高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.1橢圓及其標準方程二學案含解析新人教A版選修1.docx

2.1.1橢圓及其標準方程(二)學習目標加深理解橢圓的定義及其標準方程，能熟練求解與橢圓有關的軌跡問題知識點橢圓方程的求法思考1用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程1，需要幾個獨立條件？答案需要兩個獨立條件，因為方程中有兩個獨立參數(shù)a，b.思考2橢圓方程的求法，除待定系數(shù)法外，還有哪些方法？答案定義法、直接法等梳理方法名稱適用條件待定系數(shù)法已知是橢圓，且知橢圓長、短軸、焦點、焦距、或橢圓上的點等條件中的某些條件直接法等量關系比較明確(推導橢圓標準方程采用的就是直接法)定義法能得出動點到兩定點的距離之和為定值相關點法所求動點與已知條件的另一動點存在坐標相關關系1已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓()2平面內(nèi)到點F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點的軌跡是橢圓()3平面內(nèi)到點F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓()類型一定義法求軌跡方程例1如圖，P為圓B：(x2)2y236上一動點，點A坐標為(2,0)，線段AP的垂直平分線交直線BP于點Q，求點Q的軌跡方程考點橢圓的定義題點由橢圓定義確定軌跡解直線AP的垂直平分線交直線BP于點Q，|AQ|PQ|，|AQ|BQ|PQ|BQ|6|AB|4，點Q的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且2a6,2c4，a3，c2，即b2a2c25，點Q的軌跡方程為1.反思與感悟用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉化為到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為坐標軸，最后由定義得出橢圓的基本量a，b，c.跟蹤訓練1如圖所示，已知動圓P過定點A(3,0)，并且在定圓B：(x3)2y264的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程考點橢圓的定義題點由橢圓定義確定軌跡解設動圓P和定圓B內(nèi)切于點M，動圓圓心P到兩定點A(3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以動圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點的橢圓，其中c3，a4，b2a2c242327，其軌跡方程為1.類型二相關點法求軌跡方程例2已知x軸上一定點A(1,0)，Q為橢圓y21上的動點，求線段AQ中點M的軌跡方程考點橢圓標準方程的求法題點相關點法求軌跡方程解設中點M的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x0，y0)利用中點坐標公式，得Q(x0，y0)在橢圓y21上，y1.將x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ的中點M的軌跡方程是24y21.反思與感悟當題目中所求動點和已知動點存在明顯關系時，一般利用相關點的方法求解用相關點法求軌跡方程的基本步驟為(1)設點：設所求軌跡上動點坐標為P(x，y)，已知曲線上動點坐標為Q(x1，y1)(2)求關系式：用點P的坐標表示出點Q的坐標，即得關系式(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所得方程化簡即可跟蹤訓練2如圖，設P是圓x2y225上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|PD|.當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程，并判斷此曲線的類型考點橢圓標準方程的求法題點相關點法求軌跡方程解設M點的坐標為(x，y)，P點的坐標為(xP，yP)，由已知易得P在圓上，x2225，即軌跡C的方程為1.該曲線表示焦點在x軸上的橢圓類型三直接法求軌跡方程例3如圖，設點A，B的坐標分別為(2,0)，(2,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程考點橢圓標準方程的求法題點直接法求橢圓方程解設點M的坐標為(x，y)，因為點A的坐標是(2,0)，所以直線AM的斜率kAM(x2)；同理，直線BM的斜率kBM(x2)由已知得(x2)，化簡，得點M的軌跡方程為1(x2)引申探究若將本例中的改為a(a0)，曲線形狀如何？解設點M(x，y)，則a(x2)化簡得1(x2)(1)當a1時，曲線表示圓x2y24(x2)，去掉兩點(2,0)(2)當a1時，曲線表示橢圓，去掉兩點(2,0)當1a0時，橢圓焦點在x軸上；當a22，由題意可得，動點M的軌跡是橢圓，且b2a2c2522221，可得橢圓的方程為1，故選B.2若ABC的兩個頂點坐標為A(6,0)，B(6,0)，ABC的周長為32，則頂點C的軌跡方程為()A.1B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程答案D解析由題意知|CA|CB|AB|32，又|AB|12，|CA|CB|20|AB|，由橢圓定義知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(去掉長軸的兩個端點)，其方程為1(y0)3已知橢圓的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么動點Q的軌跡是()A圓B橢圓C射線D直線考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程答案A解析由橢圓的定義知|PF1|PF2|2a，又|PQ|PF2|，|