人教版選修21第二章拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程講義

案例（二）精析精練課堂 合作 探究重點(diǎn)難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)一 拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為拋物線的準(zhǔn)線。(1)定義可歸結(jié)為”一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為；一定點(diǎn)(即焦點(diǎn))；一定直線(即準(zhǔn)線)；一定值1（即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為1）。(2) 定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上。若在上，拋物線退化為過(guò)且垂直于的一條直線。 (3)拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離(也稱(chēng)焦半徑)與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。 知識(shí)點(diǎn)二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點(diǎn)：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱(chēng)性，而且曲線過(guò)原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用。如下圖所示，分別建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下： （1） （2） （3） （4）（1），焦點(diǎn)：，準(zhǔn)線；（2），焦集點(diǎn)：，準(zhǔn)線； （3），焦點(diǎn)：，準(zhǔn)線； （4），焦點(diǎn)：，準(zhǔn)線。 相同點(diǎn)：（1）拋物線都過(guò)原點(diǎn)；（2）對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸；（3）準(zhǔn)線都與對(duì)稱(chēng)軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的，即。不同點(diǎn)：（1）圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，為一次項(xiàng)，為二次項(xiàng)，方程右端為，左端為；圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，為二次項(xiàng)，為一次項(xiàng)，方程右端為，左端為；（2）開(kāi)口方向在軸（或軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在軸（或軸）的正半軸上，方程右端取正號(hào)；開(kāi)口在軸（或軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在軸（或軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào)。 總之，參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱(chēng)相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向。 典型例題分析 題型1 拋物線的定義及應(yīng)用 【例1】 已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，6）。求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值。 解析由定義知，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，求與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值，轉(zhuǎn)化成求的最小值。 答案 如右圖易判斷知點(diǎn)在拋物線外側(cè)， 設(shè)，焦點(diǎn)，則到軸的距離即值。 設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則。 故，由拋物線定義知。于是，由圖可知，當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，為13。故所求距離之和的最小值為。規(guī)律總結(jié) 定義是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)和靈魂，要善于思考定義和應(yīng)用定義，本題如果設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間距離公式求解，無(wú)法得到答案。由拋物線定義可知，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，的距離最小，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。 【變式訓(xùn)練1】 定長(zhǎng)為5的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，試求線段的中點(diǎn)到軸的最短距離。 答案如右圖，分別過(guò)、作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為、，在直角梯形中， 。 又， ， ,由幾何性質(zhì)，有，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)為焦點(diǎn)弦時(shí)，有最小值，此時(shí)，到軸有最短距離為。 題型2 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例2】 若動(dòng)圓與圓（外切，又與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 利用拋物線定義的條件。 答案 設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為到點(diǎn)（2，0）的距離為，到直線的距離為，所以到（2，0）的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知。故選A。 規(guī)律總結(jié) 處理求軌跡方程的選擇、填空類(lèi)問(wèn)題，可首先考慮畫(huà)維由線的定義，或者經(jīng)轉(zhuǎn)化后聯(lián)系圓錐曲線的定義來(lái)處理。 【變式訓(xùn)練2】 已知圓與定直線，且動(dòng)圓和圓外切并與直線相切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。答案 依題意，可知到圓心距離和到定直線的距離相等，點(diǎn)軌跡為拋物線，且。點(diǎn)軌跡方程為。 【例3】 根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1)焦點(diǎn)為（一2，0）； （2）準(zhǔn)線為； （3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4； （4）過(guò)點(diǎn)（1，2）。 解析 求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法，但要依據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问健?答案（1)焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，即，拋物線方程。（2）焦點(diǎn)在軸正半軸上，即，拋物線方程為；（3），拋物線方程有四種形式：；（4）點(diǎn)（1，2）在第一象限，要分兩種情形：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為，則，解得，拋物線方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為，則，解得，拋物線方程為。 規(guī)律總結(jié) （1）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)叫做焦參數(shù)，它的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，且焦點(diǎn)到頂點(diǎn)及頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為。（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類(lèi)型，所以判斷類(lèi)型是解題的關(guān)鍵。