2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形第7節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例教學(xué)案文含解析北師大版.docx

第七節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例考綱傳真能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題測(cè)量中的有關(guān)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角方位角的范圍是0360方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如北偏東，即由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向，南偏西，即由正南方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向，其他方向角類(lèi)似例：(1)北偏東：(2)南偏西：基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為()(3)方位角的大小范圍是0,2)，方向角的大小范圍一般是()(4)若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的北偏東44，則點(diǎn)Q在點(diǎn)P的東偏北46()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60視角，從B望C和A成75視角，則BC等于()A10 n mileB n mileC5 n mileD5 n mileD如圖，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，BC5.3若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60，且ACBC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A北偏東15B北偏西15C北偏東10D北偏西10B如圖所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15.4如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是()A100 mB400 mC200 mD500 mD設(shè)塔高為x m，則由已知可得BCx m，BDx m，由余弦定理可得BD2BC2CD22BCCDcos BCD，即3x2x25002500x，解得x500(m)5如圖所示，已知A，B兩點(diǎn)分別在河的兩岸，某測(cè)量者在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C，測(cè)得AC50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A50 mB25 mC25 mD50 mD因?yàn)锳CB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m測(cè)量距離問(wèn)題1如圖所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時(shí)氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)60如圖所示，過(guò)A作ADCB且交CB的延長(zhǎng)線于D在RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m.在ABC中，BAC673037，ABC18067113，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m)2江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角，則兩條船相距_m.10如圖，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)3如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75的方向，且與它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.32在ABS中，BAS30，ASB753045，由正弦定理得，則AB16，故此船的船速是32 n mile/h.4如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CDa，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB若測(cè)得CDkm，ADBCDB30，ACD60，ACB45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)km.ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC(km)在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B兩點(diǎn)間的距離為 km.規(guī)律方法求距離問(wèn)題的兩個(gè)策略(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理測(cè)量高度問(wèn)題【例1】(2019黃山模擬)如圖所示，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.100由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)規(guī)律方法求解高度問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題 如圖，從某電視塔CO的正東方向的A處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0，在電視塔的南偏西60的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5，AB間的距離為35米，則這個(gè)電視塔的高度為_(kāi)米5如圖，可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米設(shè)OCx米，則OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即352x2x2cos 150，整理得x5，所以此電視塔的高度是5米測(cè)量角度問(wèn)題【例2】某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45，距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向，以10海里/時(shí)的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間解如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則AB10t，CB10t，在ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)，艦艇需1小時(shí)靠近漁船，此時(shí)AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30.所以艦艇航向?yàn)楸逼珫|75.規(guī)律方法解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫(huà)出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用 如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACB cos 30sinACB sin 30.(二)三角函數(shù)與解三角形中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題命題解讀從近五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看，解答題第1題(全國(guó)卷T17)交替考查三角函數(shù)、解三角形與數(shù)列，本專(zhuān)題的熱點(diǎn)題型有：一是三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；二是解三角形；三是三角恒等變換與解三角形的綜合問(wèn)題，中檔難度，在解題過(guò)程中應(yīng)挖掘題目的隱含條件，注意公式的內(nèi)在聯(lián)系，靈活地正用、逆用及變形公式，并注重轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)要進(jìn)行五點(diǎn)法作圖、圖像變換，研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性，求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等，都應(yīng)先進(jìn)行三角恒等變換，將其化為yAsin(x)的形式，然后利用整體代換的方法求解【例1】(2017浙江高考)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及遞增區(qū)間解(1)由sin，cos，得f 2，所以f 2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin，所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的遞增區(qū)間是(kZ)規(guī)律方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先通過(guò)三角恒等變換把函數(shù)化為yAsin(x)的形式，再把“x”視為一個(gè)整體，結(jié)合函數(shù)ysin x的單調(diào)性找到“x”對(duì)應(yīng)的條件，通過(guò)解不等式可得單調(diào)區(qū)間 (2019北京海淀模擬)已知函數(shù)f(x)sin 2xcoscos 2xsin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值解(1)f(x)sin 2xcoscos 2xsinsin2x，所以f(x)的最小正周期T，因?yàn)閥sin x的對(duì)稱(chēng)軸方程為xk，kZ，令2xk，kZ，得xk，kZ，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為xk，kZ.(2)因?yàn)閤，所以2x0，所以2x，所以當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)在上的最大值為1.解三角形從近幾年全國(guó)卷來(lái)看，高考命題強(qiáng)化了解三角形的考查力度，著重考查正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是邊角互化，結(jié)合三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值【例2】(本小題滿分12分)(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長(zhǎng)信息提取看到條件ABC的面積，想到三角形面積公式；看到(2)中6cos Bcos C1和(1)的結(jié)論，想到兩角和的余弦公式，可求角A，進(jìn)而利用面積公式和余弦定理求bc.規(guī)范解答(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.2分由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.5分(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.7分由題設(shè)得bcsin A，a3，所以bc8.9分由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.11分故ABC的周長(zhǎng)為3.12分易錯(cuò)與防范易錯(cuò)誤區(qū)：(1)三角形面積公式選用不當(dāng)，導(dǎo)致無(wú)法求解第(1)問(wèn)(2)根據(jù)6cos Bcos C1和sin Bsin C，聯(lián)想不到使用公式cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C導(dǎo)致無(wú)法求解第(2)問(wèn)防范措施：(1)在選用面積公式時(shí)，應(yīng)保證消去sin A，故應(yīng)選擇公式SABCabsin C或SABCacsin B(2)對(duì)于兩角和與差的正弦、余弦和正切公式應(yīng)加強(qiáng)逆用的應(yīng)用意識(shí)，根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)選擇公式通性通法解三角形問(wèn)題要關(guān)注正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式，要適時(shí)、適度進(jìn)行“角化邊”或“邊化角”，要抓住能用某個(gè)定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則兩個(gè)定理都有可能用到 (2019莆田模擬)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ctan C(acos Bbcos A)(1)求角C；(2)若c2，求ABC面積的最大值解(1)ctan C(acos Bbcos A)，sin Ctan C(sin Acos Bsin Bcos A)，sin Ctan Csin(AB)sin C，0C，sin C0，tan C，C60.(2)c2，C60，由余弦定理c2a2b22abcos C，得12a2b2ab2abab，ab12，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)，等號(hào)成立SABCabsin C3.ABC面積的最大值為3.三角恒等變換與解三角形的綜合問(wèn)題以三角形為載體，三角恒等變換與解三角形交匯命題，是近幾年高考試題的一大亮點(diǎn)，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是根據(jù)題目提供的信息，恰當(dāng)?shù)貙?shí)施邊角互化【例3】在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin B(1)求A；(2)若a3，求b2c的最大值解(1)cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin Bcos2(CB)sin Csin B，則cos(CB)cos(CB)cos(CB)sin Csin B，則cos A2sin Csin Bsin Csin B，可得cos A，0A，A60.(2)由2，得b2c2(sin B2sin C)2sin B2sin(120B)2(2sin Bcos B)2sin(B)，其中tan ，.由B，得B，sin(B)的最大值為1，b2c的最大值為2.規(guī)律方法1.以三角形為載體，實(shí)質(zhì)考查三角形中的邊角轉(zhuǎn)化，求解的關(guān)鍵是抓住邊角間的關(guān)系，恰當(dāng)選擇正、余弦定理2解三角形常與三角變換交匯在一起(以解三角形的某一結(jié)論作為條件)，此時(shí)應(yīng)首先確定三角形的邊角關(guān)系，然后靈活運(yùn)用三角函數(shù)的和、差、倍角公式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化 (2019石家莊模擬)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且tan Atan B(1)求角A的大??；(2)設(shè)D為AC邊上一點(diǎn)，且BD5，DC3，a7，求c.解(1)在ABC中，tan Atan B，即，則tan A，又0A，A.(2)由BD5，DC3，a7，得cosBDC，又0BDC，BDC.又A，ABD為等邊三角形，c5.大題增分專(zhuān)訓(xùn)1(2019泰安模擬)設(shè)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的遞增區(qū)間；(2)把yf(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖像，求g的值解(1)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的遞增區(qū)間是(kZ)(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)2sin1的圖像，再把得到的圖像向左