PQ|PF1|2a，即|F1Q|2a，則動點Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓4已知P是橢圓1上一動點，O為坐標原點，則線段OP的中點Q的軌跡方程為_考點橢圓標準方程的求法題點相關點法求軌跡方程答案x21解析由題意，設P(x1，y1)，Q(x，y)，Q為線段OP的中點，由中點坐標公式得x，y，即x12x，y12y，P是橢圓1上的點，1，即1，化簡得Q點的軌跡方程為x21.5已知圓x2y29，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線PP，垂足為P，點M在PP上，并且2，求點M的軌跡考點橢圓標準方程的求法題點相關點法求軌跡方程解設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，則x0x，y03y.P(x0，y0)在圓x2y29上，xy9.將x0x，y03y代入，得x29y29，即y21.點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，其方程為y21.1解答與橢圓有關的軌跡問題的一般思路是：2注意題目要求中求軌跡和求軌跡方程的區(qū)別.一、選擇題1平面內(nèi)，若點M到定點F1(0，1)，F(xiàn)2(0,1)的距離之和為2，則點M的軌跡為()A橢圓B直線F1F2C線段F1F2D直線F1F2的垂直平分線考點橢圓的定義題點由橢圓定義確定軌跡答案C解析由|MF1|MF2|2|F1F2|知，點M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.2已知橢圓1(ab0)，M為橢圓上一動點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，則線段MF1的中點P的軌跡是()A圓B橢圓C線段D直線考點橢圓的定義題點由橢圓定義確定軌跡答案B解析設右焦點為F2，由題意知|PO|MF2|，|PF1|MF1|，又|MF1|MF2|2a，所以|PO|PF1|a|F1O|c，故由橢圓的定義知P點的軌跡是橢圓3已知點A(1,0)，B(1,0)，且0，則動點M的軌跡方程是()Ax2y21Bx2y22Cx2y21(x1)Dx2y22(x)考點橢圓標準方程的求法題點直接法求橢圓方程答案A解析設動點M(x，y)，則(1x，y)，(1x，y). 由0，得(1x)(1x)(y)(y)0, 即x2y21.4橢圓的兩焦點為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點P在橢圓上，若PF1F2的面積最大為12，則橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1考點橢圓標準方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標準方程答案B解析PF1F2的最大面積為2cb12，即bc12，又c4，b3，a5，橢圓方程為1.5設定點F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，動點P滿足條件|PF1|PF2|a(a0)，則點P的軌跡是()A橢圓B線段C不存在D橢圓或線段考點橢圓的定義題點由橢圓定義確定軌跡答案D解析a26，當且僅當a，即a3時取等號，當a3時，|PF1|PF2|6|F1F2|，點P的軌跡是線段F1F2；當a0且a3時，|PF1|PF2|6|F1F2|，點P的軌跡是橢圓6已知橢圓1(0b2)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是()A1B.C.D.考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程答案D解析當lx軸時，|AF2|BF2|的值最大，此時，|AF2|，由橢圓定義知|AF1|AF2|4，|AF1|，|F1F2|2.則|AF2|2|AF1|2|F1F2|2，即4(4b2)，解得b.7長度為2的線段AB的兩個端點A，B分別在x軸，y軸上滑動，點M分AB的比為，則點M的軌跡方程為()A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.x2y21考點橢圓標準方程的求法題點相關點法求軌跡方程答案B解析設點M的坐標為(x，y)，則A的坐標為，B的坐標為.因為|AB|2，所以224，即x2y24，所以點M的軌跡方程是x2y24.即x2y21.8過已知圓內(nèi)一個定點作圓C與已知圓相切，則圓心C的軌跡是()A圓B橢圓C圓或橢圓D線段考點橢圓的定義題點由橢圓定義確定軌跡答案C解析如圖，設已知圓的圓心為A，半徑為R，圓內(nèi)的定點為B，動圓的半徑為r.若點A與點B不重合，由于兩圓相內(nèi)切，則|AC|Rr，由于r|BC|，|AC|R|BC|CA|CB|R.動點C到兩個定點A，B的距離和為常數(shù)R.B為圓內(nèi)的定點，|AB|bc)成等差數(shù)列，A，C兩點的坐標分別是(1,0)，(1,0)，則頂點B的軌跡方程為_考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程答案1(2xbc，ac，即|BC|AB|，(x1)2y2(x1)2y2，x0，點B的軌跡是橢圓的一半，方程為1(x0)又當x2時，點B，A，C在同一直線上，不能構成ABC，x2.頂點B的軌跡方程為1(2xb0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，求動點Q的軌跡方程考點橢圓標準方程的求法題點相關點法求橢圓的方程解由，又22，設Q(x，y)，則(x，y)，即P點坐標為，又P點在橢圓上，1，即1，動點Q的軌跡方程為1(ab0)四、探究與拓展14已知ABC的頂點A(2,0)和B(2,0)，頂點C在橢圓1上，則_.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案2解析A(2,0)和B(2,0)，頂點C在橢圓1上，|CA|CB|8，|AB|4，由正弦定理得，2.15已知圓M：(x1)2y2