§4.2常系數(shù)線性微分方程的解法常微分方程課件高教社王高雄教材配套ppt.pps

4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法,復(fù)值函數(shù)和復(fù)值解 常系數(shù)齊次線性特征方程 常系數(shù)非齊次線性方程比較系數(shù)法 拉普拉斯變換法 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng),復(fù)值函數(shù)和復(fù)值解,設(shè)實(shí)變量t在區(qū)間atb上有實(shí)函數(shù)(t)、(t)， 為虛數(shù)，則可在區(qū)間上定義復(fù)值函數(shù) z (t)= (t)+i(t) ，稱(t)為其實(shí)部, (t)為其虛部。 復(fù)值函數(shù)和實(shí)函數(shù)有同樣的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分及數(shù)乘、函數(shù)和等性質(zhì)。 滿足微分方程(1) 的復(fù)值函數(shù)z(t)稱為方程(1)的復(fù)值解。,復(fù)值函數(shù)性質(zhì),極限 連續(xù) 導(dǎo)數(shù) 微分 積分及函數(shù)和,復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì),設(shè)、為實(shí)數(shù)，t為實(shí)變量，則K= +i 為復(fù)數(shù)，復(fù)指數(shù)函數(shù)定義為 有 稱復(fù)數(shù)K= +i的共軛復(fù)數(shù)為 有 復(fù)指數(shù)函數(shù)有性質(zhì)(K、K1 、 K2 為復(fù)數(shù)),復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì),證,實(shí)系數(shù)線性微分方程的復(fù)值解,定理8 對(duì)實(shí)系數(shù)函數(shù)微分方程(*)的復(fù)值解的實(shí)部、虛部及其共軛復(fù)值函數(shù)均是原方程(*)的解。 定理9 設(shè)非齊函數(shù)為復(fù)值函數(shù)：f(t)=u(t)+iv(t) 如復(fù)值函數(shù)x=U(t)+iV(t)是微分方程(*)的復(fù)值解，則實(shí)函數(shù)U(t)、V(t)分別是實(shí)微分方程的解：,常系數(shù)齊次線性特征方程,系數(shù)為實(shí)常數(shù)時(shí)的常系數(shù)齊次線性方程 可以尋求指數(shù)函數(shù)形式的解 代入方程右端可得到 其中 是的n次多項(xiàng)式。 稱為微分方程的特征方程。特征方程的根稱為特征根。,(a)實(shí)單特征根,(a) 為(實(shí))單根時(shí)，齊次線性方程有解 et 設(shè)1, 2, n是特征方程的n個(gè)相異或相同但非重的實(shí)根，則相應(yīng)的微分方程有n個(gè)解 因 i j (i j),行列式 即n個(gè)解在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)，構(gòu)成的基本解組。 方程有通解,(b)復(fù)特征根,(b)代數(shù)方程有復(fù)根 ,因方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)， 復(fù)根將成對(duì)共軛地出現(xiàn)，即 也是特征根 有兩共軛復(fù)值解 對(duì)應(yīng)的兩實(shí)值解：,(c)(1)重 0 實(shí)根,(c) = 1為k重實(shí)根時(shí)，它表示為 (1) 當(dāng)1=0時(shí)，特征方程有因子k ，于是 即特征方程的形狀為 對(duì)應(yīng)的微分方程為 易見(jiàn)它有k個(gè)解 1, t, t2, , tk. 且它們是線性無(wú)關(guān)的。 因此特征方程的k重零根對(duì)應(yīng)微分方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)的解: 1, t, t2, , tk-1.,(c)(2)重非0實(shí)根,(2) = 10為k重實(shí)根時(shí)，作變量變換 因 有 于是微分方程化為 其中b1,bn仍為常數(shù)。相應(yīng)的特征方程為 直接計(jì)算易得 即 且 因此F()=0的根對(duì)應(yīng)于G()=0的根，且重?cái)?shù)相同。 