人教版講義九年級第二十一章一元二次方程21.2根與系數(shù)的關系

合作探究探究點1 一元二次方程的根與系數(shù)的關系情景激疑 求根公式是由一元二次方程的系數(shù)a，b，c決定的，兩根的和、兩根的積分別與系教a，b，c有怎樣的關系呢?知識講解 根與系數(shù)的關系(韋達定理):如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=-.x1x2=也就是說，兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比。 注意 兩根的和、兩根的積與系數(shù)的關系都是比的形式，誰與誰的比不要混淆，和有相反數(shù)的關系，積沒有。典例剖析例1 不解方程,求出2x2+4x=1的兩根的和與兩根的積.解析 運用根與系數(shù)的關系與運用判別式類似，需要先把方程化為一般形式，以便確定a,b，c.答案 將原方程化為一般形式得2x2+4x-1=0，a=2，b=4，c=-1,于是x1+x2=-=-=-2，x1x2=-。類題突破1 設一元二次方程3x2 +2x-m=0的一個根是-2,求方程的另一個根及m的值。 答案 設另一個根為x2，由根與系數(shù)的關系可得-2十x2=-，解得x2=.再由兩根之積與系數(shù)的關系可得-2=，解得m=8.點撥 此類問題也可以用方程根的定義，將x1=-2代入原方程，求出m的值，再求出另一個根。 探究點2(高頻考點) 根與系數(shù)關系的應用情景激疑 關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，x1+x2與x1x2分別和p，q有怎樣的關系?知識講解 如果方程x2+px+q=0的兩個根為x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q。注意 (1)對于二次項系數(shù)是 1的一元二次方程，它的兩根之和等于一次項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項. (2)對于任何二次項系數(shù)a1的一元二次方程,都可以通過方程的兩邊同除以a,化為二次項系數(shù)為1的形式x2+px+q=0.典例剖析例2(1)如果x1，x2是方程x2-5x+3=0的兩個根，那么x1+x2=_，x1x2=_； (2)以一2，3為根的一元二次方程是_。解析(1)直接利用x1+x2=-p，x1x2=q的關系來求值；(2)由x1+x2=-p可得p=-(x1+x2)，x1x2=q可得q=-1于是分別確定一次項系數(shù)p=-(x1+x2)=-（-2+3）=-1，q=x1x2=-23=-6.答案(1)5 3(2)x2-x-6=0點撥注意符號錯誤，類題突破2小華與小麗在一起做作業(yè)時，小華看錯了一元二次方程的一次項系數(shù)，解得x1=2,x2=3；小麗看錯了同一個方程的常數(shù)項，解得x1=-6,x2=1，若二次項系數(shù)為1.你知道原方程的正確答案是多少嗎?答案 由小華解得的兩根可知原方程的常數(shù)項為23=6，由小麗解得的兩根可知原方程的一次項系數(shù)為-(-6+1）5，原方程為x2+5x+6=0.解得x1=-2,x2=-3.例3當m為何值時，關于x的一元二次方程x2一(5m2+4m-1)x+m=0的兩根互為相反數(shù)?思路圖示兩根互為相反數(shù)求出m保留小于0的解.答案根據(jù)題意,得由得m1=-1,m2=.由得m=不合題意，舍去,因此m=-1時，方程的兩根互為相反數(shù).類題突破3已知關于x的一元二次方程x2-px+q=0的兩根是x1=1,x2=-2,則二次三項式x2-px+q可分解為（ ）A.(x-1)(x+2) B.(x-1)(x-2) C.(x+1)(x-2) D.(x+1)(x+2)答案A點撥由于x1=l,x2=-2是x2-px+q=0的兩個根，所以x2-px+q=(x-1)(x+2).故選A.也可以由根與系教的關系得一(一p)=x1+x2，q=x1x2，于是可求出p=x1+x2=1-2=-1，,q=x1x2=1（-2）=-2，二次三項式為x2+x-2可分解為(x-1)(x+2).重點難點重難點 一元二次方程根與系數(shù)的關系的應用一元二次方程x2+px+q=0(p,q為常數(shù)，p2-4q0)的兩個實數(shù)根為x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q；對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個實數(shù)根為x1，x2，有x1+x2=-，x1x2=。