自動控制理論第版夏德鈐　翁貽方第三章　線性系統(tǒng)的時域分析.ppt

第三章 線性系統(tǒng)的時域分析,建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，就可采用各種方法對系統(tǒng)的性能進行分析。 控制系統(tǒng)的時域分析包括三個方面：穩(wěn)定性，暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 系統(tǒng)時域響應(yīng)在某一個輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的函數(shù)，是描述系統(tǒng)的微分方程的解。 控制系統(tǒng)的時域響應(yīng)的性質(zhì)，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及輸入信號的形式。 在實際的使用中，控制系統(tǒng)的輸入信號是多種多樣的。為了簡化問題，在分析系統(tǒng)時，采用典型的輸入信號。,典型的輸入信號,常用的典型輸入信號有以下種 .階躍函數(shù),， t0 A， t0,A=1時，為單位階躍函數(shù),典型的輸入信號,斜坡函數(shù),， t0 At， t0,A=1時，為單位斜坡函數(shù)。 斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)就是階躍函數(shù)。,典型的輸入信號,3.加速度函數(shù),， t0 A ， t0,時，稱為單位拋 物線函數(shù)，這時 在分析隨動系統(tǒng)時常用斜 坡函數(shù)和加速度函數(shù)。,典型的輸入信號,.脈沖函數(shù),當(dāng)時，令 得單位脈沖函數(shù) ， 的面積等于， 即有 的積分就是單位階躍函數(shù) 的拉氏變換為1。,典型的輸入信號,正弦函數(shù),系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)，在第五章將專門討論，這一章僅討論系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)，也就是時域響應(yīng)。,一階系統(tǒng)的時域響應(yīng),一階系統(tǒng)的框圖如下 系統(tǒng)的傳函為,分析系統(tǒng)在零初始條件下對典型輸入信號的響應(yīng),一階系統(tǒng)的時域響應(yīng),單位階躍響應(yīng),一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條指數(shù)曲線，它的特點是：,（）在t=0處，曲線的斜率為 。 （）t= 時，曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。 （）t= 時，輸出達穩(wěn)態(tài)值的95%， 。 可見一階系統(tǒng)的時間常數(shù) 反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度， ，響應(yīng)快。,當(dāng)系統(tǒng)的輸出達到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%時，我們認(rèn)為系統(tǒng)已達到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的時間稱為系統(tǒng)的響應(yīng)時間，對于一階系統(tǒng)，響應(yīng)時間為 。,一階系統(tǒng)的時域響應(yīng),單位斜坡響應(yīng),輸出與輸入的誤差為,當(dāng) 時，,越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。,一階系統(tǒng)的時域響應(yīng),單位脈沖響應(yīng),也可直接由單位階躍響應(yīng)的求導(dǎo)得出上式結(jié)果 一階系統(tǒng)的特征可用一個參量時間常數(shù) 來表示,一階系統(tǒng)的時域響應(yīng),響應(yīng)時間為（） t=0時，單位階躍響應(yīng)的變化率為 t=0時，單位脈沖響應(yīng)的幅值為 單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，單位 階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)可以看出，系統(tǒng) 對某信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 反之，系統(tǒng)對某信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該信號響應(yīng)的積分。 這是線性定常系統(tǒng)不同于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的重要特性。,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性常被視為一種基準(zhǔn)，雖然實際中的系統(tǒng)不盡是二階系統(tǒng)，但高階系統(tǒng)?？梢杂枚A系統(tǒng)近似。因此對二階系統(tǒng)的響應(yīng)進行重點討論。,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),令 則,上式為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 阻尼比或衰減系數(shù) 無阻尼自然震蕩角頻率 由系統(tǒng)的特征方程不難求出閉環(huán)系統(tǒng)的極點為,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),一二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),二階系統(tǒng)的響應(yīng)分三種情況討論 過阻尼 的情況 閉環(huán)極點為, 是小于零的兩個實根,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可求得如下：,按不同極點的情況求系數(shù),二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),求拉氏反變換，得,可見，單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩部分組成，而暫態(tài)分量包含兩項衰減的指數(shù)項比較兩項的衰減指數(shù)，當(dāng) 時，后一項的衰減指數(shù)遠大于前一項，就是后一項衰減得很快，只在響應(yīng)的初期有影響。所以對過阻尼二階系統(tǒng)，當(dāng) 時，可以近似為一階系統(tǒng)，將后一項忽略。得到近似傳遞函數(shù)：,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),近似傳函與原傳函的初始值和終值保持不變。