高中數(shù)學(xué)課時(shí)提升作業(yè)九2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（含解析）新人教A版選修.docx

課時(shí)提升作業(yè) 九橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016青島高二檢測(cè))已知橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)P到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()A.2B.3C.5D.7【解析】選D.設(shè)該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,利用橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,則|PF2|=7.2.(2016日照高二檢測(cè))已知橢圓x225+y29=1上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2,N是MF的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么線段ON的長(zhǎng)是()A.2B.4C.8D.32【解析】選B.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為E,如圖,則|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON為MEF的中位線,所以|ON|=|ME|=4.3.橢圓x2m+y24=1的焦距是2,則m的值是()A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】選C.由題意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016淄博高二檢測(cè))若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形,焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為3,則這個(gè)橢圓的方程為()A.x212+y29=1B.x29+y212=1C.x212+y29=1或x29+y212=1D.以上都不對(duì)【解析】選C.設(shè)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P,焦點(diǎn)分別為F1,F2,因?yàn)镻F1F2為正三角形,所以|OP|=32|F1F2|,可得b=c,即=c.又因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為,所以a-c=,聯(lián)立,可得a=2,c=,b=3.因此a2=12且b2=9,可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1或+=1.5.已知橢圓x24+y2=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)M在該橢圓上,且=0,則點(diǎn)M到x軸的距離為()A.233B.263C.33D.3【解題指南】由=0知MF1F2為直角三角形,可根據(jù)面積求M到x軸的距離.【解析】選C.由=0,得MF1MF2,可設(shè)|=m,|=n,在F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根據(jù)橢圓的定義有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1,設(shè)點(diǎn)M到x軸的距離為h,則|F1F2|h=1,又|F1F2|=2,故h=33.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】由題意可得所以故b2=a2-c2=3,所以橢圓方程為+=1.答案:+=17.設(shè)P是橢圓x216+y29=1上的點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|PF2|的最大值是.【解析】由題意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|PF2|=16,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取“=”,故|PF1|PF2|的最大值是16.答案:168.如圖所示,F1,F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,POF2是面積為3的正三角形,則b2=.【解析】由題意=34c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由題意得點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,),把x=1,y=代入橢圓方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知橢圓的中心在原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0),a=3b,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)其方程為+=1(ab0).由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故橢圓的方程為+y2=1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)其方程為+=1(ab0).由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0),知+=1,又a=3b,聯(lián)立解得a2=81,b2=9,故橢圓的方程為+=1.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1或+y2=1.10.(2016鄭州高二檢測(cè))如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=45|PD|.當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程.【解題指南】設(shè)M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐標(biāo)化,即得軌跡方程.【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),P的坐標(biāo)是(xP,yP),因?yàn)辄c(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.因?yàn)镻在圓x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即點(diǎn)M的軌跡C的方程是+=1.一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2016鄭州高二檢測(cè))已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是()A.m2B.1m2C.m-1或1m2D.m-1或1m32【解析】選D.由題意得即所以1m或mb0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P(a,b)滿足|F1F2|=|PF2|,設(shè)直線PF2與橢圓交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=16,則橢圓的方程為()A.x2144+y2108=1B.x2100+y275=1C.x236+y227=1D.x216+y212=1【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)滿足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=.所以a=2c,b=c,可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2,直線PF2的方程為y=(x-c),代入橢圓方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以橢圓方程為+=1.二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2016溫州高二檢測(cè))已知橢圓x24+y22=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1,F2,點(diǎn)P在該橢圓上,若|PF1|-|PF2|=2,則PF1F2的面積是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以PF1F2是直角三角形,所以=|F1F2|PF2|=.答案:4.(2016唐山高二檢測(cè))已知橢圓C:x22+y2=1的焦點(diǎn)F(1,0),直線l:x=2,點(diǎn)Al,線段AF交C于點(diǎn)B,若=3,則|=【解題指南】設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo),利用=3求出A點(diǎn)坐標(biāo),即可求出|的大小.【解析】設(shè)A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又點(diǎn)B在橢圓C上,所以+y032=1,解得y0=1,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),所以|=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2016煙臺(tái)高二檢測(cè))已知橢圓y2a2+x2b2=1(ab0)的焦點(diǎn)分別為F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上,且|PF1|-|PF2|=1,求F1PF2的余弦值.【解析】(1)由題意得橢圓焦點(diǎn)在y軸上,且c=1.又因?yàn)?a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)如圖所示,|PF1|-|PF2|=1.又由橢圓定義知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=,|PF2|=,|F1F2|=2,cosF1PF2=.6.(2016連云港高二檢測(cè))設(shè)F1,F2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn),B為橢圓上的點(diǎn)且坐標(biāo)為(0,-1).(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|PF1|PF2|的最大值.(2)若C為橢圓上異于B的一點(diǎn),且=,求的值.(3)設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PBF1的周長(zhǎng)的最大值.【解析】(1)因?yàn)闄E圓的方程為+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|PF2|=4,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=2時(shí)取“=”,所以|PF1|PF2|的最大值為4.(2)設(shè)C(x0,y0),B(0,-1),F1