高考數(shù)學(xué)高考大題增分課（四）立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)案文（含解析）北師大版.docx

四 立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題 命題解讀1.立體幾何是高考的必考內(nèi)容，幾乎每年都考查一個(gè)解答題，兩個(gè)選擇或填空題，客觀題主要考查空間概念，三視圖及簡(jiǎn)單計(jì)算；解答題主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即利用定義、公理、定理證明空間線線、線面、面面平行或垂直，并與幾何體的性質(zhì)相結(jié)合考查幾何體的計(jì)算2重在考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理論證能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力考查的熱點(diǎn)是以幾何體為載體的垂直、平行的證明、平面圖形的折疊、探索開(kāi)放性問(wèn)題等；同時(shí)考查轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合的思想方法線面位置關(guān)系與體積計(jì)算以空間幾何體為載體，考查空間平行與垂直關(guān)系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，并常與幾何體的體積計(jì)算交匯命題，考查學(xué)生的空間想象能力、計(jì)算與數(shù)學(xué)推理論證能力，同時(shí)突出轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的考查，試題難度中等【例1】(本小題滿分12分)(2019哈爾濱模擬)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱錐EACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積信息提取看到四邊形ABCD為菱形，想到對(duì)角線垂直；看到三棱錐的體積，想到利用體積列方程求邊長(zhǎng)規(guī)范解答(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD因?yàn)锽E平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE.2分因?yàn)锽DBEB，故AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED4分(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因?yàn)锳EEC，所以在RtAEC中，可得EGx.6分由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱錐EACD的體積V三棱錐EACDACGDBEx3，故x2.9分從而可得AEECED.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐EACD的側(cè)面積為32.12分易錯(cuò)與防范易錯(cuò)誤區(qū)：1.在第(1)問(wèn)中，易忽視條件BDBEB.AC平面AEC等條件，推理不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致扣分2在第(2)問(wèn)中，需要計(jì)算的量較多，易計(jì)算失誤，或漏算，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤防范措施：1.在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程中，應(yīng)嚴(yán)格按照判定定理的條件寫(xiě)，防止扣分2在計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)牢記計(jì)算公式，逐步計(jì)算，做到不重不漏通性通法空間幾何體體積的求法(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解 如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積解(1)證明：由已知得AMAD2.取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面ABCD的距離為PA.取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得點(diǎn)M到BC的距離為，故SBCM42.所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.求點(diǎn)到平面的距離(幾何體的高)求點(diǎn)到平面的距離(幾何體的高)涉及到空間幾何體的體積和線面垂直關(guān)系，是近幾年高考考查的一個(gè)重要方向，重點(diǎn)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力【例2】(2019開(kāi)封模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB60，PAPD，M為CD的中點(diǎn)，平面PAD平面ABCD(1)求證：BDPM；(2)若APD90，PA，求點(diǎn)A到平面PBM的距離解(1)證明：取AD中點(diǎn)E，連接PE，EM，AC，底面ABCD是菱形，BDAC，E，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，EMAC，EMBDPAPD，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD，PEBD，EMPEE，BD平面PEM，PM平面PEM，BDPM.(2)連接AM，BE，PAPD，APD90，DAB60，ADABBD2，PE1，EMAC，PMPB2.在等邊三角形DBC中，BM，SPBM，SABM2.設(shè)三棱錐A PBM的高為h，則由等體積可得h1，h，點(diǎn)A到平面PBM的距離為.規(guī)律方法求點(diǎn)到平面的距離(幾何體的高)的兩種方法(1)等積法：利用同一個(gè)三棱錐變換頂點(diǎn)及底面的位置，其體積相等的方法求解(2)定義法：其步驟為：一作、二證、三求如何作出點(diǎn)到面的距離是關(guān)鍵，一般的方法是利用輔助面法，所作的輔助面，一是要經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，二是要與所求點(diǎn)到面的距離的面垂直，這樣在輔助面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)作交線的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到面的距離 如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面AEC；(2)設(shè)AP1，AD，三棱錐PABD的體積V，求點(diǎn)A到平面PBC的距離解(1)證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為PD的中點(diǎn)，所以EOPB.因?yàn)镋O平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)三棱錐PABD的體積VPAABADAB，由V，可得AB.由題設(shè)知BCAB，BCPA，所以BC平面PAB，在平面PAB內(nèi)作AHPB交PB于點(diǎn)H，則BCAH，故AH平面PBC又AH.所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為.