高等代數(shù)§6.3維數(shù)基與坐標(biāo).ppt

一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系,二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo),6.3 維數(shù) 基與坐標(biāo),引 入,即線性空間的構(gòu)造如何？,怎樣才能便于運(yùn)算？,問(wèn)題,如何把線性空間的全體元素表示出來(lái)？,這些元素之間的關(guān)系又如何呢？,（基的問(wèn)題）,問(wèn)題,線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西,數(shù)發(fā)生聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)？,（坐標(biāo)問(wèn)題）,一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系,1、有關(guān)定義,設(shè)V 是數(shù)域 P 上的一個(gè)線性空間,則稱向量 可經(jīng)向量組 線性表出；,使,若向量組 中每一向量皆可經(jīng)向量組,線性表出，則稱向量組,可經(jīng)向量組 線性表出；,若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個(gè)向量組,為等價(jià)的,，使得,則稱向量組 為線性相關(guān)的；,（4）如果向量組 不是線性相關(guān)的，即,只有在 時(shí)才成立，,則稱 為線性無(wú)關(guān)的,（1）單個(gè)向量 線性相關(guān),單個(gè)向量 線性無(wú)關(guān),向量組 線性相關(guān),中有一個(gè)向量可經(jīng)其余向量線性表出,2、有關(guān)結(jié)論,（2）若向量組 線性無(wú)關(guān)，且可被,向量組 線性表出，則,若 與 為兩線性無(wú)關(guān)的,等價(jià)向量組，則,（3）若向量組 線性無(wú)關(guān)，但向量組,線性相關(guān)，則 可被向量組,線性表出，且表法是唯一的,二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo),1、維數(shù),定義,如果在線性空間,中有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量,沒(méi)有更多數(shù)目的線性無(wú)關(guān)的向量,那么V稱為n維的,若線性空間 V 中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量,那么就稱為無(wú)限維的.,因?yàn)?，?duì)任意的正整數(shù) n，都有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的 向量,例1 所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式所成的線性空間 Rx 是,無(wú)限維的.,1，x，x2，xn1,下面主要討論有限維線性空間 .,在 n 維線性空間 V 中，n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量,2 . 基 坐標(biāo),，稱為 V 的一組基；,下的坐標(biāo)，記為,設(shè) 為線性空間 V 的一組基，,則數(shù)組 ，就稱為 在基,若,有時(shí)也形式地記作,注意：,唯一確定的即向量 在基 下的坐標(biāo)唯一的.,但是，在不同基下 的坐標(biāo)一般是不同的,4、線性空間的基與維數(shù)的確定,定理：若線性空間V中的向量組 滿足,） 線性無(wú)關(guān)；,） 可經(jīng) 線性表出 ,則V為n 維線性空間， 為V的一組基,證明： 線性無(wú)關(guān)，,V的維數(shù)至少為 n ,任取V中 n1個(gè)向量 ，,由)，向量組 可用向量組,若 是線性無(wú)關(guān)的，則n1n，矛盾,線性表出.,V中任意n1個(gè)向量 是線性相關(guān)的,故，V是n 維的， 就是V的一組基,例2 3 維幾何空間R3,是R3的一組基；,也是R3的一組基,一般地，向量空間,為n維的，,就是 Pn 的一組基稱為Pn的標(biāo)準(zhǔn)基., n 維線性空間 V 的基不是唯一的，V中任意 n個(gè), 任意兩組基向量是等價(jià)的,例3（1）證明：線性空間Pxn是n 維的，且,注意：,線性無(wú)關(guān)的向量都是V的一組基,（2）證明：1，xa，(xa)2，(xa)n1,1，x，x2，xn1 為 Pxn 的一組基,也為Pxn的一組基,證:（1）首先，1，x，x2，xn1是線性無(wú)關(guān)的, 1，x，x2，xn1 為Pxn的一組基，,從而，Pxn是n維的.,其次，,可經(jīng) 1，x，x2，xn1線性表出,注：,在基1，x，x2，xn1下的坐標(biāo)就是,此時(shí)，,（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是線性無(wú)關(guān)的,即,f(x)可經(jīng)1，xa，(xa)2，(xa)n1線性表出.,1，xa，(xa)2，(xa)n1為Pxn的一組基,在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐標(biāo)是,注：,此時(shí)，,若把C看成是實(shí)數(shù)域R上的線性空間呢？,而實(shí)數(shù)域R上的線性空間C為2維的，數(shù)1，i 就為,例4 求全體復(fù)數(shù)的集合C看成復(fù)數(shù)域C上的線性,空間的維數(shù)與一組基；,解：,復(fù)數(shù)域C上的線性空間C是1維的，數(shù)1就是它的,一組基；,它的一組基,注：任意數(shù)域P看成是它自身上的線性空間是一維的， 數(shù)1就是它的一組基.,例5.求實(shí)數(shù)域R上的線性空間V的維數(shù)與一組基.這里,解: