“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”課堂實錄與設(shè)計說明

“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”課堂實錄與設(shè)計說明1 說明這是結(jié)合我校今年立項的浙江省教研課題基于數(shù)學(xué)理解的初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐研究而開設(shè)的一堂組內(nèi)公開課，通過課后組內(nèi)的激烈交流，現(xiàn)把課堂實錄與設(shè)計說明及本人反思整理如下。2 教學(xué)過程2.1回顧復(fù)習(xí)題組：選擇題(選項A:平均數(shù) B:中位數(shù) C:眾數(shù))為了反映初二(4)班同學(xué)的平均年齡，應(yīng)關(guān)注學(xué)生年齡的_。為了資金的迅速周轉(zhuǎn)和減少商品庫存積壓，某手機銷售商在進貨時要關(guān)注各品牌手機銷量的 _ 。為了考察某同學(xué)在一次測驗中數(shù)學(xué)成績是占上等還是占下等水平，應(yīng)關(guān)注這次數(shù)學(xué)成績的_ 。(學(xué)生很快完成)師：請哪位同學(xué)小結(jié)一下平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)的具體功能?生1：平均數(shù)用來描述數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)用來描述數(shù)據(jù)的中等水平，眾數(shù)用來描述數(shù)據(jù)的多數(shù)水平。師：小結(jié)得很好，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都屬于集中量數(shù)，用來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們有各自的用武之地，需要恰當(dāng)?shù)倪x擇。(知識整理，形成導(dǎo)圖)設(shè)計說明：在中學(xué)統(tǒng)計內(nèi)容教學(xué)中有兩類描述數(shù)據(jù)特征的概念：集中量數(shù)，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);另一類是差異量數(shù)，如方差、標(biāo)準(zhǔn)差。通過本堂課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生構(gòu)建描述數(shù)據(jù)特征的量的完整體系。新課內(nèi)容前的復(fù)習(xí)舊知，正是為此作準(zhǔn)備，并且為下個環(huán)節(jié)引發(fā)認(rèn)知沖突，提出疑問作好鋪墊。2.2創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突，提出疑問題目：明明和白白兩人參加投籃訓(xùn)練測試(每次測試有10次投籃機會)，近期的五次測試成績?nèi)缦卤硭?。老師，我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)都是8，沒有辦法作出判斷啊!(其他同學(xué)遇到了同樣的困惑)設(shè)計說明：運用原有知識，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。師：我?guī)痛蠹覍⑦@些數(shù)據(jù)畫成了折線統(tǒng)計圖，請大家仔細(xì)觀察，繼續(xù)回答這個問題。(看了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖，學(xué)生好像恍然大悟，很多人同時舉手)生2：我覺得派明明去，因為他們平均分相同，就說明他們水平差不多，但是從折線統(tǒng)計圖上看，明明成績發(fā)揮要穩(wěn)定得多。(很多同學(xué)表示贊同)師：還有沒有不同的想法呢?生3：我覺得派白白去，因為白白爆發(fā)力強，有得第一的希望。(大家都點點頭，表示贊同)生4：我覺得要考慮參賽選手的整體競爭實力，如果整體實力一般，10個球能進8個已經(jīng)穩(wěn)能拿一等獎了，那么派明明去，他會發(fā)揮的很穩(wěn)。如果整體實力很強，10個進9個以上才能拿到好名次，那么派白白去比較好，這樣我們班得獎的機會比較大。師：剛才生3分析的很全面。當(dāng)平均數(shù)相同或相近的時候，我們要考慮數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)上下波動的程度，也叫做一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的離散程度。那么，什么樣的數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的離散程度呢?設(shè)計說明：通過設(shè)計有效的問題串2.3探索新知，解決疑問生5：方差師：你是怎么知道的呢?(學(xué)生都無語)師：要求數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度(說的時候突出平均數(shù))，我們是否可以直接將各數(shù)據(jù)與平均值的差進行累加?請同學(xué)們完成學(xué)案中的表1。(單位：個)(學(xué)生們很快就完成了)師：能說明明明與白白的均差之和與他們成績的穩(wěn)定性有關(guān)嗎?(學(xué)生都說不行，因為均差之和都為0)師：大家仔細(xì)觀察剛才填寫的表1，是什么原因?qū)е铝司罾奂又蜑? ?