線面位置關(guān)系中的存在性問(wèn)題是否存在某點(diǎn)或某參數(shù)，使得某種線、面位置關(guān)系成立問(wèn)題，是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，常以解答題中最后一問(wèn)的形式出現(xiàn)，一般有三種類型：(1)條件追溯型(2)存在探索型(3)方法類比探索型【例3】(2018秦皇島模擬)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)(1)求證：EF平面PAD；(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)G，使得平面EFG平面PDC？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)證明：如圖所示，連接AC，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，且點(diǎn)F為對(duì)角線BD的中點(diǎn)所以對(duì)角線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.又在PAC中，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，所以EF為PAC的中位線，所以EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD(2)存在滿足要求的點(diǎn)G.在線段CD上存在一點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，使得平面EFG平面PDC因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，所以CDAD又側(cè)面PAD底面ABCD，CD平面ABCD，側(cè)面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD又EF平面PAD，所以CDEF.取CD中點(diǎn)G，連接FG，EG.因?yàn)镕為BD中點(diǎn)，所以FGAD又CDAD，所以FGCD，又FGEFF，所以CD平面EFG，又CD平面PDC，所以平面EFG平面PDC規(guī)律方法1.在立體幾何的平行關(guān)系問(wèn)題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，通過(guò)找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關(guān)系的根本2第(2)問(wèn)是探索開(kāi)放性問(wèn)題，采用了先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再加以證明，對(duì)于命題結(jié)論的探索，常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么，對(duì)于探索結(jié)論是否存在，求解時(shí)常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容或者矛盾的結(jié)論 (2019長(zhǎng)沙模擬)如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)(1)求證：ACSD；(2)若SD平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由證明(1)連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接SO，由題意得四棱錐SABCD是正四棱錐，所以SOAC在正方形ABCD中，ACBD，又SOBDO，所以AC平面SBD因?yàn)镾D平面SBD，所以ACSD(2)在棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC連接OP.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則SCSDa.由SD平面PAC得SDPC，易求得PD.故可在SP上取一點(diǎn)N，使得PNPD過(guò)點(diǎn)N作PC的平行線與SC交于點(diǎn)E，連接BE，BN，在BDN中，易得BNPO.又因?yàn)镹EPC，NE平面BNE，BN平面BNE，BNNEN，PO平面PAC，PC平面PAC，POPCP，所以平面BEN平面PAC，所以BE平面PAC因?yàn)镾NNP21，所以SEEC21.大題增分專訓(xùn)1(2019濟(jì)南模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為等腰梯形，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PB的中點(diǎn)(1)證明：PD平面CEF；(2)若PE平面ABCD，PEAB2，求三棱錐PDEF的體積解(1)證明：連接BE，BD，BD交CE于點(diǎn)O，連接OF(圖略)E為線段AD的中點(diǎn)，ADBC，BCADED，BCED，四邊形BCDE為平行四邊形， O為BD的中點(diǎn)，又F是BP的中點(diǎn)，OFPD又OF平面CEF，PD平面CEF，PD平面CEF.(2)由(1)知，BECD四邊形ABCD為等腰梯形，ABBCAD，ABAEBE，三角形ABE是等邊三角形，DAB，過(guò)B作BHAD于點(diǎn)H(圖略)，則BH.PE平面ABCD，PE平面PAD，平面PAD平面ABCD，又平面PAD平面ABCDAD，BHAD，BH平面ABCD，BH平面PAD，點(diǎn)B到平面PAD的距離為BH.又F為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F到平面PAD的距離h等于點(diǎn)B到平面PAD的距離的一半，即h，又SPDEPEDE2，V三棱錐PDEFSPDEh2.2(2019石家莊模擬)如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為正方形，且PA底面ABCD，過(guò)AB的平面ABFE與側(cè)面PCD的交線為EF，且滿足SPEF：S四邊形CDEF13.(1)證明：PB平面ACE；(2)當(dāng)PA2AD2時(shí)，求點(diǎn)F到平面ACE的距離解(1)證明：由題知四邊形ABCD為正方形，ABCD，CD平面PCD，AB平面PCD，AB平面PCD又AB平面ABFE，平面ABFE平面PCDEF，EFAB，EFCD由SPEFS四邊形CDEF13知E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點(diǎn)如圖，連接BD交AC于點(diǎn)G，則G為BD的中點(diǎn)，連接EG，則EGPB.又EG平面ACE，PB平面ACE，PB平面ACE.(2)PA2，ADAB1，AC，AEPD，PA平面ABCD，CDPA，又CDAD，ADPAA，CD平面PAD，CDPD在RtCDE中，CE.在ACE中，由余弦定理知cosAEC，sinAEC，SACEAECEsinAEC .設(shè)點(diǎn)F到平面ACE的距離為h，連接AF，則VFACEhh.DGAC，DGPA，ACPAA，DG平面PACE為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E到平面ACF的距離為DG.又F為PC的中點(diǎn)，SACFSACP，VEACF.由VFACEVEACF，得h，得h，點(diǎn)F到平面ACE的距離為.3已知在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，E為線段AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，且PAPB，ABAD(1)求證：ECPE.(2)PB上是否存在一點(diǎn)F，使得OF平面PEC？若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)證明：連接PO，EO，CO.平面PAB平面ABCD，PAPB，O為AB的中點(diǎn)，PO平面ABCD，CE平面ABCD，POCE.設(shè)AD3，四邊形ABCD為矩形，CDAB2，BC3，AEAD1，ED