離散數(shù)學(xué)中許多有趣的問(wèn)題.ppt

離散數(shù)學(xué)中許多有趣的問(wèn)題,By 孫一凡 老師,簡(jiǎn)介,離散數(shù)學(xué)亦稱組合數(shù)學(xué)。自古的數(shù)學(xué)，算術(shù)與幾何便分別代表了離散與連續(xù)觀念的源頭。 兩種思維相互發(fā)展，造就了數(shù)學(xué)世界。但自牛頓開創(chuàng)微積分以後，連續(xù)性數(shù)學(xué)便獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷三百年。今日離散數(shù)學(xué)的若干題材，雖可在數(shù)論、代數(shù)、機(jī)率、幾何等學(xué)科中發(fā)現(xiàn)其身影，但始終是理論深度不明的研究課題。,本世紀(jì)以來(lái),離散的工具與方法，逐漸在各個(gè)學(xué)科中被發(fā)展及使用，而產(chǎn)生出新的焦點(diǎn)及新的科學(xué)意識(shí)。一些彼此關(guān)連的研究領(lǐng)域，開始匯聚。 特別自三十年代以後，計(jì)算科學(xué)在理論與實(shí)用上都有突破性的發(fā)展。這是因?yàn)殡娔X的出現(xiàn)。電腦利用離散的表示處理資訊，離散現(xiàn)象的重要開始被重視。此外，電腦幫人處理大量的有限數(shù)及有限結(jié)構(gòu)，跑出了很多新層次的問(wèn)題需研究。,離散數(shù)學(xué)包含了什麼?,包羅了許多學(xué)域，比較重要的包括下列幾種： 古典計(jì)算問(wèn)題，包括有限集合上的各類排列組合問(wèn)題 以代數(shù)、拓樸方法建立組合學(xué)體系的研究 以群論、有限幾何為主要工具的設(shè)計(jì)理論(Design Theory) 圖形、網(wǎng)路與超圖的理論(Hypergraphs),請(qǐng)修：組合設(shè)計(jì)初步,請(qǐng)修：圖論初步、離散專題,請(qǐng)修：離散數(shù)學(xué),離散數(shù)學(xué)包含了什麼?,最佳化、運(yùn)籌學(xué)(Operation Research)與賽局理論(Game Theory) 編碼(Coding Theory)與密碼理論(Cryptography) 擬陣(Matroid)、廣義擬陣論(Greedoid) 離散與計(jì)算幾何學(xué) 演算法則的設(shè)計(jì)與分析,請(qǐng)修：代數(shù)編碼學(xué)、密碼學(xué),請(qǐng)修：演算法,離散數(shù)學(xué)有些什麼應(yīng)用？,在應(yīng)用方面，最大的市場(chǎng)之一是資訊科學(xué)，已成為資訊系的必修課程。數(shù)位化的產(chǎn)物，如光碟、大哥大、衛(wèi)星通訊等等都仰賴錯(cuò)誤糾正碼(Error Correcting Code)設(shè)計(jì)以增加可靠性；提款卡、簽帳卡等也是密碼學(xué)的附產(chǎn)品；另外，DNA的定序問(wèn)題，選舉權(quán)力的分析，生物食物網(wǎng)的平衡，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的安排，處處可見(jiàn)離散數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子。,討論整數(shù) 也可說(shuō)是組合數(shù)學(xué)的重要關(guān)鍵,整數(shù)（Z）與實(shí)數(shù)（R）不同，兩者分別代表了離散觀念與連續(xù)觀念。 因此離散數(shù)學(xué)中，整數(shù)的觀念通常相當(dāng)重要，整數(shù)與整數(shù)的關(guān)係也是如此，可以廣泛的應(yīng)用在許多事上。,正整數(shù) : 1,2,3,4,5,6, 零 : 0 負(fù)整數(shù) : -1,-2,-3,-4, 單數(shù)(奇數(shù)) : 1,3,5, 雙數(shù)(偶數(shù)) : 0,2,4,6, ,先看一些整數(shù)的性質(zhì) 來(lái)熱熱身！