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文檔簡介

一、向量的概念,二、向量的坐標表示法,第二節(jié) 向量及其坐標表示法,第八章 向量代數 空間解析幾何,記為 0 ,其方向不定.,如果方向相同、模相等,,模等于 1 的向量稱為單位向量.,即經平行移動后,兩向量完全重合.,既有大小又有方向的量,,如力、位移、速度、加速度等.,這類量稱為向量,,或稱為矢量.,向量 a 的大小稱為該向量的模,,記作 | a |;,與 a 同向的單位向量記為 a ,,模等于 0 的向量稱為零向量,,兩個向量 a 與 b 不論起點是否一致,,則它們是相等的,,記為 a = b .,允許自由移動的向量稱為自由向量.,一、向量的概念,這就是向量加法的平行四邊形法則.,這個法則可以推廣到任意有限個向量相加的情形.,以 a 、b 為邊的平行四邊形的對角線所表示的向量如左圖,,則由 a 的起點到 b 的終點的向量.,設有兩個非零向量 a 、b ,,稱為兩向量 a 與 b 的和向量,,記為 a + b,,若以向量 a 的終點作為向量 b 的起點,,也是 a 與 b 的和向量.,這是向量加法的三角形法則.,定義 1,b,a,a,b,a+b,若向量 b 加向量 c 等于向量 a ,,從圖中可以看出:向量的加法滿足交換律和結合律.,即,a + b = b + a (a + b ) + c = a + (b + c).,根據向量加法的三角形法則,,則稱向量 c 為 a 與 b 之差,,記為 c = a - b .,c = a b,a,b, 是一個非零實數,,定義 2 設 a 是一個非零向量,,則 a 與 的乘積仍是一個向量,,記作 a ,,且,( 1 ) | a | = | | | a |;,( 2 ) a 的方向,如果 = 0 或 a = 0,,規(guī)定 a = 0.,數乘向量滿足結合律與分配律,即,(a ) = ( ) a ,, ( a + b ) = a + b ,,( + ) a = a + b ,,其中 , 是數量.,設 a 是非零向量,,由數乘向量的定義可知,,且與 a 同方向,,所以有,向量 的模等于 1 ,,因此任一非零向量 a 都可以表示為,終點為 P(x, y, z).,過 a 的終點 P(x, y, z)作三個平面分別垂直于三條坐標軸,,則點 A 在 x 軸上的坐標為 x ,,在空間直角坐標系中,,與x 軸、y 軸、z 軸的正向同向的單位向量分別記為 i、 j、k,,稱為基本單位向量.,設向量 a 的起點在坐標原點 O,,設垂足依次為 A, B ,C,,根據向量與數的乘法運算得向量,二、向量的坐標表示法,于是, 由向量的三角形法則, 有,稱 a = xi + yj + zk 為向量 a 的坐標表達式,,記作,其中 x,y,z 稱為向量 a 的坐標.,x,z,A,B,C,Q,a,i,j,P,O,y,k,向量的坐標表示法,求向量 a 的坐標表達式.,例 1,已知 是以 A( x1, y1, z1 )為起點,,B(x2, y2 , z2)為終點的向量,,解,A,z,y,x,O,B,a,設,則,( 為數量).,或,例 2,已知 a = 2 , - 1 , - 3 ,,b = 2 , 1 , - 4 ,,求 a + b , a - b , 3a - 2b .,解,a + b,a - b,3a - 2b,那么它的終點坐標 A 的坐標就是(ax , ay , az).,a 的起點放在坐標原點,,由兩點間距離公式可知,x,P,Q,y,R,z,A,O,a,b,非零向量 a 與三坐標軸正向的夾角 、 、 (其中0 , 0 , 0 ),稱為向量 的方向角;,這三個角的余弦 cos 、cos 、cos 稱為向量a 的方向余弦.,因為OPA、ORA 都是直角三角形,所以,例 3,已知 M1 ( 1 , -2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , -1 ),,求 的模及方向余弦.,解,由條件可得,設向量 a 的兩個方向余弦為,求向量 a 的坐標.,可知,例 4,解 因為,所以 =2 , 4 , 4 或 =2 , 4 ,4 .,因此,求其合力F 的大小及方向角.,例 5,已知作用于一質點的三個力為,F1 = i2k ,,F2 =

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