,系統(tǒng)的響應(yīng)時間為,相當(dāng)于慣性時間常數(shù),在工程上，當(dāng) 時，使用上述近似關(guān)系已有足夠的準(zhǔn)確度了,此時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),欠阻尼 的情況 系統(tǒng)的閉環(huán)極點為,是一對共軛復(fù)數(shù)極點，因為實部極點為負 所以位于左半平面。單位階躍輸入時，輸出的拉氏變換為：, 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),查拉氏變換表，可求得：,欠阻尼時，系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 的第一項是穩(wěn)態(tài)分量，第二項是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩，其振蕩頻率為,稱為阻尼自然振蕩頻率。,是無阻尼等幅振蕩， 為系統(tǒng)的無阻尼自然頻率。,.臨界阻尼 的情況,當(dāng) 時，閉環(huán)極點為：,單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為,求其拉氏反變換，得,此時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升曲線。,二階系統(tǒng)有兩個參數(shù) 和 ，阻尼比 是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，不同阻尼比的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有很大區(qū)別。,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),取橫坐標(biāo)為 ，不同阻尼比 值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族如圖所示：,從圖可見： （） 越小，振蕩越厲害，當(dāng) 增大到以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。 （） 之間時，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達到穩(wěn)態(tài)值。 （）在無振蕩時，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)。 （）過阻尼系統(tǒng)過渡過程時間長。,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),二二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo) 二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比 和無阻尼自然振蕩角頻率 對系統(tǒng)的響應(yīng)具有決定性的影響。 現(xiàn)在針對阻尼 的情況，討論暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與特征參量的關(guān)系。 欠阻尼時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,（）,1.上升時間 在暫態(tài)過程中，第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間 在（）式中令c(t)=1，可得,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),因為上升時間是第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間，故取n=1,于是,峰值時間 響應(yīng)由零上升到第一個峰值所需的時間,對（）求一階系數(shù)，并令其為零，得,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),移項并約去公因子后得,到達第一個峰值時 ，從而得,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),3最大超調(diào)量,最大超調(diào)量發(fā)生在 時刻，將 代入（）式，便得,從上式可見， 完全由 決定，,調(diào)整時間,與穩(wěn)態(tài)值 之間的差值達到允許范圍（取或）時的暫態(tài)過程時間,滿足上式的 值有多個，按定義，其中最小的值是調(diào)整時間,為簡單起見，采用近似的計算方法，認(rèn)為指數(shù)項衰減到0.05或0.02時，暫態(tài)過程結(jié)束，因此忽略正弦函數(shù)的影響，得到,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),由此可求得,近似與 成反比,在設(shè)計系統(tǒng)時， 通常由要求的決定，所以 由 所決定,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),結(jié)論： （）根據(jù) 值的大小可以間接判斷一個二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性 ，單位階躍響應(yīng)為單調(diào)曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)整時間較長，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩 ，響應(yīng)為單調(diào)曲線，調(diào)整時間比 的情況短 ，輸出為等幅振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。 一般希望二階系統(tǒng)工作在欠阻尼 狀態(tài)下，但 不能過小，否則 大， 多， 長，為了限制超調(diào)量， 應(yīng)在0.40.8之間，這時超調(diào)量將在25%2.5%之間,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),因為 只和 有關(guān)，常根據(jù)允許的 來選擇,（）以閉環(huán)極點在平面上的位置可以大致估計 和 的大小 與閉環(huán)極點，到實軸的距離 成反比 可近似地認(rèn)為與閉環(huán)極點到虛軸的距離 成反比 在 一定時，可通過改變 來改變 ， 越大， 越短,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,確定系統(tǒng)的 和 ，并求最大超調(diào)量 和調(diào)整時間,解：因為 可得,二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),三二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),通過對單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)可得到單位脈沖響應(yīng),二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),臨界阻尼和過阻尼情況，單位脈沖響應(yīng)總是大于，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)曲線 欠阻尼時，響應(yīng)曲線圍繞零值衰減振蕩,根據(jù)單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)之間的關(guān)系，單位脈沖響應(yīng)以 一段曲線下所包圍的面積等于 ，曲線與t 軸所包圍面積的總和（或數(shù)和）為,高階系統(tǒng)的時域響應(yīng),凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函分母中s的最高幕次n2. 