,性質(zhì) 1 :,奇數(shù)： (odd) 被2除餘1的數(shù)字 任何奇數(shù)都可表為 2n+1 的形式 偶數(shù)： (even)可被2整除的數(shù)字 任何偶數(shù)都可表為 2n 的形式,動(dòng)動(dòng)腦 1 某班49位同學(xué)，坐成七行七列。每個(gè)座位的前後左右稱做它的鄰座。要同時(shí)讓這49位同學(xué)中的每一位都換到他的鄰座上去，是否能辦到？,提示,當(dāng)一聲令下，所有同學(xué)都換到他們的鄰座時(shí)，原本坐 位子的同學(xué)會(huì)換到原本就坐 的位子，可是 . . . . ：24個(gè) ：25個(gè) 所以，不可能！,性質(zhì) 2 :,奇數(shù) + 奇數(shù) = 偶數(shù) 偶數(shù) + 偶數(shù) = 偶數(shù) 奇數(shù) + 偶數(shù) = 奇數(shù) 奇數(shù) - 奇數(shù) = 偶數(shù) 偶數(shù) - 偶數(shù) = 偶數(shù) 奇數(shù) - 偶數(shù) = 奇數(shù),動(dòng)動(dòng)腦 2 設(shè) a1, a2, a3, ,a8 是1,2,3,8的一種任意排列。 （如：1,8,7,6,5,2,3,4） 令 b1=|a1-a2|,b2=|a3-a4|, ,b4=|a7-a8| c1=|b1-b2|,c2=|b3-b4| =|c1-c2| 這樣一直做下去，最後得到的整數(shù)一定會(huì)為偶數(shù)。,例如：,1, 8, 7, 6, 5, 2, 3, 4 7 1 3 1 6 2 4,4, 8, 1, 6, 5, 3, 2, 7 4 5 2 5 1 3 2,Why？,1. a1+ a2+ a3+ + a8 = 1+ + 8 = 36 2. b1=|a1-a2|,b2=|a3-a4|, b3=|a5-a6|,b4=|a7-a8| 則 b1+b2+b3+b4 =|a1-a2|+|a3-a4|+|a5-a6|+|a7-a8| = ? 如何將絕對(duì)值拆掉？ 3. 若a1a2 則|a1-a2|= a1-a2 a1a2 則|a1-a2|= a2-a1,4. 假設(shè)絕對(duì)值都拆掉了，上式會(huì)變成如 = (a1-a2)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a7-a8) = (a1+a4+a6+a7)-(a2+a3+a5+a8) 之類的 (總之，有4個(gè)數(shù)字在前括號(hào)中，另外4 個(gè)數(shù)字在後括號(hào)中) 5. (a1+a4+a6+a7)+(a2+a3+a5+a8) = 36 因?yàn)锳+B=偶數(shù)，則A,B必同為偶數(shù)或同為 奇數(shù)，所以A-B必為奇-奇或偶-偶 = 偶數(shù) 6. 如此一來(lái)，上一列的總和為偶數(shù)，下一列 的總和也必為偶數(shù)，則最後的必為偶數(shù),動(dòng)動(dòng)腦 3 在平面上任意標(biāo)出五個(gè)整數(shù)座標(biāo)的點(diǎn)。 證明：其中必至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們的連線的中點(diǎn)也是整數(shù)座標(biāo)的點(diǎn)。 提示1：(x1,y1)與(x2,y2)的連線中點(diǎn)座標(biāo)為 (x1+x2)/2,(y1+y2)/2) 提示2：整數(shù)點(diǎn)只會(huì)有以下四種奇偶性： (奇,奇) (偶,偶) (奇,偶) (偶,奇),根據(jù)鴿洞原理，5個(gè)整數(shù)點(diǎn)中必有某兩點(diǎn)的奇偶性相同！ (因?yàn)槠媾夹钥偣仓挥兴姆N，點(diǎn)有五個(gè)) 而當(dāng)兩點(diǎn)(x1, y1), (x2, y2)有相同奇偶性時(shí) x1+ x2 與 y1 + y2都是偶數(shù) 即 (x1+x2)/2 與 (y1+y2)/2皆為整數(shù) (x1+x2)/2,(y1+y2)/2)為整數(shù)點(diǎn),性質(zhì) 3,1. 奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和必為奇數(shù) 2. 