元二次方程的概念.ppt

一元二次方程的概念,一元二次方程的解法,一元二次方程根的判別式,一元二次方程根與系數(shù)的關系,用一元二次方程解決實際問題,一 元 二 次 方 程 復 習,只含有 的 ，并且都可以化 成 這樣的方程叫做一元二次方程,把axbxc(a，b，c為常數(shù),a)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax ， bx ， c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項，a， b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù),一個未知數(shù)x,整式方程,axbxc(a，b，c為常數(shù), a)的形式，,一.相關概念,例1.下列方程中，關于x的一元二次方程有：1、x2=0 ，2、ax2+bx+c=0， 3、x23=x， 4、a2+ax=0， 5、(m1)x2+4x+5 =0， 7、(x+1)2=x29（ ） A、2個 B、3個 C、4個 D、5個,A,6、x2+ ,關于x的方程 是一元二次方程，則a=_,【變式訓練】,3,且,分析：,例2：已知方程 是關于x的一元二次方程，則m=_,分析：,2、利用方程解的定義：,根據(jù)方程的解的定義將x=1代入原方程，解之得,例4、關于的一元二次方程 ，若有一個根為2，,求另一個根和t的值。,分析：此例已知方程的一個根，利用這個根，先確定t的值，再求另一個根。,解：,例4、關于的一元二次方程 ，若有一個根為2，求另一根及t,3、已知：方程x25x5=0的一個根為m，求m 的值.,解：m是x2-5x+5=0的根 m2-5m+5=0 m2+5=5m m0 m+ =5,二.一元二次方程的解法 1直接開平方法,2. 配方法,1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 把二次項系數(shù)化為1 3. 把含有未知數(shù)的項放在方程的左邊，不含未知數(shù)的項放 在方程的右邊。 4. 方程的兩邊同加上一次項系數(shù)一半的平方 5. 方程的左邊化成完全平方的形式，方程的右邊化成非負數(shù) 6. 利用直接開平方的方法去解,二.一元二次方程的解法 1直接開平方法,2. 配方法,3. 公式法,1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 寫出方程各項的系數(shù) 計算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值與0的關系，若b2-4ac0，則此方程沒有實數(shù)根 。 當b2-4ac0時， 代入求根公式 計算出方程的值,二.一元二次方程的解法 1直接開平方法,2. 配方法,3. 公式法,4. 因式分解法,移項，使方程的右邊為0。 利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法對左邊進行因式分解 令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程。 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。,本章主要方法和公式,（1）將方程變形，使方程的右邊為零；,（2）將方程的左邊因式分解；,（3）根據(jù)若AB=0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉 化為解兩個一元一次方程；,本章主要方法和公式,配方法解方程的基本步驟 把二次項系數(shù)化為1(方程的兩邊同時除以二次項系數(shù)a) 把常數(shù)項移到方程的右邊; 把方程的左邊配成一個完全平方式; 利用開平方法求出原方程的兩個解. 一除、二移、三配、四開平方、五解.,1、把方程化成一般形式，并寫出a，b，c的值.,3、代入求根公式 :,4、寫出方程x1，x2 的值,一化、二求、三代、四解,(1),(2),(3),(4),(5),例1、下列方程應選用哪種方法求解,例6、解下列方程 （1）x2=0 （2）,解： （1）x1=x2=0,（2）,注意： 第（1）題容易解得x=0這一個解； 第（2）題若方程兩邊都除以x6，得：x=2，則原方程少了一個解，原因是在除以 。故此種做法不可取，應避免在方程兩邊都除以一個代數(shù)式。,例7、用指定的方法解下列方程：,（1） 直接開平方法 （2） 配方法 （3） 公式法 （4） 因式分解法,（1） 直接開平方法,（2） 配方法,解：,2,3,用配方法解一元二次方程要注意兩點： 首先將二次項系數(shù)變?yōu)?