高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函的一般形式為,或,高階系統(tǒng)的時域響應(yīng),系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,從上式可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩個部分組成。而暫態(tài)分量又是由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量的合成,.高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)決定。系統(tǒng)極點在左半平面離虛軸越遠，響應(yīng)的分量衰減得越快。,高階系統(tǒng)的時域響應(yīng),.各暫態(tài)分量的系數(shù)還和零點的位置有關(guān)。若一對零、極點很靠近，則該極點對暫態(tài)響應(yīng)的影響很?。ù藭r對應(yīng)的系數(shù) 很?。?。若某個極點 附近沒有零點，且距離原點較近，則 就大，對暫態(tài)分量的影響就大。 由于以上兩點，對于系數(shù)很小的分量和衰減很快的分量常常忽略，用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似高階系統(tǒng)的響應(yīng)。這就是合理的簡化，既不改變問題的性質(zhì)，又使處理過程簡單。,高階系統(tǒng)的時域響應(yīng),.如果高階系統(tǒng)中距虛軸最近的極點，其實部比其他極點實部的五分之一還要小，并且附近不存在零點可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定這些對系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點，稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點 如果找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，高階系統(tǒng)就可近似地作為二階系統(tǒng)分析。,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一穩(wěn)定的基本概念 一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須保持穩(wěn)定這向我們提出兩個問題：什么樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的；線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么 一個控制系統(tǒng)，如果在擾動的作用下，偏離了原有的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，又能回到原來的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；反之，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)不能回到原有的平衡狀態(tài)，或偏離量隨時間增長而增長，則該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng) 在實際使用中，系統(tǒng)總要受到各種擾動的作用，顯然不穩(wěn)定系統(tǒng)就無法工作,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，其暫態(tài)分量的各個項隨著時間的增長應(yīng)很快趨近于，從上式看：指數(shù)項的系數(shù) 應(yīng)為負值，就是說實數(shù)極點應(yīng)位于負實軸上；振蕩衰減項的指數(shù)部分 應(yīng)為負值，也就是說共軛復(fù)數(shù)極點的實部應(yīng)為負，即共軛復(fù)數(shù)極點位于左半平面；系統(tǒng)中只要有一個極點位于右半平面，或虛軸上，暫態(tài)分量就是發(fā)散的或不衰減的，系統(tǒng)就不穩(wěn)定,由此可得到線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 系統(tǒng)特征方程的所有根（系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點），均位于左半平面,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,二勞斯穩(wěn)定判據(jù) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，取決于特征根的實部是否均為負值（左半平面）但是求解高階系統(tǒng)的特征方程是相當(dāng)困難的而勞斯判據(jù)，避免解特征方程，只需對特征方程的系數(shù)進行代數(shù)運算，就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此這種數(shù)據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù),勞斯判據(jù) 將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并將各系數(shù)排列成勞斯表,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,表中的有關(guān)系數(shù)為,一直進行到求得的b值全部等于零為止。,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這一計算過程一直進行到與 對應(yīng)的一行為止。 為了簡化數(shù)值運算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項，并不改變結(jié)論的性質(zhì)。,勞斯判據(jù)：系統(tǒng)極點實部為正實數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。