高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1平面向量的實際背景及基本概念學(xué)案1無答案新人教A版.docx

2.1平面向量的實際背景及基本概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念知識點(diǎn)一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面積、質(zhì)量、速度、位移等，這些量有什么區(qū)別？答案面積、質(zhì)量只有大小，沒有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2兩個數(shù)量可以比較大小，那么兩個向量能比較大小嗎？答案數(shù)量之間可以比較大小，而兩個向量不能比較大小梳理向量與數(shù)量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量知識點(diǎn)二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直觀地表示出來？答案可以用一條有向線段表示思考20的模是多少？0有方向嗎？答案0的模為0，方向任意思考3單位向量的模是多少？答案單位向量的模為1個單位梳理(1)向量的幾何表示：向量可以用一條有向線段表示帶有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度，如圖所示以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用，)(3)向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)，即有向線段的長度，記作|.長度為0的向量叫做零向量，記作0；長度等于1個單位的向量，叫做單位向量知識點(diǎn)三相等向量與共線向量思考1已知A，B為平面上不同兩點(diǎn)，那么向量和向量相等嗎？它們共線嗎？答案因為向量和向量方向不同，所以二者不相等又表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線思考2向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？答案不相同，由相等向量定義可知，向量可以任意移動由于任意一組平行向量都可以移動到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合思考3若ab，bc，那么一定有ac嗎？答案不一定因為當(dāng)b0時，a，c可以是任意向量梳理(1)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量記法：向量a平行于b，記作ab.規(guī)定：零向量與任一向量平行(3)共線向量：由于任意一組平行向量都可移動到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量也就是說，平行向量與共線向量是等價的，因此要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆1向量就是有向線段()提示向量可以用有向線段來表示，但并不能說向量就是有向線段2如果|，那么.()提示向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小3若a，b都是單位向量，則ab.()提示a與b都是單位向量，則|a|b|1，但a與b方向可能不同4若ab，且a與b的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同()提示若ab，則a與b的大小和方向都相同，那么起點(diǎn)相同時，終點(diǎn)必相同5零向量的大小為0，沒有方向()提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的類型一向量的概念例1下列說法正確的是()A向量與向量的長度相等B兩個有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C零向量都是相等的D若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的性質(zhì)答案A解析兩個有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不確定；兩個單位向量也可能反向，則不相等，故B，C，D都錯誤，A正確故選A.反思與感悟解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題跟蹤訓(xùn)練1下列說法中正確的是()A數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C向量的大小與方向有關(guān)D向量的?？梢员容^大小考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的性質(zhì)答案D解析不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，故C不正確；向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，故D正確類型二相等向量與共線向量例2(1)下列說法正確的是_(填序號)若ab，則a一定不與b共線；若，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn)；在平行四邊形ABCD中，一定有；若向量a與任一向量b平行，則a0；若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的性質(zhì)與判定答案解析兩個向量不相等，可能是長度不同，方向可以相同或相反，所以a與b有共線的可能，故不正確；，A，B，C，D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故不正確；在平行四邊形ABCD中，|，與平行且方向相同，故，正確；零向量的方向是任意的，與任一向量平行，正確；ab，則|a|b|且a與b方向相同；bc，則|b|c|且b與c方向相同，則a與c方向相同且模相等，故ac，正確；若b0，由于a的方向與c的方向都是任意的，ac可能不成立，故不正確(2)如圖所示，ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)寫出與共線的向量；寫出與的模相等的向量；寫出與相等的向量考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量解因為E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，所以EFBC，EFBC.又因為D是BC的中點(diǎn)，所以與共線的向量有，.與模相等的向量有，.與相等的向量有與.反思與感悟相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心(1)與的模相等的向量有多少個？(2)是否存在與長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個？(3)與共線的向量有哪些？考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量解(1)與的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有兩個向量，所以這樣的向量共有23個(2)存在由正六邊形的性質(zhì)可知，BCAOEF，所以與的長度相等、方向相反的向量有，共4個(3)由(2)知，BCOAEF，線段OD，AD與OA在同一條直線上，所以與共線的向量有，共9個類型三向量的表示及應(yīng)用例3一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向，向西偏北50的方向走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn)(1)作出向量，；(2)求|.考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何表示解(1)向量，如圖所示(2)由題意，可知與方向相反，故與共線，|，在四邊形ABCD中，ABCD且ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，|200km.