(好資料)2007年高考“數(shù)列”題--高考數(shù)學(xué)試題全解

2007年高考“數(shù)列”題1(全國(guó)) 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為解：，即解得的公比已知數(shù)列中，（）求的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列中，證明：，解：（）由題設(shè)：， 所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即的通項(xiàng)公式為，（）用數(shù)學(xué)歸納法證明（）當(dāng)時(shí)，因，所以，結(jié)論成立（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，也即當(dāng)時(shí)，又，所以也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立根據(jù)（）和（）知，2(全國(guó)II) 已知數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則 解：已知數(shù)列的通項(xiàng)an=5n+2，其前n項(xiàng)和為Sn，則=。設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明，其中為正整數(shù)解：（1）由整理得又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得（2）方法一：由（1）可知，故那么， 又由（1）知且，故，因此為正整數(shù)方法二：由（1）可知，因?yàn)椋杂煽傻?，即兩邊開平方得即為正整數(shù)3（北京卷）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第 項(xiàng)解：數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中數(shù)值最小的項(xiàng)應(yīng)是最靠近對(duì)稱軸的項(xiàng)，即n=3，第3項(xiàng)是數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)。數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式解：（I），因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，解得或當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時(shí)，由于，所以又，故當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以4（天津卷）設(shè)等差數(shù)列的公差不為0.若是與的等比中項(xiàng)，則( )A.2B.4C.6D.8解：是與的等比中項(xiàng)可得(*)，由為等差數(shù)列，及代入(*)式可得.故選B.在數(shù)列中N其中.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(III)證明存在N使得對(duì)任意N均成立.【分析】(I)解法一：，.由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)時(shí)等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即 那么，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何N都成立.解法二：由N可得所以為等數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0.故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為(II)解：設(shè) 當(dāng)時(shí)，式減去式，得這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng) 時(shí)，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和(III)證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大.下面證明：由知要使式成立，只要因?yàn)樗允匠闪? 因此，存在使得對(duì)任意N均成立.【考點(diǎn)】本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.5(上海卷) 近年來(lái)，太陽(yáng)能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快2002年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670兆瓦，年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為34%以后四年中，年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率逐年遞增2%（如，2003年的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為36%） （1）求2006年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量（結(jié)果精確到0.1兆瓦）； （2）目前太陽(yáng)電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問(wèn)題是市場(chǎng)安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量，2006年的實(shí)際安裝量為1420兆瓦假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平（即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%），這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到多少（結(jié)果精確到0.1%）？解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率依次為 ，則2006年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量為 (兆瓦) （2）設(shè)太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率為，則解得 因此，這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，即（），我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列就是“對(duì)稱數(shù)列”（1）設(shè)是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，依次寫出的每一項(xiàng)；（2）設(shè)是項(xiàng)數(shù)為(正整數(shù))的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列記各項(xiàng)的和為當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？并求出的最大值；（3）對(duì)于確定的正整數(shù)，寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的“對(duì)稱數(shù)列”，使得依次是該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求其中一個(gè)“對(duì)稱數(shù)列”前項(xiàng)的和解：（1）設(shè)的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為 （2）， ， 當(dāng)時(shí)，取得最大值的最大值為626 （3）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是： ； ； ； 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，6（重慶卷）若等差數(shù)列的前三項(xiàng)和且，則等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 6解：由可得 選 A設(shè)為公比q1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則_.解：和是方程的兩根，故有： 或（舍）。 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且（1）求的通項(xiàng)公式；(5分)（2）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前n項(xiàng)和，求證：. (7分)（I）解：由，解得或，由假設(shè)，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)為（II）證法一：由可解得；從而因此令，則因，故特別地，從而即證法二：同證法一求得及，由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時(shí)，不等式成立由此不等式有證法三：同證法一求得及令，因因此從而證法四：同證法一求得及下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，因此，結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論當(dāng)時(shí)成立，即則當(dāng)時(shí)，因故從而這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立綜上對(duì)任何成立7（遼寧卷）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）A63B45 C36D27解： 由等差數(shù)列性質(zhì)知S3、S6-S3、S9-S6成等差數(shù)列，即9，27，S成等差，所以S=45，選B已知數(shù)列，與函數(shù)，滿足條件：.