問(wèn)題化為前面已討論的情形。,(續(xù)) (c)(2)重非0實(shí)根,已知特征方程 G()=0 的k1重根1=0對(duì)應(yīng)于微分方程L1=0的k1個(gè)解y=1, t, t2, , tk-1。因此，對(duì)應(yīng)于特征方程F()=0的k1重根1，微分方程L=0有個(gè)解 同樣，假設(shè)特征方程L=0的其他根2, 3, m的重次依次為k2, k3, km ，且 則微分方程L=0對(duì)應(yīng)地有解,(續(xù)) (c)(2)重非0實(shí)根,證 全體個(gè)解構(gòu)成微分方程L=0的基本解組。 反證法。假設(shè)這些函數(shù)線性相關(guān)，則有 設(shè)多項(xiàng)式Pm(t)不恒為零。將上式除于 e1t ，并對(duì)t微分k1次，可得 其中 Qr(t)與Pr(t)次數(shù)相同且Qr(t)不恒為零。等式類似，但項(xiàng)數(shù)減少了。,(續(xù)) (c)(2)重非0實(shí)根,進(jìn)一步對(duì)施于同樣手續(xù)，除于e(2-1) t 并微分k2次， 則得到項(xiàng)數(shù)更少的類似多項(xiàng)式。繼續(xù)經(jīng)m-1次后將得到等式 這不可能因 其中Wm是次數(shù)低于Pm(t)的次數(shù)的多項(xiàng)式。 而Rm(t)與Pm(t)次數(shù)相同且Rm(t)不恒為零。 假設(shè)函數(shù)線性相關(guān)引出矛盾 證明了全部n個(gè)解線性無(wú)關(guān)且構(gòu)成微分方程的基本解組,(d) k重共軛復(fù)根時(shí),= +i 微分方程有k對(duì)共軛復(fù)值解 或?qū)?yīng)的2k對(duì)實(shí)值解： 類似的，對(duì)含有單實(shí)根、共軛復(fù)根、重實(shí)根及重共軛復(fù)根的混合情形， 可由前面討論過(guò)的分別進(jìn)行處理，求得對(duì)應(yīng)其特征根的微分方程的解，且這些解線性無(wú)關(guān)。 當(dāng)所有根計(jì)及其重次總和為微分方程的次數(shù)時(shí)，這些解構(gòu)成微分方程的基本解組。,例1 求方程 的通解,解 特征方程 4-1=0的根為 1=1, 2=-1, 3=i, 4=-i. 有兩個(gè)單實(shí)根和一對(duì)單共軛復(fù)根， 故方程的通解為 這里c1, c2, c3, c4,為任意常數(shù)。,例2 求解方程,解 特征方程3+1=0有根 通解為 其中c1, c2, c3為任意常數(shù)。,例3 求方程 的通解,解 特征方程 的根為三重根=1 。 因此方程有通解 其中c1, c2, c3為任意常數(shù)。,例4 求解方程,解 特征方程 的根為=i重根。 方程有4實(shí)值解 得通解 其中c1, c2, c3 , c4為任意常數(shù)。,歐拉方程,稱為歐拉方程。其中a1,a2,an 為實(shí)常數(shù)。 引進(jìn)自變量變換 x=et, t=ln x (x=-et同樣，取 t=ln |x| ) 有 代入歐拉方程得常系數(shù)齊次線性微分方程,例5 求解方程,解 令x=et ,方程變?yōu)?特征方程為 有重根=1,通解為 原方程的通解為,常系數(shù)非齊次線性方程比較系數(shù)法,常系數(shù)非齊次線性方程 可按非齊項(xiàng)f(t)的類型用比較系數(shù)法求方程特解。 類型： 特解為 其中k為特征方程F()=0的根的重?cái)?shù)。 當(dāng)不是特征根時(shí)k=0;單根時(shí)k=1。 可以將特解代入方程比較t的同冪次項(xiàng)系數(shù)確定Bi。,例6 求方程 的通解,解 先求對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程 的通解。其特征方程為2-2-3=0有根1=3,2=-1. 齊次方程有通解 再求非齊次方程的一個(gè)特解，這里f(t)=3t+1, = 0。 因 = 0不是特征方程的根，k=0。 特解形式為 x=A+Bt，其中A,B為待定常數(shù)。 將x代入原方程， 比較t的同冪次系數(shù)得 解為 即 原方程的通解為,例7 求方程 的通解,解 特征方程為3+32+3+1=0，有三重根1,2,3=1 齊次方程有通解 再求非齊次方程 的一個(gè)特解， 特解形式為 將特解代入原方程 比較系數(shù)得 從而 故原方程的通解為,b) 類型,其中,為常數(shù)，A(t),B(t)是的最髙次數(shù)為m次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。 