系統(tǒng)極點全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是方程的各項系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號。,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例3-2 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖 所示，求滿足穩(wěn)定要求時K的臨界值。 解：閉環(huán)傳函,系統(tǒng)的特征方程為,列出勞斯表,根據(jù)勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其第一列均為正數(shù)，即,K0，30-K0 0K30,得到滿足穩(wěn)定的臨界值,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,（1）若得 負值 ，應(yīng)將結(jié)果改 假定我們不取K為負值。 （2）實際上要求系統(tǒng)工作在K小于臨界值的狀態(tài)，當(dāng)K=臨界值時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是等幅振蕩，相當(dāng)于有一對共軛負數(shù)極點位于虛軸上。顯然不能正常工作。,2 .勞斯判據(jù)的兩種特殊情況 （1）某行第一列的系數(shù)為零，該行其余各項中某些項不等于零。 在這種情況下，可以用一個很小的正數(shù) 來代替零值項，然后按通常的方法計算勞斯表中其余各項。如果 上面一行的系數(shù)符號與 下面一行的系數(shù)符號相反，表明有一個符號變化。,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例3-3 特征方程為,勞斯表為,考察第一列各項系數(shù)。當(dāng) 時， 是一個很大的負 數(shù)因此第一列各項數(shù)值的符號改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個極點具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,（）某行所有系數(shù)均為零的情況 如果出現(xiàn)這種情況，則表明在平面中有對稱于原點的實根，或共軛虛根存在。可用下述方法處理 第一步：取元素全為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助方程，式中的均為偶次（根是對稱出現(xiàn)的） 第二步：求輔助方程對的導(dǎo)數(shù)，以其系數(shù)代替全為零值的一行， 第三步：用通常的方法繼續(xù)求下面各行的系數(shù)，并判斷穩(wěn)定性 第四步：解輔導(dǎo)方程，得各對稱根,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例已知系統(tǒng)特征方程，判斷穩(wěn)定性,勞斯表為,將輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù)作為 行的元素，并往下計算各行，得：,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,勞斯表的第一列各項符號沒有改變，因此系統(tǒng)在右半平面沒有極點但由于 行的各項為零，說明有共軛虛數(shù)極點?？捎奢o助方程求出。解,得,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,小結(jié)： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于左半平面 勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的某一參數(shù)的范圍。 勞斯判據(jù)沒有也不能說明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)該爭取的校正途徑,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析,我們曾經(jīng)規(guī)定了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)現(xiàn)在要討論系統(tǒng)跟蹤輸入信號的精確度或抑制干擾信號的能力 穩(wěn)態(tài)誤差：一個穩(wěn)定系統(tǒng)經(jīng)過足夠長的時間后其暫態(tài)響應(yīng)已衰減到微不足道，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實際值之間的誤差 我們不考慮由于元件的不靈敏，零點漂移和老化所造成的永久性誤差穩(wěn)態(tài)誤差只與輸入信號的形式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量有關(guān),線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一、控制系統(tǒng)的類型 對控制系統(tǒng)按照跟蹤階躍輸入信號，斜坡輸入信號和拋物線輸入信號的能力進行分類設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,二、誤差傳遞函數(shù) 、單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 閉：,誤差信號,定義,為單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 系統(tǒng)對輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差可由終值定理求得，為：,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例一階系統(tǒng),(a) (b),線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例二階系統(tǒng),(a) (b),這兩個都是型系統(tǒng)（ =1），對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為，對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一個常數(shù)。,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,擾動誤差傳遞函數(shù) 干擾誤差傳函的形式隨干擾信號源在系統(tǒng)中作用點的改變而不同，現(xiàn)只說明一種情形，根據(jù)同樣方法可以推出其他情形的擾動誤差傳函。,令 ，得等效框圖,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,擾動穩(wěn)態(tài)誤差,擾動誤差傳函,而在 時，,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,三靜態(tài)誤差系數(shù) 靜態(tài)