在方程的類(lèi)型已確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，所以只需一個(gè)條件就可以確定一個(gè)拋物線的方程。（3）焦點(diǎn)在軸上的拋物線方程可統(tǒng)一寫(xiě)出；焦點(diǎn)在軸上的拋物線方程可統(tǒng)一寫(xiě)成?！咀兪接?xùn)練3】 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3，求拋物線的方程。答案 當(dāng)時(shí)。由，得，這時(shí)拋物線的準(zhǔn)線方程是。拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3。，解得。這時(shí)拋物線的方程是。同理，當(dāng)時(shí)，拋物線的方程是。題型3 求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程【例4】 已知拋物線的方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。解析 要根據(jù)的正負(fù)分類(lèi)討論。答案 （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程。（2）當(dāng)時(shí)，。因?yàn)?，所以。所以焦點(diǎn)，即，準(zhǔn)線方程。綜上所述，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程。規(guī)律總結(jié) 可能是正的，也可能是負(fù)的，因此一定要分，兩種情況討論，此類(lèi)題易忽略?！咀兪接?xùn)練4】 求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及的值。答案 拋物線方程可化為。.時(shí)，點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為。題型4 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 【例5】 一輛卡車(chē)高3m，寬1.6m，欲通過(guò)斷面為拋物線形的隧道，如圖所示，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱寬為m，求能使卡車(chē)通過(guò)的的最小整數(shù)值。 解析 要求拱寬的最小值，需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出拋物線方程，然后利用方程求解。 答案 以拱頂為原點(diǎn)，拱寬所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)拋物線方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)在拋物線上， 所以 所以，拋物線方程為。 將點(diǎn)代入拋物線方程，得。 所以，點(diǎn)到拱底的距離為。 解得，取整數(shù)，的最小值為13。規(guī)律總結(jié) 實(shí)際問(wèn)題中可由實(shí)際情況確立坐標(biāo)系，要求坐標(biāo)系要簡(jiǎn)單，建好坐標(biāo)系后要由實(shí)際情況寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)及曲線方程，然后依題意解之即可。 【變式訓(xùn)練5】 汽車(chē)前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑是24 cm，燈深10 cm，那么燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)（即截得拋物線頂點(diǎn)）距離是多少？ 答案 取反射鏡的軸即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo) 原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系,如右圖所示。 因燈口直徑，燈深，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是（10，12）。 設(shè)拋物線的方程為。 由點(diǎn)在拋物線上，得。 拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（3.6，0）。 因此燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的距離是3.6 cm規(guī)律 方法 總結(jié)（1）批物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，不論還是,總有：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程。（2）正確理解拋物線的定義：拋物線定義中的定點(diǎn)不在定直線上，這一點(diǎn)不可忽視。當(dāng)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等的軌跡是過(guò)且與垂直的一條直線。（3）已知方程求拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程時(shí)，應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式。（4） 根據(jù)給定條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，故應(yīng)先根據(jù)焦點(diǎn)位置或準(zhǔn)線確定方程的形式，再用待定系數(shù)法求之。當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸已知，焦點(diǎn)不確定時(shí)，可分類(lèi)討論，也可統(tǒng)一設(shè)方程。如對(duì)稱(chēng)軸為軸的拋物線，標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為。 （5）在解決有關(guān)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí)，常利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到到準(zhǔn)線的距離。定時(shí) 鞏固 檢測(cè)基礎(chǔ)訓(xùn)練頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為的拋物線方程為 （ ）A. B.C. D.答案D(點(diǎn)撥:的準(zhǔn)線方程是。)2.拋物線的準(zhǔn)線方程是 （ ）A. B.C. D.答案C(點(diǎn)撥:原方程可化為:。)3.若拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)的焦半徑為10,則頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 （ ）A.1 B.2 C.4 D.8答案C(點(diǎn)撥:依拋物線的定義得，而頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為。)4.焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。答案或(點(diǎn)撥:有兩種情形,分別討論。)5.根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(1)準(zhǔn)線方程；(2)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,-5)。答案(1)由，得，所求拋物線的方程是；(2),有四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，分別是；(3)當(dāng)拋物線的方程為時(shí)，將點(diǎn)(-3,-5)代入得，即拋物線的方程為；當(dāng)拋物線的方程為時(shí)，將點(diǎn)(-3，5)代入得，即 。能力提升6.過(guò)拋物線產(chǎn)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn),如果,那么 （ ）A.10 B.8 C.6 D.4答案B(點(diǎn)撥:根據(jù)拋物線的定義知。)7.已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn),定點(diǎn),則的最小值為 （ ）A.3 B.4 C.5 D.6答案B(點(diǎn)撥:利用拋物線定義進(jìn)行長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化。)8.動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離大2，則點(diǎn)的軌跡方程是 。答案(點(diǎn)撥:動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等。)9.有一拋