高中數(shù)學第三章3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例學案（含解析）新人教A版.docx

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例學習目標1.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題.2.能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.3.了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗和調(diào)整的必要性知識點一幾類已知函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)型模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)知識點二應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程用函數(shù)模型解應(yīng)用題的四個步驟(1)審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建模將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應(yīng)的數(shù)學模型；(3)求模求解數(shù)學模型，得出數(shù)學模型；(4)還原將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題1實際問題中兩個變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系()2用來擬合散點圖的函數(shù)圖象一定要經(jīng)過所有散點()3函數(shù)模型中，要求定義域只需使函數(shù)式有意義()4用函數(shù)模型預測的結(jié)果和實際結(jié)果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了()類型一利用已知函數(shù)模型求解實際問題例1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h的速度勻速行駛試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用解因為火車勻速運動的時間為(27713)120 (h)，所以0t.因為火車勻速行駛th所行駛的路程為120tkm，所以，火車運行總路程S與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是S13120t.2h內(nèi)火車行駛的路程S13120233(km)反思與感悟在實際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是已知函數(shù)模型，這時可借助待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)解題需要研究函數(shù)性質(zhì)跟蹤訓練1如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米則水位下降1米后，水面寬_米考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用答案2解析以拱頂為原點，過原點與水面平行的直線為x軸，建立平面直角坐標系(如圖)，則水面和拱橋交點A(2，2)，設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為yax2(a0)，則2a22，a，yx2.當水面下降1米時，水面和拱橋的交點記作B(b，3)，將B點的坐標代入到y(tǒng)x2中，得b，因此水面寬2米類型二自建確定性函數(shù)模型解決實際問題例2某住宅小區(qū)為了營造一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個八邊形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成面積為200米2的十字形區(qū)域，且計劃在正方形MNPK上建一座花壇，其造價為4200元/米2，在四個相同的矩形上(圖中的陰影部分)鋪花崗巖路面，其造價為210元/米2，并在四個三角形空地上鋪草坪，其造價為80元/米2.(1)設(shè)AD的長為x米，試寫出總造價Q(單位：元)關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)問：當x取何值時，總造價最少？求出這個最小值考點函數(shù)模型的綜合應(yīng)用題點函數(shù)模型中的最值問題解(1)設(shè)AMy，ADx，則x24xy200，y.故Q4200x22104xy802y2380004000x2(0x10)(2)令tx2，則Q380004000，且0t200.函數(shù)ut在(0,10上單調(diào)遞減，在10,200)上單調(diào)遞增，當t10時，umin20.故當x時，Qmin118000(元)反思與感悟自建模型時主要抓住四個關(guān)鍵：“求什么，設(shè)什么，列什么，限制什么”求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務(wù)設(shè)什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設(shè)核心因素為自變量列什么就是把問題已知條件用所設(shè)變量表示出來，可以是方程、函數(shù)、不等式等限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等跟蹤訓練2某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛旅游點規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入(日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點分段函數(shù)模型的應(yīng)用解(1)當3x6時，y50x115，令50x1150，解得x2.3.又因為xN，所以3x6，且xN.當6x20，且xN時，y503(x6)x1153x268x115，綜上可知yf(x)(2)當3x6，且xN時，因為y50x115是增函數(shù)，所以當x6時，ymax185元當6x20，且xN時，y3x268x11532，所以當x11時，ymax270元綜上所述，當每輛自行車日租金定為11元時才能使日凈收入最多，為270元類型三建立擬合函數(shù)模型解決實際問題例3某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資金額與所獲純利潤列成下表.投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.300.590.881.201.511.79該經(jīng)營者準備第七個月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知A，B兩種商品各投入多少萬元才合算，請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大純利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者第七個月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)考點函數(shù)擬合問題題點據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型解以投資額為橫坐標，純利潤為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖，如圖所示觀察散點圖可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進行模擬，如圖所示取(4,2)為最高點，則ya(x4)22(a0)，再把點(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進行模擬，如圖所示設(shè)ykxb(k0)，取點(1,0.30)和(4,1.20)代入，得解得所以y0.3x.