深度系統(tǒng)小組第八章離散系統(tǒng)理論.ppt

第八章 離散系統(tǒng)理論,8.1 離散系統(tǒng)的基本概念,8.2 信號(hào)的采樣與保持,8.3 Z變換與Z反變換,8.4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.5 穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,8.6 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析,End,本章作業(yè),有關(guān)概念,2. 離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一處或多處為離散信號(hào)的系統(tǒng)稱離散系統(tǒng)。典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)的一種。其原理圖如下：,A/D：模數(shù)轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號(hào)。包括采樣與量化兩過(guò)程。,1.離散信號(hào)：僅定義在離散時(shí)間上的信號(hào)稱離散信號(hào)，離散信號(hào)以脈沖或數(shù)碼的形式呈現(xiàn)。,D/A：數(shù)模轉(zhuǎn)換器，將離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬信號(hào)。包括解碼與復(fù)現(xiàn)兩過(guò)程。,8.1 離散系統(tǒng)的基本概念,8.2,8.3,8.4,8.5,8.6,離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn),1. 校正裝置效果比連續(xù)式校正裝置好，且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。 2. 采樣信號(hào)，特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞能有效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)抗干擾能力。 3. 可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率。 4. 可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜控制規(guī)律，且可以在運(yùn)行中實(shí)時(shí)改變響應(yīng)參數(shù)。,e*(t)=e(t)T(t), 其中 為理想單位脈沖序列。則：,8.2 信號(hào)的采樣與保持,對(duì)上式取拉氏變換,得,例8.1 e(t)=eat,試寫出e*(t)表達(dá)式。, 物理意義：可看成是單位理想脈沖串T (t) 被輸入信號(hào)e(t)進(jìn)行調(diào)制的過(guò)程，如右圖所示。,在圖中，T(t)為載波信號(hào)；e(t)為調(diào)制信號(hào)； e*(t)為理想輸出脈沖序列。,8.2.1 采樣過(guò)程與采樣定理,采樣過(guò)程 數(shù)學(xué)描述：把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又叫采樣開(kāi)關(guān)。采樣過(guò)程可用下圖表示。,8.1,8.3,8.4,8.5,8.6,8.2.2,設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)必須嚴(yán)格遵守的一條準(zhǔn)則。 1. 問(wèn)題的提出 連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)過(guò)采樣后，只能給出采樣點(diǎn)上的數(shù)值，不能知道各采樣時(shí)刻之間的數(shù)值。從時(shí)域上看，采樣過(guò)程損失了e(t)所含的信息。,采樣定理,2. 定性分析 如果連續(xù)信號(hào)e(t)變化緩慢（最大角頻率max較低，而采樣角頻率s比較高（即采樣周期T=2/s較小，則e*(t)基本上能反映e(t)的變化規(guī)律。,3. 采樣定理（香農(nóng)定理） 如果采樣器的輸入信號(hào)最高角頻率為max，則只有當(dāng)采樣頻率s2max,才可能從采樣信號(hào)中無(wú)失真地恢復(fù)出連續(xù)信號(hào)。,怎樣才能使采樣信號(hào)e*(t)大體上反映e(t)的變化規(guī)律呢？,8.2.2 信號(hào)復(fù)現(xiàn)及零階保持器,信號(hào)復(fù)現(xiàn) 將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換復(fù)原成連續(xù)信號(hào)的過(guò)程稱信號(hào)復(fù)現(xiàn)。該裝置稱為保持器或復(fù)現(xiàn)濾波器。, 零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為e(nT+t)=e(nT)；其脈沖響應(yīng)為gh(t)=1(t)-1(t-T)，傳遞函數(shù)為,零階保持器 零階保持器是最簡(jiǎn)單也是工程中使用最廣泛的保持器。零階保持器的輸入輸出特性可用下圖描述。