； 方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方，這是配方法的關鍵的一步，方程左邊配成完全平方式，當右邊是非負實數(shù)時，用開平方法即可求得方程的解,（3） 公式法,（4） 因式分解法,解：,運用因式分解法時，首先應將右邊各項移到方程的左邊，使方程右邊為；然后再將方程左邊的式子分解因式，使原方程化為兩個一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等來分解因式。,例2、用不同的方法解方程 x-6=5x,1、選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?（1）(x+1)2=4 （2）xx(x) （3）(x+1)(2x1)=5 （4）（y+1）2+2（y+1）+1=0,一元二次方程根的判別式,兩不相等實根,兩相等實根,無實根,一元二次方程,一元二次方程 根的判式是:,判別式的情況,根的情況,定理與逆定理,兩個不相等實根,兩個相等實根,無實根(無解),三、,所以，原方程有兩個不相等的實根。,說明：解這類題目時，一般要先把方程化為一般形式，求出，然后對進行計算，使的符號明朗化，進而說明的符號情況，得出結論。,1、不解方程，判別方程的根的情況,例2：當k取什么值時，已知關于x的方程： （1）方程有兩個不相等的實根；（2）方程有兩個相等的實根；（3）方程無實根；,解：=,(1).當0 ，方程有兩個不相等的實根, 8k+9 0 , 即,(2).當 = 0 ，方程有兩個相等的實根, 8k+9 =0 , 即,(3).當 0 ，方程有沒有實數(shù)根, 8k+9 0 , 即,2、根據(jù)方程的根的情況確定方程的待定系數(shù)的取值范圍,說明：解此類題目時，也是先把方程化為一般形式，再算出，再由題目給出的根的情況確定的情況。從而求出待定系數(shù)的取值范圍,K,例3、已知m為非負整數(shù)，且關于x的方程 ： 有兩個實數(shù)根，求m的值。,解：方程有兩個實數(shù)根 ,解得：,m為非負數(shù),m=0或m=1,說明：當二次項系數(shù)也含有待定的字母時，要注意二次項系數(shù)不能為0，還要注意題目中待定字母的取值范圍.,例4、求證：關于x的方程： 有兩個不相等的實根。,證明：,所以，無論m取任何實數(shù),方程有兩個不相等的實數(shù)根。,無論m取任何實數(shù)都有：,即：0,3、證明方程根的情況,說明：此類題目要先把方程化成一般形式，再計算出，如果不能直接判斷情況，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根據(jù)完全平方的非負性，判斷的情況，從而證明出方程根的情況,四、一元二次方程根與系數(shù)的關系,以兩個數(shù)x1、x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是,設 x1 、 x2是下列一元二次方程的兩個根，填寫下表,5,6,解：設方程的另一個根為x1，那么,例2、利用根與系數(shù)的關系，求一元二次方程 兩個根的；（1）平方和；（2）倒數(shù)和,解：設方程的兩個根是x1 x2，那么,五.實際問題,面積問題 動點運動問題 增長率問題 商品利潤問題,例1、泉生中學為美化校園，準備在長32m，寬20m的長方形場地上，修筑若干條筆直等寬道路，余下部分作草坪，下面請同學們共同參與圖紙設計，要求草坪面積為540m2求出設計方案中道路的寬分別為多少米？,答：道路寬為1米。,設計方案圖紙為如圖，草坪總面積540m2,長方形面積=長寬,解：設道路寬為 m,則草坪的長為 m，寬為 m，由題意得：,解得 （不合題意舍去）,分析：利用“圖形經過平移”，它的面積大小不會改變的道理，把縱橫兩條路平移一下,設計方案圖紙為如圖，草坪總面積540m2,答：道路寬為2米。,32,20,解：設道路的寬為 米，根據(jù)題意得，,化簡，得,解得 12， 250（不合題意舍去）,設計方案圖紙為如圖，草坪總面積540m2,32,20,解：設道路寬為 m，則草坪的長為 m，寬為 m，由題意得：,例2： 學校要建一個面積為150平方米的長方形自行車棚，為節(jié)約經費，一邊利用18米長的教學樓后墻，另三邊利用總長為35米的鐵圍欄圍成，求自行車棚的長和寬.,有關“動點”的運動問題”,1)關鍵 以靜代動 把動的點進行轉換,變?yōu)榫€段的長度,2)方法 時間變路程 求“動點的運動時間”可以轉化為求“動點的運動路程”，也是求線段的長度;,由此,學會把動點的問題轉化為靜點的問題,是解這類問題的關鍵.,3）常找的數(shù)量關系面積，勾股定理，相似三角形等；,例1：如圖，在RtABC中，C=90。點P，Q同時由A，B兩點出發(fā)分別沿AC，BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s。幾秒后PCQ的面積為RtABC面積的一半？,A,B,C,P,Q,8m,6m,解：設 秒后后PCQ的面積為RtABC面積的一半,根據(jù)題意，得方程：,解這個方程，得：,（不合題意，舍去）,答：2秒后PCQ的面積為RtABC面積的一半。