反思與感悟準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練3在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫一個向量b，使ba；(2)在圖中畫一個以A為起點(diǎn)的向量c，使|c|，并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何表示解(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量b與向量a平行，且長度相等(作圖略)(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓(作圖略).1在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是()A單位圓B一段弧C線段D直線考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何表示答案A2下列結(jié)論正確的個數(shù)是()溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；向量的模是一個正實數(shù)；向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；若|a|b|，則ab.A0B1C2D3考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的性質(zhì)答案B解析溫度沒有方向，所以不是向量，故錯；向量的模也可以為0，故錯；向量不可以比較大小，故錯；若a，b中有一個為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應(yīng)均為非零向量，故對3設(shè)b是a的相反向量，則下列說法中一定錯誤的是_(填序號)ab；a與b的長度相等；a是b的相反向量；a與b一定相等考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的性質(zhì)與判定答案4如圖所示，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的有_(填序號)；與共線；.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案解析與方向相同，長度相等，正確；A，O，C三點(diǎn)在一條直線上，正確；ABDC，與共線，正確；與方向不同，二者不相等，錯誤1向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，故向量能起到數(shù)形結(jié)合的橋梁作用2共線向量與平行向量是一組等價的概念兩個共線向量不一定要在一條直線上當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量3注意兩個特殊向量零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個單位圓.一、選擇題1(2017北師大附中一模)給出下列物理量：質(zhì)量；速度；位移；力；路程；功；加速度其中是向量的有()A4個B5個C6個D7個考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的判定答案A解析速度、位移、力、加速度，這4個物理量是向量，它們都有大小和方向2下列說法正確的是()A向量與是相等向量B共線的單位向量是相等向量C零向量與任一向量共線D兩平行向量所在直線平行考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的性質(zhì)與判定答案C解析向量與是相反向量，不是相等向量，故A錯；共線的單位向量可能是相等向量，也可能是相反向量，故B錯；零向量與任一向量共線，故C正確；兩平行向量所在直線可能平行，也可能重合，故D錯3設(shè)O是ABC的外心，則，是()A相等向量B模相等的向量C平行向量D起點(diǎn)相同的向量考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的模答案B解析因為O是ABC的外心，所以|，故選B.4在ABC中，ABAC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則()A.與共線B.與共線C.與相等D.與相等考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案B解析如圖所示，因為D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理可得DEBC.所以與共線5.如圖，在菱形ABCD中，BAD120，則以下說法錯誤的是()A與相等的向量只有1個(不含)B與的模相等的向量有9個(不含)C.的模恰為的模的倍D.與不共線考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的模答案D解析由于，因此與相等的向量只有，而與的模相等的向量有，因此選項A，B正確而RtAOD中，ADO30，|，故|，因此選項C正確由于，因此與是共線的，故選D.6.如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是()A|B.與共線C.與共線D.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案C二、填空題7若A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對于B地的位移是_考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何意義及其應(yīng)用答案西北方向5km8已知在邊長為2的菱形ABCD中，ABC60，則|_.考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的模答案2解析由題意知ACBD，且ABD30，在RtABO中，|cos302，|2|2.9在四邊形ABCD中，若且|，則四邊形的形狀為_考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的應(yīng)用答案菱形解析，ABDC，ABDC，四邊形ABCD是平行四邊形，|，四邊形ABCD是菱形10某人向正東方向行進(jìn)100m后，再向正南方向行進(jìn)100m，則此人位移的方向是_考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何意義及其應(yīng)用答案南偏東30解析如圖所示，此人從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)點(diǎn)B，到達(dá)點(diǎn)C，則tanBAC，BAC是三角形的內(nèi)角，BAC60，即位移的方向是南偏東30.11.如圖，若四邊形ABCD為正方形，BCE為等腰直角三角形，則：(1)圖中與共線的向量有_；(2)圖中與相等的向量有_；(3)圖中與的模相等的向量有_；(4)圖中與相等的向量有_考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案(1)，(2)，(3)，(4)三、解答題12.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30方向行駛2千米才到達(dá)B地(1)畫出，；(2)求B地相對于A地的位置向量考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何意義及其應(yīng)用解(1)向量，如圖所示(2)由題意知，ADBC，ADBC，則四邊形ABCD為平行四邊形，則B地相對于A地的位置向量為“北偏東60，長度為6千米”13.如圖所示，在四邊形ABCD中，N，M分別是AD，BC上的點(diǎn)，且，求證：.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的性質(zhì)和判定證明，ABDC且ABDC，四邊形ABCD是平行四邊形，又，CNMA，CNMA，四邊形CNAM是平行四邊形，CMNA，CMNA.CBDA，CMNA，MBDN.又DNMB，與的模相等且方向相同，.四、探究與拓展14給出以下5個條件：ab；|a|b|；a與b的方向相反；|a|0或|b|0；a與b都是單位向量其中能