剩余的獨立變數(shù)的個數(shù)，用df表示。,三、方差和標準差的計算公式,離散趨勢的度量,1. 直接法,2. 加權(quán)法,3.2.6 標準差的性質(zhì),標準差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的標準差也大，反之則小。 在計算標準差時，在各觀測值加上或減去一個常數(shù)，其數(shù)值不變。 當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a，則所得的標準差是原來標準差的a倍或1/a倍。,3.2.6 標準差的性質(zhì),在資料服從正態(tài)分布的條件下： 平均數(shù)左右一倍標準差（ S）范圍： 約有68.26%的觀測值； 平均數(shù)左右兩倍標準差（ 2S