設(shè)= +i為特征方程F()=0的k重根。 則方程有特解 這里P(t),Q(t)為待定的的最髙次數(shù)為m次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。 將特解代入方程，比較t的同冪次系數(shù)， 可得一系列線性方程，解之得特解。 注意：待定系數(shù)法的關(guān)鍵是正確寫(xiě)出特解形式! P(t),Q(t)應(yīng)為m次完全多項(xiàng)式。,例8 求方程 的通解,解 特征方程為2+4+4=( +2)2=0，有重根1,2=-2 齊次方程有通解 求非齊次方程 的一個(gè)特解， 因=2i不是特征方程的根，特解形式為 將特解代入原方程 比較系數(shù)得 即 故原方程的通解為,拉普拉斯變換法,實(shí)或復(fù)值連續(xù)函數(shù) f(t) 當(dāng) t0 滿足 | f(t)|上有定義。 對(duì)常系數(shù)非齊線性方程 及初始條件 設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)且滿足原函數(shù)條件。 則方程的解 x(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)均是原函數(shù)。,(續(xù)) 拉普拉斯變換法,記 有 如對(duì)方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，利用線性性質(zhì)可得關(guān)系式,(續(xù)) 拉普拉斯變換法,即 或 A(s)X(s)=F(s)+B(s) 其中A,B均為已知多項(xiàng)式。因此有 這是方程滿足初始條件的解的象函數(shù)X(s)。 再利用拉普拉斯反變換公式可得方程的解x(t)。 此即為拉普拉斯變換方法。,拉普拉斯變換和反變換表,例9 求方程 滿足初值條件 x(0)=0 的解,解 對(duì)方程兩端施行拉普拉斯變換， 得到象函數(shù)方程 由初值條件x(0)=0得 查拉普拉斯變換表知 和 的原函數(shù)分別為 e2t 和 et 利用線性性質(zhì)，求得X(s)的原函數(shù)為 這就是所要求的解。,例10 求解方程,解 先令 = t-1將方程化為 再對(duì)方程兩端實(shí)行拉普拉斯變換，利用初值條件得到 即 查拉普拉斯變換表得 從而 此即為所要求的解。,例11 求解方程,解 對(duì)方程兩端施行拉普拉斯變換得 即 把上式右端分解為部分分式 各分式分別查拉普拉斯變換表， 利用線性性質(zhì)，求得的原函數(shù)即方程的解,1-1 例2 數(shù)學(xué)擺 阻力與近似方程,近似方程 令,如擺在一個(gè)粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)，阻力系數(shù)為，則方程為:,則數(shù)學(xué)擺近似方程,帶粘性介質(zhì)的數(shù)學(xué)擺近似方程,數(shù)學(xué)擺方程,質(zhì)點(diǎn)線性振動(dòng),質(zhì)點(diǎn)線性振動(dòng) (1) 無(wú)阻尼 (2) 有阻尼 (a)小阻尼 (2) 大阻尼 (3) 臨界阻尼 (3) 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)(= 0) (a) p (b) p= (4) 小阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)非線性振動(dòng) 第6章討論,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng),振動(dòng)-鐘擺，彈簧，樂(lè)器，機(jī)械，橋梁，電路. (1) 數(shù)學(xué)擺的無(wú)阻尼微小自由振動(dòng)方程為 或 特征方程為2+2 = 0，特征根為共軛復(fù)根 1,2= i。 通解為 令 則通解式可改寫(xiě)為 即,(1) 數(shù)學(xué)擺的無(wú)阻尼微小自由振動(dòng),從通解式 中可看出，不管初狀態(tài) 為何值， 擺的運(yùn)動(dòng)總一 個(gè)正弦 函數(shù)，且是周期 函數(shù)。 如圖（4.1） 這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 稱為圓頻率，A為振幅， 為初相位。 周期為 ，頻率為,(1) 數(shù)學(xué)擺的無(wú)阻尼微小自由振動(dòng),數(shù)學(xué)擺的振幅A、初相位均依賴于初值條件。 