（1） 一元二次方程根與系數(shù)的關系在應用時要注意以下幾點：使用一元二次方程根與系數(shù)的關系時，要先把方程化為一般式,并注意隱含條件a0；一元二次方程根與系數(shù)的關系應用的前提是方程有實數(shù)根，因此在應用時，一定要記住判別式b2-4ac0這一隱含條件；寫x1+x2=-，x1x2=時，不要弄錯符號。(2) 一元二次方程根與系數(shù)的關系主要有如下幾個方面的應用（前兩個是重點）；寫出兩根之和與兩根之積；已知方程的一個根，求另一個根及未知的系數(shù)；不解方程，求方程兩根的對稱式的值，它主要用到如下式子的變形：；，（x1+a）（x2+a）=x1x2+（x1+x2）a+a2等。例1 設方程5x2+4x-3m=0的一個根是1,求方程的另一個根及m的值。解析用根與系數(shù)的關系中兩根之和求出另一個根，再用兩根之積求出m的值，答案設方程的兩個根為x1，x2,其中x1=1，則 解得 所以方程的另一個根是一,m=3。方法歸納此類題也可用方程根的定義，將已知的一根代入原方程，求出來知系數(shù)，再求出另一根。類頤突破1已知整數(shù)系數(shù)方程x2+(m+3)x+2m+3=0有一個正根和一個負根，且正根的絕對值較小,求m的值和方程的根。答案 由題意，m應同時滿足以下三個條件：由,得m-3. 由，得m-，綜合得-3m-，因為m為整數(shù),所以m=-2.把m=-2代人原方程可得x2+x-1=0.解得。點拔 m的值應滿足三個條件：由于方程是整數(shù)系數(shù)，所以m是整數(shù)；方程有異號兩根,即x1x20；正根的絕對值較小，說明x1+x20，由此三個條件確定m的值。規(guī)律總結要使一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個異號根，只需x1x20的條件，因為x1x2=0ac0，也就是說，如果x1x20成立。例2已知關于x的方程x2一2(m-2)x+m2=0，試問:是否存在實數(shù)m,使得方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56,若存在，求出m的值，若不存在.試說明理由。思路圖示2(m-2)2一2m2-56求出m.答案 設存在m且滿足條件，則因為x1+x2=2(m-2),x1x2=m2，所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（m-2）2-2m2=2m2-16m+16，由,得2m2-16m+16=56.即m2-8m-20=0,解得m1=10,m2=-2.由,得4(m-2)2-4m20,解得m1.所以m=10不合題意，舍去,得m=-2.即存在m=-2,使得原方程兩根的平方和等于56.類題突破2已知x1，x2是方程x2+(2a-1)x+a2=0的兩個實數(shù)根,且(x1+2)(x2+2)=11,求a的值。答案x1，x2是方程x2+(2a-1)x+a2=0的兩個實數(shù)根，x1+x2=-(2a-1)=1-2a,x1x2=a2.又(x1+2)(x2+2)=11，x1x2+2(x1+x2)+4=11.x1x2+2(x1+x2)-7=0.a2+2（1-2a）-7=0，即a2-4a-5=0.解得a=-1或a=5.關于x的方程x2+(2a-l)x+a2=0有兩個實數(shù)根，(2a-1)2-4a20,得a.a=5不符合題意，舍去，a=-1. 點撥本題涉及含待定字母的一元二次方程的兩個根，以及與方程兩個根有關的代數(shù)式的值，求待定字母的值，需要考慮三個方面的因素:二次項系數(shù)不為0；判別式大于或等于0；符合已知條件。易錯指導易錯點1 對一元二次方程的根與系數(shù)的關系掌握不好例1 設x1，x2是方程x2+3x-3=0的兩個實數(shù)根，求的值錯解 x1，x2是方程x2+3x-3的兩個實數(shù)根，x1+x2=3,x1x2=-3.則原式=錯因分析 把一元二次方程得兩根之和看作，導致計算過程錯誤.正解 因為x1，x2是方程x2+3x-3的兩個實數(shù)根，x1+x2=-3，x1x2=-3.則原式=糾錯心得 設一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，在應用時要注意兩根之和與兩根之積的關系。 易錯點2利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系時，忽略根的判別式的作用 例2關于x的一元二次方程x2+(k2-4)x+-1=0的兩根互為相反數(shù),求k的值， 錯解由題意得x1+x2=0,即-（k2-4)=0，解得k=士2.錯因分析 在判別的過程中，只根據(jù)根的系數(shù)的關系求解，而沒有考慮到原一元二次方程有兩個根，