解析函數(shù)的級數(shù)表-1.ppt

復變函數(shù) 與積分變換,主講：李茂華 寧波大學理學院 二零零九年九月,大學數(shù)學多媒體課件,2019/7/16,2,參考用書,復變函數(shù)與積分變換, 華中科技大學數(shù)學系, 高等教育出版社, 2003.6,復變函數(shù)與積分變換學習輔導與習題全解, 華中科大, 高等教育出版社,復變函數(shù), 西安交通大學高等數(shù)學教研室, 高等教育出版社, 1996.5,2019/7/16,3,目 錄,第二章 解析函數(shù),第三章 復變函數(shù)的積分,第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示,第五章 留數(shù)及其應用,第六章 傅立葉變換,第七章 拉普拉斯變換,第一章 復數(shù)與復變函數(shù),2019/7/16,4,第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示,本章的主要內容是：復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概念和性質；重點介紹復變函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù)和由正、負整次冪項所組成的洛朗級數(shù). 關于復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)的某些概念和定理都是實數(shù)范圍內的相應的內容在復數(shù)范圍內的直接推廣，因此，在學習中結合高等數(shù)學中無窮級數(shù)部分的復習，并在對此中進行學習,2019/7/16,5,第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示,4.1 復數(shù)項級數(shù) 4.2 復變函數(shù)項級數(shù) 4.3 泰勒級數(shù) 4.4 洛朗級數(shù) 本章小結 思考題,2019/7/16,6,第一節(jié) 復數(shù)項級數(shù),一、復數(shù)列極限,定義：,定理1：,2019/7/16,7,證明：,必要性,充分性,2019/7/16,8,例1,解：,2019/7/16,9,2019/7/16,10,定義：,例1,解：,二、復數(shù)項級數(shù)的概念,2019/7/16,11,定理2：,證明：,定理3：,2019/7/16,12,定理3：,證明：,2019/7/16,13,說明：,例2,下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？,解：,2019/7/16,14,第二節(jié) 復變函數(shù)項級數(shù),一、復變函數(shù)項級數(shù),定義：,稱表達式：,稱為級數(shù)的部分和,2019/7/16,15,二、冪級數(shù),1冪級數(shù)概念,定義：形如,2019/7/16,16,定理1：（阿貝爾定理）,阿貝爾定理告訴我們:,2019/7/16,17,證明：,充分性用反證可以證明（略）,必要性,2019/7/16,18,2收斂圓與收斂半徑,定義：,注意：,2019/7/16,19,例1,解：,冪級數(shù)的部分和,故級數(shù)發(fā)散.,2019/7/16,20,3收斂半徑的求法,定理2：（比值法）,證明：,2019/7/16,21,定理3：（根值法）,例1,求下列冪級數(shù)的收斂半徑,解：,2019/7/16,22,所以不能直接用公式,用比較審斂法:,2019/7/16,23,4冪級數(shù)的運算和性質,（1）冪級數(shù)的代數(shù)運算,2019/7/16,24,2019/7/16,25,（2）復合運算,這個運算具有廣泛的應用，常用來將函數(shù)展為冪級數(shù),例2,解：,2019/7/16,26,（3）冪級數(shù)和函數(shù)的性質,定理4：,逐項求導、逐項積分,2019/7/16,27,例3,試求給定冪級數(shù)在收斂圓內的和函數(shù),解：,2019/7/16,28,第三節(jié) 泰勒級數(shù),前面已討論了已知冪級數(shù)，如何求收斂圓、和函數(shù)，并且知道和函 數(shù)在它的收斂圓內是一個解析函數(shù)，下面研究與此相反的問題：即任何 一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？,2019/7/16,29,2019/7/16,30,2019/7/16,31,定理5：,2019/7/16,32,說明：,由此可見解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結果就是泰勒級數(shù)，即展開式是唯一的,2019/7/16,33,一、利用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù),例1,解：,2019/7/16,34,二、利用間接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù),借助于已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)的運算性質和分析性質， 以唯一性為理論依據(jù)得到函數(shù)的泰勒展開式,2019/7/16,35,例2,解：,例3,解：,2019/7/16,36,例4,解：,例4,2019/7/16,37,三、將函數(shù)展成的冪級數(shù),例5,解：,2019/7/16,38,例6,解：,2019/7/16,39,例7,解：,2019/7/16,40,第四節(jié) 洛朗級數(shù),2019/7/16,41,2019/7/16,42,2019/7/16,43,2019/7/16,44,一、直接展開法,定理6（洛朗定理）,證明：,證明：,2019/7/16,45,2019/7/16,46,2019/7/16,47,2019/7/16,48,2019/7/16,49,例1,解：,-直接展開法,2019/7/16,50,證明：,2019/7/16,51,二、間接展開法,根據(jù)由正、負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性，可通過代數(shù)運算、變 量代換、函數(shù)求