生6：出現(xiàn)了相反數(shù)，使得相加為0生7：不全是相反數(shù)，是因為出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，產(chǎn)生了抵消，使結(jié)果為0了師：那么怎么樣可以避免這種抵消呢?(很快有同學(xué)舉手)生8：給每個數(shù)加個絕對值師：很好，大家用這個辦法完成學(xué)案中表2(很多人臉上露出了喜色，急著就想回答自己的發(fā)現(xiàn))生9：明明和白白的均差絕對值之和分別是2和6，說明均差絕對值之和越小，與平均數(shù)的離散程度越小，這組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，反之就越不穩(wěn)定。(沒有得到回答機會的同學(xué)們都點著頭表示贊同)師：那還有沒有其他方法呢?(學(xué)生很是詫異，竟然還有其他方法，馬上進入沉思中突然，有位同學(xué)叫出來，平方，同學(xué)們都覺得是啊)師：大家用平方這個辦法完成學(xué)案中表3生10：這種方法可以，明明和白白均差的平方之和分別為2和14，數(shù)值越大，說明這組數(shù)據(jù)與平均值的離散程度就越大，數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定，反之就越穩(wěn)定。(教師繼續(xù)啟發(fā))師：大家觀察，剛才大家填寫的表中，明明和白白的樣本容量為多少?生11：都為5(教師追問)師：樣本容量如果不同，用剛才的方法還能否作出穩(wěn)定性的判斷?(學(xué)生覺得困惑)師：我把題目改一改，請大家完成下面這個題目題目：考慮實際情況，如果一共進行了7次測試，明明因故缺席兩次，怎樣比較誰的成績更穩(wěn)定，請?zhí)顚憣W(xué)案中表4生12：明明和白白均差平方之和分別為14和16，所以明明的成績發(fā)揮穩(wěn)定。(很多同學(xué)好象都注意到了缺席，覺得問題可能沒這么簡單)師：現(xiàn)在，它們的樣本容量同嗎?生13：不同，分別是5和7師：若白白第2次也缺席，那所求的和是7，不就馬上變成白白穩(wěn)定了嗎?(學(xué)生馬上意識到樣本容量不同，所得均差平方和不能直接用來比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性)師：樣本容量不同，顯然不能直接作比較，那怎樣給他們創(chuàng)設(shè)一個標(biāo)準(zhǔn)情況呢?生14：求出它們的平均數(shù)(學(xué)生中馬上爆發(fā)出掌聲，表示贊同)生15：我已經(jīng)算出來了，剛才算的均差平方之和的平均數(shù)分別為4.8和2.3,所以這時白白的成績比較穩(wěn)定。師：當(dāng)我們?nèi)【罱^對值時，是否也需要在標(biāo)準(zhǔn)情況下進行比較呢?(馬上有學(xué)生舉手)生16：需要，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)樣本容量不同時，會產(chǎn)生和用均差平方之和比較數(shù)據(jù)穩(wěn)定性帶來同樣的不足。師：我們把求均差絕對值之和的平均數(shù)稱為平均差，求均差平方和的平均數(shù)稱為方差。當(dāng)數(shù)據(jù)很多，或者均差是小數(shù)的時候，方差公式有簡化公式，可以給進一步統(tǒng)計分析帶來方便，而平均差由于帶有絕對值，給進一步統(tǒng)計分析帶來了麻煩，是屬于一種低效分析，所以我們今天重點來學(xué)習(xí)方差(板書課題方差)。方差用符號S2來表示。設(shè)計說明：通過設(shè)置問題串，讓學(xué)生不斷的碰壁，不斷的產(chǎn)生認(rèn)知沖突，同時不斷的啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生體驗方差概念得出的整個思維過程，促進學(xué)生對概念的清晰認(rèn)識，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。師：現(xiàn)在給你們1分鐘時間，回憶整理剛剛探索方差公式的整個過程。(有的學(xué)生同桌間在討論，有的在書寫記憶公式，有的在翻看數(shù)學(xué)教科書，都很認(rèn)真)(通過整理，形成導(dǎo)圖)設(shè)計說明：知識的學(xué)習(xí)有個內(nèi)化的過程，適時留足時間讓學(xué)生整理，可以調(diào)整不同學(xué)生的思維進度，理清知識發(fā)生發(fā)展的整個脈絡(luò)，讓更多的人對概念的得出產(chǎn)生認(rèn)同感。知識整理，形成導(dǎo)圖，促進學(xué)生所學(xué)知識系統(tǒng)化。2.4 通過練習(xí)，進一步探索新知師：大家利用方差說明表1中明明和白白測試成績的穩(wěn)定情況(寫出詳細(xì)過程)(通過在學(xué)生中間巡視，我找了一位學(xué)生的作業(yè)進行實物投影)解：師：這是我們班一位同學(xué)做的，看一看他和你做的是不是一樣?生17：老師，他沒下結(jié)論，算出來后，應(yīng)該說明明明和白白的平均成績相同，但是明明的測試成績比白白的測試成績要穩(wěn)定師：很好，寫出分析過程后還要下結(jié)論。大家再仔細(xì)看看呢?生18：我看出來了，他中間過程寫反了(所有學(xué)生仔細(xì)一看，都哈哈大笑，他把平均數(shù)和每次測試成績換了下位置，但結(jié)果沒變)師：剛才這位同學(xué)很仔細(xì)，老師都沒有看出來啊。我們再請這位同學(xué)指一指剛才改過來之后的方差式子中樣本容量和平均數(shù)分別是多少?生19：樣本容量是5，平均數(shù)是8，求均差時每次減去的都是平均數(shù)師：大家再看看，除了剛才這兩個地方之外還有沒有?