向量及其坐標(biāo)表示法.ppt

一、向量的概念,二、向量的坐標(biāo)表示法,第二節(jié) 向量及其坐標(biāo)表示法,第八章 向量代數(shù) 空間解析幾何,記為 0 ，其方向不定.,如果方向相同、模相等，,模等于 1 的向量稱為單位向量.,即經(jīng)平行移動后，兩向量完全重合.,既有大小又有方向的量，,如力、位移、速度、加速度等.,這類量稱為向量，,或稱為矢量.,向量 a 的大小稱為該向量的模，,記作 | a |;,與 a 同向的單位向量記為 a ，,模等于 0 的向量稱為零向量，,兩個向量 a 與 b 不論起點(diǎn)是否一致，,則它們是相等的，,記為 a = b .,允許自由移動的向量稱為自由向量.,一、向量的概念,這就是向量加法的平行四邊形法則.,這個法則可以推廣到任意有限個向量相加的情形.,以 a 、b 為邊的平行四邊形的對角線所表示的向量如左圖，,則由 a 的起點(diǎn)到 b 的終點(diǎn)的向量.,設(shè)有兩個非零向量 a 、b ，,稱為兩向量 a 與 b 的和向量，,記為 a + b，,若以向量 a 的終點(diǎn)作為向量 b 的起點(diǎn)，,也是 a 與 b 的和向量.,這是向量加法的三角形法則.,定義 1,b,a,a,b,a+b,若向量 b 加向量 c 等于向量 a ，,從圖中可以看出:向量的加法滿足交換律和結(jié)合律.,即,a + b = b + a (a + b ) + c = a + (b + c).,根據(jù)向量加法的三角形法則，,則稱向量 c 為 a 與 b 之差，,記為 c = a - b .,c = a b,a,b, 是一個非零實(shí)數(shù)，,定義 2 設(shè) a 是一個非零向量，,則 a 與 的乘積仍是一個向量，,記作 a ，,且,( 1 ) | a | = | | | a |;,( 2 ) a 的方向,如果 = 0 或 a = 0，,規(guī)定 a = 0.,數(shù)乘向量滿足結(jié)合律與分配律，即,(a ) = ( ) a ，, ( a + b ) = a + b ，,( + ) a = a + b ，,其中 ， 是數(shù)量.,設(shè) a 是非零向量，,由數(shù)乘向量的定義可知，,且與 a 同方向，,所以有,向量 的模等于 1 ，,因此任一非零向量 a 都可以表示為,終點(diǎn)為 P(x, y, z).,過 a 的終點(diǎn) P(x, y, z)作三個平面分別垂直于三條坐標(biāo)軸，,則點(diǎn) A 在 x 軸上的坐標(biāo)為 x ，,在空間直角坐標(biāo)系中，,與x 軸、y 軸、z 軸的正向同向的單位向量分別記為 i、 j、k，,稱為基本單位向量.,設(shè)向量 a 的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) O，,設(shè)垂足依次為 A， B ，C，,根據(jù)向量與數(shù)的乘法運(yùn)算得向量,二、向量的坐標(biāo)表示法,于是， 由向量的三角形法則， 有,稱 a = xi + yj + zk 為向量 a 的坐標(biāo)表達(dá)式，,記作,其中 x，y，z 稱為向量 a 的坐標(biāo).,x,z,A,B,C,Q,a,i,j,P,O,y,k,向量的坐標(biāo)表示法,求向量 a 的坐標(biāo)表達(dá)式.,例 1,已知 是以 A( x1, y1, z1 )為起點(diǎn)，,B(x2, y2 , z2)為終點(diǎn)的向量，,解,A,z,y,x,O,B,a,設(shè),則,( 為數(shù)量).,或,例 2,已知 a = 2 , - 1 , - 3 ，,b = 2 , 1 , - 4 ，,求 a + b , a - b , 3a - 2b .,解,a + b,a - b,3a - 2b,那么它的終點(diǎn)坐標(biāo) A 的坐標(biāo)就是(ax , ay , az).,a 的起點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，,由兩點(diǎn)間距離公式可知,x,P,Q,y,R,z,A,O,a,b,非零向量 a 與三坐標(biāo)軸正向的夾角 、 、 (其中0 , 0 , 0 )，稱為向量 的方向角;,這三個角的余弦 cos 、cos 、cos 稱為向量a 的方向余弦.,因?yàn)镺PA、ORA 都是直角三角形，所以,例 3,已知 M1 ( 1 , -2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , -1 )，,求 的模及方向余弦.,解,由條件可得,設(shè)向量 a 的兩個方向余弦為,求向量 a 的坐標(biāo).,可知,例 4,解 因?yàn)?所以 =2 , 4 , 4 或 =2 , 4 ,4 .,因此,求其合力F 的大小及方向角.,例 5,已知作用于一質(zhì)點(diǎn)的三個力為,F1 = i2k ，,F2 =