,8.2.1,8.3 Z變換與Z反變換,8.3.1 Z變換,1. Z變換的定義,2. Z變換方法 (1) 級(jí)數(shù)求和法 將Z變換的定義式展開(kāi)： E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+ e(nT)z-n+,(2) 部分分式法,對(duì)于常用函數(shù)Z變換的級(jí)數(shù)形式，都可以寫出其閉合形式。, 先求出已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換E (s)； 將E (s)展開(kāi)成部分分式之和的形式； 求拉氏反變換，再求Z變換E(z)。,即為Z變換的定義式。 稱E(z)為e*(t)的Z變換, 記作 Ze*(t)=E(z), 或 Ze(t)=E(z),8.1,8.4,8.5,8.6,8.2,8.3.2,性質(zhì),動(dòng)畫演示,令z=eTs , 則 =e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+,對(duì)比(2)中結(jié)果，有,(4) 單位斜坡信號(hào) e(t)=t，則,3. 典型信號(hào)的Z變換,兩邊同乘(-Tz)，得單位斜坡信號(hào)的z變換,兩端對(duì)z求導(dǎo)數(shù)，得,(3) 單位理想脈沖序列 e(t)=T(t),(1) 單位脈沖函數(shù) e(t)=(t),(2) 單位階躍函數(shù) e(t)=1(t),(5) 指數(shù)函數(shù) e(t)=e-at(a為實(shí)常數(shù)，則,這是一個(gè)公比為(e-aTz-1)的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)| e-aT z-1 |1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂,則可寫成閉合形式,所以,利用(*)、(*)式，有,(6) 正弦信號(hào) e(t)=sin t , 因?yàn)?進(jìn)行部分分式展開(kāi)，有,再取拉氏反變換,參照(2)和(5),得,4. Z變換的性質(zhì),(1) 線性定理 若 E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t)，a為常數(shù)，則 Ze1(t)+e2(t)= E1(z)+ E2(z)，Zae(t)=a E(z),例8.2 已知e(t)=1(t-T),求Z變換E(z)。,(3) 復(fù)數(shù)位移定理 已知e (t)的Z變換為E(z) ，則有,根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理，有,例8.3 已知e(t)=t e-at,求Z變換E(z)。,Ze(t) =E(z e aT),(2) 實(shí)數(shù)位移定理 若 E(z)=Ze(t)， 則 Ze(t-kT)=z-kE(z), Ze(t+kT)=,解：,解：已知單位斜坡信號(hào)的z變換為,8.3.2,8.3.1,(4) z域微分定理 若 e (t)的z變換為E(z)，則,若 e (t)的z變換為E(z)，則 Zane(t)=E(z/a) , a為常數(shù),例8.4 試求ncost的Z變換。,(5) z域尺度定理,解：由變換表,(6) 初值定理,若e (t)的z變換為E(z)，函數(shù)序列e(nT)為有限值(n=0,1,2,)， 且極限 存在，則,設(shè)x(nT)和y(nT)為兩個(gè)采樣函數(shù)，其離散卷積定義為 x(nT)y(nT)= ，則卷積定理為： Zx(nT)y(nT)=X(z)Y(z),若e (t)的z變換為E(z)，并有極限 存在，則,(7) 終值定理,(8) 卷積定理,8.3.2 Z反變換, 從Z域函數(shù)E(z)求時(shí)域函數(shù)e*(t)，叫做Z反變換。 記作Z-1E(z)= e*(t)。,例8.5 已知z變換函數(shù) ，試求其z反變換。,解：首先將E(z)/z展開(kāi)成部分分式,所以 e(nT)=(-1+2n)10 e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+ =0+10(t-T)+30(t-2T)+ 70(t-3T)+,1. 部分分式展開(kāi)法 部分分式展開(kāi)法是將E(z)展成若干分式和的形式，對(duì)每部分分式查Z變換表找出相應(yīng)的e*(t)。因Z變換表中Z變換函數(shù)分子普遍有因子Z，所以應(yīng)將E(z)/z展開(kāi)成部分分式。,性質(zhì),8.3.1,例8.6 已知z變換函數(shù) 試求其z反變換。,解： 因?yàn)?所以 e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+ =0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-3T)+,2. 冪級(jí)數(shù)法（綜合除法),查表得 e(t)=1(t)-e-at 則 e(nT)=1-e-anT,由Z變換的定義,而,則c0,c1,c2,就是脈沖序列e*(t)各采樣點(diǎn)的值e(nT) , 所以,8.4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.4.1 線性常系數(shù)差分方程及其解法,工程中常用迭代法和Z變換法來(lái)求解差分方程： 1. 迭代法 根據(jù)給定差分方程和輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，一步一步算出輸出序列。