如果若干個(gè)整數(shù)a1a2a3的連乘積 是奇數(shù)，則其中每個(gè)數(shù)ai都是奇數(shù),動(dòng)動(dòng)腦 4 設(shè) n 為一奇數(shù)。又設(shè) a1,a2, ,an 是1,2, ,n 的任意一種排列。 求證： (1- a1)(2- a2) (n- an)必為偶數(shù)。,假設(shè)(1- a1)(2- a2) (n- an)為奇數(shù) 則 1- a1 , 2- a2 , , n- an 都是奇數(shù) (1- a1)+(2- a2)+(n- an) =1+2+n - (a1+a2+an) =1+2+n - (1+2+n) = 0 產(chǎn)生矛盾！,動(dòng)動(dòng)腦 5 n 個(gè)整數(shù) a1, a2, ,an 滿足以下等式 (i) a1a2an = n (ii) a1+a2+an = 0 求證： n 為 4 的倍數(shù)。,若n為奇數(shù)，且滿足 a1a2an = n 則， a1、a2、an皆為奇數(shù) a1+a2+an 即為奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和(=奇數(shù))0 且因?yàn)閍1+a2+an=0，所以a1、a2、an中 奇數(shù)必為偶數(shù)個(gè)，則偶數(shù)也必為偶數(shù)個(gè)， 即a1、a2、an中偶數(shù)至少兩個(gè)， 所以 a1a2an 連乘積必為4的倍數(shù)！,動(dòng)動(dòng)腦 6 某博物館共有25間展覽室，如圖所示，這裡相鄰的展覽室之間都有門相通。參觀者自東北角大門口開始參觀，希望依次不重複地看遍每一間展覽室之後仍回到東北角大門去。請(qǐng)問(wèn)參觀者有哪幾種路線可以參觀？,如圖示，東北角的展覽室為藍(lán)色，無(wú)論選擇怎樣路線，看展覽的順序依序?yàn)?藍(lán)1-橘1-藍(lán)2-橘2-藍(lán)3-橘12-藍(lán)13 (因?yàn)樗{(lán)展覽室有13間，橘展覽室有12間) 然後呢？ 藍(lán)13必須接到藍(lán)1?。?？矛盾！,定理 1,任何一個(gè)非完全平方數(shù)的正整數(shù)都有偶數(shù)個(gè)因數(shù)。 如20的正因數(shù)有：1, 2, 4, 5, 10, 20 25的正因數(shù)有：1, 5, 25,動(dòng)動(dòng)腦 7 有一百盞燈，排列成一列，從左至右依次標(biāo)上 1,2,100 這些號(hào)碼。每一盞燈都有一根拉線開關(guān)。另外，還有一百個(gè)人。最初燈全是關(guān)著的，第一個(gè)人走過(guò)來(lái)把號(hào)碼為1的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下；接著第二個(gè)人走過(guò)來(lái)把號(hào)碼為2的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下；第三個(gè)人走過(guò)來(lái)把號(hào)碼為3的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下；如此繼續(xù)著，最後那個(gè)人走過(guò)來(lái)把最後那盞燈的開關(guān)拉一下。 這樣做過(guò)之後，請(qǐng)問(wèn)留下哪些燈是亮著的？,號(hào)碼為 k 的燈，會(huì)不會(huì)被第i個(gè)人所拉，端看i是不是k的因數(shù)，是，則此人拉，不是，則此人不拉！ 所以， 1. 如果 k 有 t 個(gè)因數(shù)則此盞燈共被拉了t次。 2. 燈原本全都是關(guān)的，被拉奇數(shù)次的燈是亮的，被 拉偶數(shù)次的燈是關(guān)的 3. 所以最後亮著的燈為號(hào)碼 k 只有奇數(shù)個(gè)因數(shù)， 為完全平方數(shù)，即： 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 只有這10盞燈是亮的！