設(shè)第七個月投入A，B兩種商品的資金分別為x萬元，(12x)萬元，總利潤為W萬元，那么WyAyB0.15(x4)220.3(12x)，所以W0.15(x3)20.1593.2.當x3時，W取最大值，約為4.6萬元，此時B商品的投資為9萬元故該經(jīng)營者下個月把12萬元中的3萬元投資A種商品，9萬元投資B種商品，可獲得最大利潤，約為4.6萬元反思與感悟在建立和應(yīng)用函數(shù)模型時，準確地把題目要求翻譯成數(shù)學問題非常重要，另外實際問題要注意實際意義對定義域、取值范圍的影響跟蹤訓練3某商場經(jīng)營一批進價為每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價x元與日銷量y件之間有如下關(guān)系：銷售單價x(元)30404550日銷售量y(件)6030150(1)在所給坐標系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點，并確定x與y的一個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤考點函數(shù)擬合問題題點據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型解實數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點如圖所示，由圖可知y是x的一次函數(shù)(1)設(shè)f(x)kxb，則解得所以f(x)3x150,30x50，檢驗成立(2)P(x30)(3x150)3x2240x4500,30x50，所以對稱軸x4030,50答當銷售單價為40元時，所獲利潤最大1一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是()A分段函數(shù)B二次函數(shù)C指數(shù)函數(shù)D對數(shù)函數(shù)考點函數(shù)擬合問題題點函數(shù)擬合問題答案A2若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是()ABy(0.9576)100xCyxD考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案A3某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表：x123y138則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是()Ay2x1Byx21Cy2x1Dy1.5x22.5x2考點函數(shù)擬合問題題點函數(shù)擬合問題答案D4某同學最近5年內(nèi)的學習費用y(千元)與時間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是()AyaxbByax2bxcCyaexbDyalnxb考點函數(shù)擬合問題題點函數(shù)擬合問題答案B5某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？考點函數(shù)模型的綜合應(yīng)用題點函數(shù)模型中的最值問題解設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元，則R(x)40xy40x48x800088x8000(x220)21680(0x210)R(x)在0,210上是增函數(shù)，當x210時，R(x)max(210220)216801660(萬元)年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1660萬元解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題一、選擇題1在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y2x2By(x21)Cylog2xDy考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用答案B解析由題中表格可知函數(shù)在(0，)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2(2017湖南衡陽、長郡中學等十三校聯(lián)考)某大型民企為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)()A2017年B2018年C2019年D2020年考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案D解析設(shè)從2016年起，過了n(nN*)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元，則130(112%)n200，則n3.8，由題意取n4，則n20162020.故選D.3隨著我國經(jīng)濟的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預計該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長率增長，那么2021年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為()A30001.067元B30001.067元C30001.068元D30001.068元考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案B解析根據(jù)題意，逐年歸納，總結(jié)規(guī)律建立關(guān)于年份的指數(shù)型函數(shù)模型，設(shè)經(jīng)過x年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為y元，依題意有y30001.06x，因為2014年年底到2021年年底經(jīng)過了7年，故把x7代入，即可求得y30001.067.故選B.4某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應(yīng)為()Ax15，y12Bx12，y15Cx14，y10Dx10，y14考點函數(shù)模型的應(yīng)用題點一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用答案A解析由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180(8y0)(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)求羊群年增長量的最大值；(3)當羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍考點函數(shù)模型的綜合應(yīng)用題點函數(shù)模型中的最值問題解(1)根據(jù)題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為，故空閑率為1，由此可得ykx(0xm)(2)對原二次函數(shù)配方，得y(x2mx)2.即當x時，y取得最大值.(3)由題意知為給羊群留有一定的生長空間，則實際畜養(yǎng)量與年增長量的和小于最大畜養(yǎng)量，即0xym.因為當x時，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k8.57.125，知L(t)max9.125.從而第5周每件銷售利潤最大，最大值為9.125元四、探究與拓展14某商場在國慶促銷期間規(guī)定，商場內(nèi)所有商品按標價的80%出售，同時，當顧客在該商場內(nèi)消費滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：消費金額(元)的