正方形的性質(zhì)與判定_優(yōu)質(zhì)課件(1).ppt

19.2.3 正方形,2002年世界數(shù)學(xué)大會會標(biāo),圖片欣賞,剪一剪,1、給你一張正方形的彩色紙，你能一刀剪出如圖的正方形孔嗎？,正方形,矩形,剪一剪,2、給你一張矩形紙能把它折成一個正方形嗎？,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,創(chuàng)設(shè)情景,問題:,從這個圖形中你想到了什么？,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,A,B,鄰邊相等的矩形,想一想：正方形是怎樣的矩形？,矩形,正方形,新知探究,菱形,正方形,一個角是直角的菱形,想一想：正方形是怎樣的菱形？,新知探究,有一個角是直角,有一組鄰邊相等,回憶,如何在平行四邊形的基礎(chǔ)上來定義正方形,給正方形下個定義,定義：一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形,菱形,矩形,平行四邊形,平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關(guān)系,正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,正方形的性質(zhì)=,回顧平行四邊形，矩形，菱形的性質(zhì)，完成表格前三列,對邊平行且相等,四條邊相等,對邊平行且四條邊相等,對角相等,四個角都是直角,四個角都是直角,對角線互相平分,對角線相等,對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角,對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角,中心對稱圖形,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,圖形,性質(zhì),分類,正方形,類 比 歸 納,角 ：四個角都是直角,圖形的對稱性：既是軸對稱圖形, 又是中心對稱圖形.,正方形的性質(zhì),你覺得什么樣的四邊形是正方形呢?( 判斷一個四邊形是正方形有哪些方法？）,正方形的判定方法：,(可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）,定義法,四條邊相等，四個角都是直角,對角線互相垂直、平分且相等,以四邊形為基礎(chǔ)：,既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。,請發(fā)表你的見解，談?wù)勀愕氖斋@！,小結(jié),5種識 別方法,三個角是直角,四條邊相等,一個角是直角,或?qū)蔷€相等,一組鄰邊相等,或?qū)蔷€垂直,一組鄰邊相等,或?qū)蔷€垂直,一個角是直角,或?qū)蔷€相等,一個角是直角且一組鄰邊相等,平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié),挑戰(zhàn)自我,(1)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的 等腰直角三角形（ ） (2)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（ ） (3)如果一個菱形的對角線相等，那么它一定 是正方形 （ ） (4)如果一個矩形的對角線互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (5)四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形 是正方形（ ）,快速反應(yīng),判斷題:,（6）正方形一定是矩形（ ） （7）正方形一定是菱形（ ） （8）菱形一定是正方形（ ） （9）矩形一定是正方形（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四邊形 （ ）,（12）正方形是軸對稱圖形,一共有2條對稱軸( ),(13)四個角都相等的四邊形是正方形 ( ) (14)四條邊都相等的四邊形是正方形 ( ),正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ） A、四個角相等. B、對角線互相垂直平分. C、對角互補(bǔ). D、對角線相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A、四條邊相等. B、對角線互相垂直平分. C、對角線平分一組對角. D、對角線相等.,B,D,選擇題:,3、下列命題正確的是（ ） A、四個角都相等的四邊形是正方形 B、四條邊都相等的四邊形是正方形 C、對角線相等的平行四邊形是正方形 D、對角線互相垂直的矩形是正方形,D,4四個內(nèi)角都相等的四邊形一定是（ ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四邊形,5在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正 方形的是：（ ） AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCO BODO ABBC DACBD,C,A,6 四個內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D平行四邊形,A,1、如圖：正方形ABCD的周長為15cm，則矩形EFCG的周長為 cm。,7.5,試一試,4.已知：正方形ABCD對角線AC、BD相 交于點O，且AB2cm，則AC= , 正方形的面積S=_.,練一練,2,2,4,6,36,5.已知：在正方形ABCD中，對角線AC、 BD相交于點O，且AC6 cm， 面積S=_.則邊長AB_,5、已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O。,若AB=BC，則四邊形ABCD是（ ） 若AC=BD，則四邊形ABCD是（ ） 若BCD=900，則四邊形ABCD是（ ） 若OA=OB，則四邊形ABCD是（ ） 若AB=BC，且AC=BD，則四邊形ABCD是 （ ）,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，那么，BE和DE相等嗎？為什么？,解：BE=DE. 因為 對角線AC所在的直線是正方形ABCD的對稱軸，而點E在對稱軸上，點B為點D關(guān)于AC的對稱點， 所以 BE=DE,已知：如圖正方形ABCD對角線AC、BD相交于點O。,求證： ABO BCO CDO ADO,例1、求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個 全等的等腰直角三角形。,3如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要證明BMCN，大家觀察 圖形可以考慮證哪兩個三角形全等 ?,MNAB且MN分別交OA、OB于M、N，,求證：BMCN。,你能完成證明嗎?,ABBC，1245 條件夠嗎？,還需要的條件是 AMBN,ABMBCN,你所要證明的兩個三角形已經(jīng)滿足 了哪些條件?,由正方形可以得到的條件有：,例2、如圖，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BMCN。