(學(xué)生困惑，看不出來還有錯誤)師：大家看表1中各個數(shù)據(jù)的單位是什么?生20：是個師：那么，將這個單位代到方差公式，你會發(fā)現(xiàn)它是不是也應(yīng)該有個單位?而且是怎樣的呢?生21：是啊，而且變成了平方啊師：很好，我們就寫成個2(學(xué)生都覺得很新鮮，還有單位的平方啊)師：我也這么覺得啊，那有什么辦法讓它與其他數(shù)據(jù)單位保持一致呢?生齊答：開平方師：那不是有兩個，一正一負(fù)嗎?生22：開方取算術(shù)平方根啊師：我們把方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，這樣，它的單位就和其他的數(shù)據(jù)單位統(tǒng)一起來了，有助于進一步統(tǒng)計分析。師：同學(xué)們在前面練習(xí)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)算出明明和白白的標(biāo)準(zhǔn)差，鞏固新學(xué)概念。(由學(xué)生們通過合作，類比方差，整理標(biāo)準(zhǔn)差的功能、公式、計算步驟、以及與方差的關(guān)系，形成導(dǎo)圖)設(shè)計說明：利用所學(xué)知識解決情景引入中的問題，鞏固新學(xué)方差公式。通過實物投影展示學(xué)生作業(yè)，進一步提出問題，產(chǎn)生新的認(rèn)知沖突，在學(xué)生解決問題的過程中，自然生成新的知識。2.5學(xué)以致用，體驗成功題組11、在方差計算公式中，數(shù)字10和20分別表示( )A.數(shù)據(jù)的個數(shù)和方差B.平均數(shù)和數(shù)據(jù)的個數(shù)C.數(shù)據(jù)的個數(shù)和平均數(shù)D.數(shù)據(jù)組的方差和平均數(shù)2.比較甲、乙兩名運動員一段時間內(nèi)的測試成績，下列情況中，能說明甲的成績比較好的是()3.我班在剛過去的10月份，每星期得到各類獎狀數(shù)為2張,a張,3張,4張，平均每周得到3張，求出這組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差?(寫出過程)設(shè)計說明：鞏固新課內(nèi)容，學(xué)會簡單綜合運用。題組2已知x1,x2,x3的方差是0.5，(1)則x1+3,x2+3,x3+3的方差是 .(2)則2x1,2x2,2x3的方差是 .(3)則2x1+3,2x2+3,2x3+3的方差是 .(4)若一組數(shù)據(jù)x1,x2, ,x n的方差為S2，則另一組數(shù)據(jù)kx1+a,kx2+a, ,kxn+a 的方差是 .標(biāo)準(zhǔn)差是 .設(shè)計說明：通過老師例舉生活中這樣的事實：現(xiàn)在我們班學(xué)生年齡的波動情況用方差來表示出來，等再過10年，我們班學(xué)生年齡的波動情況會變嗎?等生活實際例子解釋第(1)小題后，學(xué)生都表示理解，并且進行了代數(shù)的嚴(yán)密推理，學(xué)生感覺很好接受，后面3小題不斷變化，層層遞進，順理成章。2.6拓展延伸，促進理解師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)方差的公式與方差的名稱好象有點不般配?(學(xué)生，開始思索!很快就笑起來，都說取名差方更合理啊)師：是不是這樣取也合理呢?事實上，對這批數(shù)據(jù)，如果先平方得，再與平均作差得(+)-n,是不是和我們前面得出來的的方差公式的值是一致的呢?(學(xué)生開始迫不及待的進行驗算)生23：(興奮的說)將我們前面的方差公式，運用完全平方公式展開、化簡之后就是這個式子。(在生23的引導(dǎo)下，很多同學(xué)都在小組合作中，通過化簡發(fā)現(xiàn)它們是相等的)師：看來取名方差還是有道理的，方差公式有兩種表示方式?，F(xiàn)在大家靈活運用方差公式，計算下列一組數(shù)據(jù)1，2，4，4，5的方差?(學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8運用后來的公式計算方差方便多了)設(shè)計說明：通過對方差名稱的琢磨，再一次激起學(xué)生探究的欲望，通過驗證，發(fā)現(xiàn)方差有其簡化公式，并適時給出習(xí)題，體會方差簡化公式在一些特殊數(shù)據(jù)處理中帶來的簡便。2.7總結(jié)回顧，形成導(dǎo)圖要練說，得練看?？磁c說是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察能力，擴大幼兒的認(rèn)知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動中，積累詞匯、理解詞義、發(fā)展語言。在運用觀察法組織活動時，我著眼觀察于觀察對象的選擇，著力于觀察過程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察能力和語言表達(dá)能力的提高。(1)通過班級所有學(xué)生一起回顧、談?wù)摫咎谜n的收獲，形成本堂課導(dǎo)圖死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力發(fā)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費苦心。其實,只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語文水平的重要前提和基礎(chǔ)。(2)將本堂課所學(xué)知識納入整章思維導(dǎo)圖語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在