數(shù)學(xué)擺的周期只依賴于擺長(zhǎng)l,與初值無(wú)關(guān)。 當(dāng)把數(shù)學(xué)擺移至位置= 0即 再松開(kāi)時(shí)其初值條件為 將上式代入通解得 初相位 ，振幅A= 0 。 因此，所求的特解為,(2) 有阻尼自由振動(dòng),有阻尼自由振動(dòng)方程為 特征方程為 有特征根 根據(jù) n 大于、小于和等于分為小阻尼、大阻尼和臨界阻尼三種情況進(jìn)行討論。,(a) 小阻尼n時(shí),小阻尼n時(shí)特征方程有共軛復(fù)根 通解為 和前面(1)一樣可將上通解改寫(xiě)為 有小阻尼時(shí)擺的運(yùn) 動(dòng)已不是周期的， 其振幅逐漸減小。 按=Ae-nt的變化減小， 減小的周期為 當(dāng)t時(shí)(t)擺動(dòng)地 (振動(dòng)著)趨于零。如圖,(b) 大阻尼n時(shí),大阻尼時(shí)：這時(shí)特征方程有兩不同負(fù)實(shí)根210 通解為 從式中可知擺的運(yùn)動(dòng)也不是周期的， 且因方程 最多只有一個(gè)解，故擺最多只通過(guò)平衡位置一次； 同時(shí)由 知當(dāng)t足夠大時(shí)， d/dt與c1的符號(hào)相反， 即經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后， 擺單調(diào)地趨于平衡 位置。如圖(4.3),(c) 臨界阻尼 n =時(shí),臨界阻尼n =時(shí)：特征方程有重根2=1=-n 方程的通解為 擺的運(yùn)動(dòng)也不是周期的，其圖形和圖(4.3)類似，當(dāng)t時(shí)(t)趨于零。擺不具有振動(dòng)的性質(zhì)。 值n =稱為阻尼的臨界值，正好可以抑制振動(dòng)。 實(shí)際上，當(dāng)n時(shí)如圖(4.3)，擺不振動(dòng)； 而當(dāng)n時(shí)如圖(4.2)，擺雖衰減但仍振動(dòng)。,(3) 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng),無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程為 令 其中H為已知常數(shù)，p為外力圓頻率， 此時(shí)上式變?yōu)?方程對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為 這里A,為任意常數(shù)。下面求非齊方程的特解。,(3) (a)無(wú)阻尼p,(a) p 有形如 的解，這里M,N是待定常數(shù)。將上式代入方程，比較同類項(xiàng)系數(shù)，可得 最后得方程的通解為 通解中包括無(wú)阻尼自由振動(dòng)的項(xiàng)(固有振動(dòng)) 和外力引發(fā)的頻率相同、振幅不同的項(xiàng)(強(qiáng)迫振動(dòng)) 當(dāng)外力的圓頻率越接近固有圓頻率時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的振幅越大。,(3) (b)無(wú)阻尼p=,當(dāng)p=時(shí), 有形如 的解。將它代入方程，比較同類項(xiàng)系數(shù)，可得 方程的通解為 隨時(shí)間的增大，擺的偏離將無(wú)限增加， 這種現(xiàn)象稱為共振現(xiàn)象。 但實(shí)際上，當(dāng)擺的偏離將無(wú)限增加到一定程度時(shí)，方程已不一定能描述擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)了。,(4) 小阻尼n強(qiáng)迫振動(dòng),小阻尼n 強(qiáng)迫振動(dòng)：方程為 由(2)(a)有阻尼自由振動(dòng)情形知方程對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為 這里A,為任意常數(shù)， 現(xiàn)求方程的一個(gè)特解。此特解有形狀 將上式代入方程，比較同類項(xiàng)系數(shù),(續(xù)) (4) 小阻尼n強(qiáng)迫振動(dòng),得到 如令 其中 則特解可寫(xiě)為 因此程的通解為 其中,(續(xù)) (4) 小阻尼n強(qiáng)迫振動(dòng),通解中由有阻尼自由振動(dòng)的固有振動(dòng)項(xiàng)和外力引發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)兩部分疊加而成。