（I） 若，且存在，求的取值范圍,并求（用表示）；（II）若函數(shù)為上的增函數(shù)，證明對(duì)任意， ()解法一：由題設(shè)知得又已知,可得4分由 是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為.于是又存在，可得01,所以-2t2且8分解法二.由題設(shè)知tbn+1=2bn+1,且可得4分由可知,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.由 可知，若存在，則存在.于是可得01,所以-2t2且=28分解法三:由題設(shè)知tbn+1=2bn+1,即 于是有 -得4分由所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，于是（b2-b1）+2b.又存在，可得01,所以-2t2且8分()證明：因?yàn)?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí)，由f(x)為增函數(shù),且1,得1, 1, ，即，結(jié)論成立. 10分（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即.由f(x)為增函數(shù)，得f(),即,進(jìn)而得f(),即.這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.根據(jù)（1）和（2）可知，對(duì)任意的.12分8（江蘇卷）已知 是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）若是大于的正整數(shù)，求證：；（4分）（2）若是某個(gè)正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；（8分）（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4分）解：設(shè)的公差為，由，知，（）（1）因?yàn)?，所以，所以?），由，所以解得，或，但，所以，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以是整數(shù)，即是整數(shù)，設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可，所以，若，則，那么，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，只要考慮的情況，因?yàn)椋?，因此是正整?shù)，所以是正整數(shù)，因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為與數(shù)列的第項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立。（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有2設(shè)，所以2，令，則，因?yàn)?，所以，所以，即存在使得中有三?xiàng)成等差數(shù)列。9(廣東卷) 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，第k項(xiàng)滿足，則k= （A）9 （B）8 （C）7 （D）6解：a1=S1= -8，而當(dāng)n2時(shí)，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式對(duì)于n=1也成立。要滿足5ak8,只須52k-108，從而有k0），因此，歷年所交納的儲(chǔ)務(wù)金數(shù)目a1，a2，是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō)，如果固定年利率為r（r0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1（1r）n1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2（1r）n2，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.（）寫出Tn與Tn-1（n2）的遞推關(guān)系式；（）求證：TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列.解： （）我們有（），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 ，在式兩端同乘，得，得即如果記，則其中是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列12(湖南卷) 已知（）是曲線上的點(diǎn)，是數(shù)列 的前項(xiàng)和，且滿足，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)?，所?于是 由得 于是 由得， 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立且即所求的取值集合是（III）解法一：弦的斜率為任取，設(shè)函數(shù)，則記，則，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以時(shí)，從而，所以在和上都是增函數(shù)由（II）知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，取，因?yàn)?，所以取，因?yàn)?，所以所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)，所以，故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增13（湖北卷）若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解： 由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即 即公比不一定為， 則命題乙不成立，故選B已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A2B3C4D5解： 由等差數(shù)列的前項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得 ，故時(shí)，為整數(shù)。故選D14（江西卷）已知數(shù)列對(duì)于任意，有，若，則解：由題意得，填4設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有（1）求，；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)解：（1）據(jù)條件得 當(dāng)時(shí)，由，即有，解得因?yàn)闉檎麛?shù)，故當(dāng)時(shí)，由，解得，所以（2）方法一：由，猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由得因?yàn)闀r(shí)，所以，所以又，所以故，即時(shí)，成立由1，2知，對(duì)任意，（2）方法二：由，猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由得即由左式，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則于是又由右式，則因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則，所以又因時(shí)，為正整數(shù)，則據(jù)，即時(shí)，成立由1，2知，對(duì)任意，15（山東卷）設(shè)數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：(I) 驗(yàn)證時(shí)也滿足上式，(II) ， ， 16(陜西卷) 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2,S3n=14,則S40等于（A）80（B）30 (C)26 (D)16解：選B已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列ak的前k項(xiàng)和為Sk,且SkN*),其中a1=1.()求數(shù)列ak的通項(xiàng)公式;()對(duì)任意給定的正整數(shù)n(n2),數(shù)列bk滿足（k=1,2,，n-1）,b1=1.求b1+b2+bn.解：（）當(dāng)，由及，得當(dāng)時(shí)，由，得因?yàn)椋詮亩?，故（）因?yàn)?，所以所以?7（四川卷）已知函數(shù)f(x)x24,設(shè)曲線在點(diǎn)(xn,f(xn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn1，0)(nN *)，其中x1為正實(shí)數(shù).()用xn表示xn1；()求證：對(duì)一切正整數(shù)n，xn1xn的充要條件是x12；()若x14，記anlg，證明數(shù)列an成等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解：（） 由題可得所以過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程為，即令，得，即顯然 （）證明：（必要性）若對(duì)一切正整數(shù)，則，即，而，即有（充分性）若