,2.Z變換法 用Z變換法解差分方程的實(shí)質(zhì)，是對(duì)差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的位移性質(zhì)，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對(duì)代數(shù)方程的解C(z)取Z反變換即求得輸出序列。,式中：k第k個(gè)采樣時(shí)刻； n系統(tǒng)的階次。,一般n階線性定常離散系統(tǒng)的輸出和輸入之間的關(guān)系，可用n階常系數(shù)差分方程描述。,8.1,8.3,8.5,8.6,8.2,8.4.2 脈沖傳遞函數(shù),脈沖傳遞函數(shù)的定義和意義 零初始條件下，系統(tǒng)輸出C(t)的z變換C(z)與輸入r(t)的z變換R(z)之比，稱為脈沖傳遞函數(shù)，即G(z)=C(z)/R(z)。 若輸入r(t)=(t), 則C(z)=G(z)R(z)=G(z), g*(t)=Z-1G(z)。即連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)采樣后的Z變換即為脈沖傳遞函數(shù)。,開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù),1. 串聯(lián)環(huán)節(jié),2. 有零階保持器的情況,3. 連續(xù)信號(hào)進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié),-,-,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),動(dòng)畫演示,S域的虛軸映射成Z域的圓周；左半S平面映射在圓周內(nèi)，右半S平面映射在圓周外。,8.5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,一、S域到Z域的映射,二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,1. 時(shí)域中：特征方程的根滿足ai1 (了解即可 2. Z域中：特征方程1+HG(z)=0的模zi1 (牢固掌握),三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),雙線性變換與勞氏判據(jù)： 1. 雙線性變換,2. 勞氏判據(jù): 形式同連續(xù)系統(tǒng)。,8.1,8.3,8.4,8.6,8.2,8.5.2,例,8.5.1 穩(wěn)定性判據(jù),動(dòng)畫演示,動(dòng)畫,設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，采樣周期T=1s 。設(shè) K=10，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。,例8.7,解： 由圖得,由此得系統(tǒng)特征方程為 z2+2.31z+3=0 求解得一對(duì)共軛復(fù)根 1=-1.156j1.29， 2=-1.156-j1.29 分布在單位圓外，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,8.5.1,8.5.2,由1G(z)=0求得系統(tǒng)特征方程為 z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K) =0, 由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù),得到系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)為: Kc=2.4,列勞氏表計(jì)算 w2 2.736-0.104K 0.632K w1 1.264-0.528K 0 w0 0.632K,為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須有,進(jìn)行w變換得 (2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0,動(dòng)畫演示,1. 終值定理法,8.5.2 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算,2. 誤差系數(shù)法 (1) 單位階躍輸入時(shí) r(t)=1(t),(2) 單位斜坡輸入時(shí) r(t)=t,(3) 單位加速度輸入時(shí) r(t)=t2/2,8.5.1,例,動(dòng)畫演示,設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，K=1, T=0.1s , r(t)=1(t)+t, 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,例8.8,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,把T=0.1代入化簡(jiǎn)得,一般假定外作用為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)，此時(shí)R(z)=z/(z-1)， 則系統(tǒng)輸出量的Z變換函數(shù)為,8.6 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析,一、時(shí)間響應(yīng),然后用長(zhǎng)除法，將C(z)展成無(wú)窮冪級(jí)數(shù)： C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+ Cnz-n,在C*(t)t坐標(biāo)