高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓課時(shí)提升作業(yè)（十一）2.1.2.2橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用檢測(cè).docx

課時(shí)提升作業(yè)(十一)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.橢圓x216+y29=1中,以點(diǎn)M(-1,2)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為()A.916B.932C.964D.-932【解析】選B.設(shè)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-2,設(shè)直線為y=k(x+1)+2,聯(lián)立得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.所以x1+x2=,所以=-2.解得k=.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn),則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A.32B.26C.27D.42【解析】選C.設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),聯(lián)立得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由=0得a2+3b2-16=0,而b2=a2-4代入得a2+3(a2-4)-16=0解得a2=7,所以a=.所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,選C.【補(bǔ)償訓(xùn)練】直線l:y=x+a與橢圓x24+y2=1相切,則a的值為()A.5B.5C.5D.5【解析】選C.用判別式等于零求解.3.若點(diǎn)(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則yx-2的最小值為()A.1B.-1C.-233D.以上都不對(duì)【解析】選C.表示橢圓上的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(2,0)連線的斜率.不妨設(shè)=k,則過(guò)定點(diǎn)(2,0)的直線方程為y=k(x-2).由得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.令=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,得k=,所以kmin=-,即的最小值為-.4.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1【解析】選D.由橢圓+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓+=1(ab0)交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,=-1,則b2+ a2= a2b2,b2+ a2= a2b2,由-得b2(-)+ a2(-)=0,化簡(jiǎn)得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直線的斜率為k=,即=.因?yàn)閎2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故橢圓方程為+=1.5.若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)(a,b)的直線與橢圓x29+y24=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.需根據(jù)a,b的取值來(lái)確定【解題指南】根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),可推斷點(diǎn)(a,b)是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn),根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,進(jìn)而可知點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn),進(jìn)而判斷可得答案.【解析】選C.因?yàn)橹本€ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),所以原點(diǎn)到直線ax+by+4=0的距離d=2,所以a2+b2b0).因?yàn)閑=22,所以=22.由ABF2的周長(zhǎng)為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.答案:+=18.(2014江西高考)過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B,若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為.【解題指南】中點(diǎn)弦問(wèn)題運(yùn)用點(diǎn)差法求解.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則即+=0,因?yàn)?-,所以a2=2b2,故c2=a2,即e=22.答案:22三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)求直線被橢圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)直線的方程.【解題指南】求m的取值范圍,從方程角度看,需將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程解的判斷,而求弦最長(zhǎng)時(shí)的直線方程,就是將弦長(zhǎng)表示成關(guān)于m的函數(shù),求出當(dāng)弦長(zhǎng)最大時(shí)的m值,從而確定直線方程.【解析】(1)由消去y得,5x2+2mx+m2-1=0,因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn),所以=4m2-20(m2-1)0,解得-52m52.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知5x2+2mx+m2-1=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-m,x1x2=.所以|AB|=.因?yàn)?4m2-20(m2-1)0,所以-52mb0)的半焦距為c,原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)c,0,0,b的直線的距離為12c.(1)求橢圓的離心率.(2)如圖,是圓:x+22+y-12=52的一條直徑,若橢圓經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),求橢圓的方程.【解析】(1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到直線的距離d=,由d=c,得a=2b=2,解得離心率=.(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=.易知,AB不與x軸垂直,設(shè)其直線方程為y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故橢圓E的方程為+=1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.設(shè)F1,F2是橢圓C:x28+y24=1的焦點(diǎn),在曲線C上滿足=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()A.0個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【解析】選B.因?yàn)?0,所以PF1PF2.所以點(diǎn)P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn),且半徑為c=2.又b=2,所以點(diǎn)P為短軸的端點(diǎn),有2個(gè).2.(2014福建高考)設(shè)P,Q分別為圓x2+y-62=2和橢圓x210+y2=1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A.52B.46+2C.7+2D.62【解題指南】?jī)蓜?dòng)點(diǎn)問(wèn)題,可以化為一動(dòng)一靜,因此考慮與圓心聯(lián)系.【解析】選D.圓心M(0,6),設(shè)橢圓上的點(diǎn)為Q(x,y),則=,當(dāng)y=-1,1時(shí),=5.所以=5+=6.二、填空題(每小題5分,共10分)3.如圖,把橢圓x225+y216=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份,過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P7七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+|P7F|=.【解題指南】結(jié)合橢圓的對(duì)稱性解題,注意定義的靈活應(yīng)用.【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F,由橢圓的對(duì)稱性知,|P1F|=|P7F|,|P2F|=|P6F|,|P3F|=|P5F|,所以原式=(|P7F|+|P7F|)+(|P6F|+|P6F|)+(|P5F|+|P5F|)+(|P4F|+|P4F|)=7a=35.答案:354.(2014遼寧高考)已知橢圓C:x29+y24=1,點(diǎn)M與點(diǎn)C的焦點(diǎn)不重合,若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則AN+BN=.【解析】根據(jù)題意,橢圓的左右焦點(diǎn)為F1(-,0),F2(,0),由于點(diǎn)M的不確定性,不妨令其為橢圓的左頂點(diǎn)M(-3,0),線段MN的中點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)H(0,2),則M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A(-2+3,0),B(2+3,0),而點(diǎn)N(3,4),據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得+=+=12.答案:12【誤區(qū)警示】在無(wú)法明確相關(guān)點(diǎn)的具體情況的時(shí)候,可以取特殊情形處理問(wèn)題.避免對(duì)一般情況處理的復(fù)雜性.三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2015全國(guó)卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22,點(diǎn)(2,2)在C上.(1)求C的方程.(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸, l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【解析】(1)由題意有a2-b2a=,+=1,解得a2=8,b2=4,所以C的方程為+=1.(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.xM=,yM=kxM+b=.于是直線OM的斜率kOM=-,即kOMk=-.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.6.(2015山東高考)平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,且點(diǎn)3,12在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(i)求|OQ|OP|的值;(ii)求ABQ面積的最大值.【解題指南】(1)由離心率e和點(diǎn)可求a,b,c.(2)將直線y=kx+m與橢圓E和橢圓C聯(lián)立消y,再根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解面積的最大值.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上,所以+=1.又因?yàn)闄E圓C的離心率為e=,所以2c=a,4c2=3a2,結(jié)合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即橢圓C的方程為+y2=1.(2)(i)橢圓E:+=1.設(shè)P(x0,y0)是橢圓C上任意一點(diǎn),則x02+4y02=4.直線OP:y=x與橢圓E:+=1聯(lián)立消y得x2=16,x2=4x02,所以Q(-2x0,-2y0).即=2.(ii)因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在直線y=kx+m上,所以y0=kx0+m,點(diǎn)Q(-2x0,-2y0)到直線y=kx+m的距離為d=.將y=kx+m與+=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0可得m24+16k2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,所以=.直線y=kx+m與y軸交點(diǎn)為(0,m),所以O(shè)AB面積SOAB=|m|=,令=t,則SOAB=2=2.將y=kx+m與+y2=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0可得m21+4k2.由可知0b0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為33,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為433.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若+=8,求k的值.【解析】(1)設(shè)F(-c,0)(c0),由=33,知a=c,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有+=1,解得y=6b3,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1.(2)設(shè)點(diǎn)C(