,動(dòng)動(dòng)腦 8 在一條環(huán)形公路上，n個(gè)車站被n段公路連接了起來(lái)。車站所在地的海拔高度共有5米和10米兩種。相鄰車站若海拔高度相同，則他們之間的公路是水平的；若不同，則他們之間的公路是有坡的。 有一個(gè)旅遊者開車在這條環(huán)形公路上沿順時(shí)針?lè)较蚶@了一圈，發(fā)現(xiàn)有坡的公路段數(shù)與水平公路段數(shù)一樣多。 求證：車站的個(gè)數(shù) n 是 4 的倍數(shù)。,因?yàn)椋河衅碌墓范螖?shù)與水平公路段數(shù)一樣多，表示n為偶數(shù)，所以n個(gè)路段中一半為水平路段、一半為有坡度路段。 但是，有坡度路段中，一半為上坡、一半為下坡（才回得來(lái)?。。?，所以，n為4的倍數(shù)。,1,2,5,4,3,6,1,2,3,4,5,動(dòng)動(dòng)腦 9 有 n 個(gè)數(shù) 1, 2, , n，所有的數(shù)只能為1或-1。如果 12+23+n-1n+n1=0 求證： n 是 4 的倍數(shù)。 提示：跟上一題有關(guān)係,把這 n 個(gè)數(shù) 1, 2, , n想成 n 個(gè)車站， 海拔10公尺的車站標(biāo)為1，海拔5公尺的車站標(biāo)為-1。 如此一來(lái)，12若為1，表示兩車站同為1或同為-1 12若為-1，則表示兩車站一為1一為-1，也就是 12為1表示該路段為水平路段， 12為-1表示該路段為有坡度路段， 12+23+n-1n+n1 = 0表示兩種路段 數(shù)目相同，而有坡度的路段繞一圈後上坡下坡各一半 因此， n 是 4 的倍數(shù)。,12 , 23 , , n-1n , n1當(dāng)中 1的個(gè)數(shù)等於-1的個(gè)數(shù)，所以 n = 2k 如果 12 =1 則 1=2 =1 或 1=2 = -1 表示從1到2符號(hào)沒(méi)有發(fā)生變化 如果 12 =-1 則說(shuō)明符號(hào)有發(fā)生變化 從1開始，最後回到1，說(shuō)明這一過(guò)程中發(fā)生了k次符號(hào)變化，但1與本身是同號(hào)的，所以k也為偶數(shù)。,動(dòng)動(dòng)腦 10 一百個(gè)人排成一列縱隊(duì)。從頭到尾報(bào)完數(shù)之後，凡報(bào)奇數(shù)的一律出列，只有報(bào)偶數(shù)的仍依次留在隊(duì)列之中，接著從頭至尾再次報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)者一律出列，留下報(bào)偶數(shù)者，接著第三次從頭到尾報(bào)數(shù)，如此進(jìn)行下去，請(qǐng)問(wèn)最後留在隊(duì)列中的那個(gè)人，他在第一次報(bào)數(shù)時(shí)報(bào)多少號(hào)？,提示：第一次留下誰(shuí)？第二次之後留下誰(shuí)？ 第三次之後留下誰(shuí)？ 第一次留下了：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20, 第二次留下了：4,8,12,16,20, 第三次留下了：8,16, 也就是說(shuō)，擁有2最多的數(shù)可以留到越後面，那麼1100中，誰(shuí)有2的次數(shù)最多呢？ 答案是：64 = 26,定理 2,偶數(shù)的平方可以被 4 整除。 奇數(shù)的平方被 8 除，餘數(shù)為 1。 因?yàn)?2k)2 = 4k2 (2h+1)2 = 4h2+4h+1 = 4h(h+1)+1 h與h+1中必有一個(gè)為偶數(shù)，所以 4h(h+1)+1 = 8m+1,動(dòng)動(dòng)腦 11 求證： x2+1=8yn 沒(méi)有整數(shù)解。 若 x 是偶數(shù)明顯有問(wèn)題！ 若 x 是奇數(shù)，則 x2 被 8 除餘 1 所以 x2+1 被 8 除餘 2， 但是右式為 8 的倍數(shù),動(dòng)動(dòng)腦 12 求證：正整數(shù)a與b， ab為偶數(shù) 若且唯若 存在正整