,證明：,OAOMOBON,OMON,OMN13ONM45,又MNAB,12345,OAOB AB=BC,四邊形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,例3、 直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求證：四邊形CEDF是正方形。,四邊形ABCD是正方形（ ), DE=DF( ),DEAC， DFBC, CD平分ACB, 四邊形ABCD為矩形( ),而ACB=90, DEC=90， DFC=90,證明： DEAC，DFAB,有三個角是 直角的四邊形是矩形,角平分線的定理,有一組鄰邊相等的矩形是正方形,4已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線 上一點，CEAF于E，交AD于M， 求證：MFD45,分析： 欲證MFD45，由于 MDF是直角三角形,只須證MDF是等腰三角形,即只要證 _=_,要證MDFD，大家只須證得哪兩個三角形全等?,試一試 看能不能完成證明?,CMDADF,例4、已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，CEAF于E，交AD于M， 求證：MFD45,證明：,DM=DF,RtCDMRtADF (AAS),又CDAD，ADFMDC=Rt,12,CMDAME,ADCAEM90,CEAF 四邊形ABCD是正方形,MFD45,1、如圖，在AB上取一點C，以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連結(jié)AF、BD延長BD交AF于H。 求證：(1) ACFDCB (2) BHAF,練一練,2、如圖(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，連結(jié)BG、CE，交點為N。 求證：CEAABG,證明：四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形。 AEAB AGAC 1290 又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BAC EACBAG AECABG (SAS) CEAABG,3、在正方形中，點，分別在，上，且.四邊形是正方形嗎？為什么？,4、如圖，點E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，BE=CF，探索圖中AE與BF的關(guān)系。,5、如圖，在正方形ABCD中，E在BC的延長線上，且CE=AC，AE交CD于F，則求AFC的度數(shù)。,6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中點,DEAB, DFAC,垂足分別是E,F. 1)試說明:DE=DF 2)只添加一個條件,使四邊形EDFA是正方形. 請你至少寫出兩種不同的添加方法.(不另外 添加輔助線,無需證明),1、在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）,課外拓展：,如何設(shè)計花壇？ 在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）,請你當(dāng)設(shè)計師,1 已知：正方形ABCD對角線AC、BD相 交于點O，且AB2cm，如圖(2)。,求：AC的長及正方形的面積S。,E,F,G,矩形EFCG的周長。,6、已知：如圖矩形ABCD,對角線AC、BD相交于點O，AE平分BAD交BC于點E，連接OE，若EAO=150，求BOE的度數(shù)。,7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點，PEAC于點E，PFBD于點F，求PE+PF的值。,8、如圖，正方形ABCD的邊長為8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一個動點，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,8、如圖，正方形ABCD的邊長為8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一個動點，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,9、已知，如圖在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN垂足為點E，,求證：四邊形ADCE是矩形。,當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCE是正方形，說明理由。,10、如圖B、C、E是同一直線上的三個點，四邊形ABCD與CEFG是正方形，連接BG、DE,（1）觀察、猜想BG與DE之間的大小關(guān)系，并說明理由。,（2）正方形CEFG在繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，BG與DE之間的關(guān)系是否仍然成立。,11、如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點，E是AB延長線上一點，MNDM，且交CBE的平分線于點N。,（1）求證：MD=MN,（2）若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M為AB上任意一點”，其它條件不變，問結(jié)論MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考題： 如圖正方形ABCD的對角線相交于點O，O又是另一個正方形OEFG的一個頂點，若正方形OEFG繞點O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中.,探究二:若正方形OEFG與正方形ABCD兩邊分別相交于M N，試判斷線段AM于BN之間的關(guān)系.,探究一:兩個正方形重疊部分的面積是否會發(fā)生變化？并說明理由。,探究四： 如圖，有兩個大小不等的兩個正 方形，其中小正方形的面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積為8，則小正方形的邊長為多少？,探究三: 若正方形OEFG繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，AM 與 BN之間的關(guān)系是否還成立？,構(gòu)建與證明,O,B,A,如圖，分別延長等腰直角三角形OAB的兩條直角邊AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求證：四邊形ABCD是正方形。,八年級 數(shù)學(xué),第十九章 四邊形,數(shù)一數(shù)圖中正方形的個數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？,多,多,多,（ ）個（ ）個 （ ）個 （ ）個,第n個圖中正方形有 個,3n-1,長見識,八年級 數(shù)學(xué),第十九章 四邊形,四邊形ABCD是正方形,兩條對角線相交于點O,(1)求AOB,OAB的度數(shù),8,解：四邊形ABCD是正方形 ACBD AOB=900 BAC=DAC OAB=450,(2)若AC=4，則正方形邊長 ; 正方形的面積是,4,(3)正方形的面積64cm，則對角線交點到正方形一邊的距離,AC為正方形ABCD的對角線，E為AC上一點，且AB=AE， EFAC交BC于F. 請說明：EC=EF=FB,解： 四邊形ABCD是正方形 B=900 , ACB=450 AEF=90