,例2：在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B移動,點Q從點B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點C移動,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，幾秒后 PBQ的面積等于8cm2？,解：設x秒后 PBQ的面積等于8cm2 根據(jù)題意，得 整理，得 解這個方程，得,所以2秒或4秒后 PBQ的面積等于8cm2,1、如圖，在 ABCD中，對角線ACBC，AC=BC=2，動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C移動，過點P分別作PMAB交BC于M。PNAD交DC于N，連接AM，設AP=x。 （1）四邊形PMCN的形狀有可能是菱形嗎？請說明理由。 （2）當x為何值時，四邊形PMCN的面積與ABM的面積相等？,2、已知：如圖， ABCD中，AB=4，AD=6，BC邊上的高AE=2，動點P從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個單位的速度向點D運動，同時動點Q也從點C出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。連接AQ、PQ、PC。設運動時間為t（秒）。 (1)當運動時間為1.5秒時，求出ABM的面積。 (2)用含t的代數(shù)式來表示PCQ的面積。 (3)當t為何值時，P、Q兩點間的距離為 ？,3、如下圖，AOBO50cm，OC是一條射線，OCAB，一只螞蟻由點A以2cm/s的速度向點B爬行，同時另一只螞蟻由點O以3cm/s的速度沿OC方向爬行，幾秒后兩只螞蟻所在位置與點O組成的三角形的面積為450cm2?,10秒、15秒、30秒,95年的數(shù)量為A，97年的數(shù)量為B，經過兩個時間單位，求增長率x。,A(1+x)2,=,B,增長率問題,例1：學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.,分析: 相等關系:經過兩年平均增長后的圖書=7.2萬冊.,例1：學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.,例2：某藥品經兩次降價，零售價降為原來的一半.已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率.（精確到0.1%）,解：設原價為1個單位，每次降價的百分率為 x. 根據(jù)題意，得,解這個方程，得,答：每次降價的百分率為29.3%.,駛向勝利的彼岸,有關利潤的知識基本知識,商品利潤=售價-進價；,例1： 新華商場銷售某種冰箱,每臺進價為250元.市場調研表明:當銷售價為2900元時,平均每天能售出8臺;而當銷價每降低50元時,平均每天能多售4臺.商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元,每臺冰箱的定價應為多少元?,例1： 新華商場銷售某種冰箱,每臺進價為250元.市場調研表明:當銷售價為2900元時,平均每天能售出8臺;而當銷價每降低50元時,平均每天能多售4臺.商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元,每臺冰箱的定價應為多少元?,列方程解應用題的一般步驟是: 1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關系? 2.設:設未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位; 3.列:列代數(shù)式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意; 6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活. 列方程解應用題的關鍵是: 找出相等關系.,實際問題,設未知數(shù)，列方程,數(shù)學問題,解方程,配方法,公式法,因式分解法,降 次,數(shù)學問題的解,檢 驗,實際問題的答案,本章知識結構圖,例10、我們知道：對于任何實數(shù)，,x20，x2+10；,模仿上述方法解答下面問題。,（1）對于任何實數(shù)x，均有： 0；,求證：,解： （1）2x2+4x+3=2 (x+1)2+1 x不論為何實數(shù)，(x+1)2總是非負數(shù) 2x2+4x+30,x不論為何實數(shù)， 總是非負數(shù) 0,解答以下各題,若最簡二次根式 是被開方 數(shù)相同的，則x的值為多少？,答案：3,x2+4x=x+18 x2+3x-18=0 解之得 x1= - 6，x2=3 檢驗：當x= - 6時，x2+4x=12， 不是最簡二次根式， x