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一課題:點的軌跡的探求(圓錐曲線復習課4)二教學目標:使學生明確探求點的軌跡的思維出發(fā)點,初步理清解決這類問題的思路,能夠準確地把握這類問題.三教學重、難點:理清點的軌跡問題的思路.四教學過程:(一)引入:求曲線的方程、通過方程研究曲線是解析幾何的兩大主要內容。前面我們已經簡單地接觸到了一些求點的軌跡的問題,今天我們將對這個問題進行更加深入的研究.(二)問題分析:問題1如圖,是定圓內的一個定點,是圓上的動點,考察線段的垂直平分線與半徑的交點的軌跡.【分析】:注意到是垂直平分線, (是圓的半徑),是定值,又點在圓內,點的軌跡是以為焦點,為長軸長的橢圓。若要進一步求軌跡方程,則以中點為原點,所在直線為軸建立坐標系,設,所以,點的軌跡方程為說明:本題所用的求軌跡的方法即為“定義法”.問題2探求點的軌跡。(學生猜想,幾何畫板演示)【解法1】:,是定值,點的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,因此,點軌跡方程是【解法2】:點的運動是由點引起的,點是控制點運動的主動點。而點在已知圓上運動,其方程是已知的。如果能夠找出點與點的坐標之間的關系,然后再求出點的軌跡方程就不難了。設點,則,又點的坐標滿足圓的方程,點的軌跡方程是問題3將“是中點”改為“是線段的三等分點”,再探求點的軌跡.【解法1】:過作的平行線,交于,則,當在上的位置確定后,是定值,就是定值。因此,點軌跡是以為圓心,半徑為的圓?!窘夥?】:設,分的比為,又點坐標滿足圓的方程,有,即表示以為圓心,半徑為的圓。拓展:若是線段上的任意一點呢?【解法1】:與“問題3”類似?!窘夥?】:設,及分的比為,又點坐標滿足圓的方程,有,即表示圓心為,半徑為的圓。問題4線段上所有點的軌跡可組成什么樣的圖形?(先由學生猜測,再借助于動畫演示驗證結論,即為已知圓面)練習:探求線段中點的軌跡,并求出方程?!窘夥?】:設,又,由點坐標滿足方程,即【解法2】:,是定值,所以,點軌跡是以為焦點的橢圓。思考:問題1中,如果將點拖到圓的外面,此時線段與中垂線沒有交點,如果設延長線交中垂線于點,這時,的軌跡又怎樣?(答案:是一組雙曲線)小結:通過這節(jié)課的幾個軌跡的探求,我們可以體會到探求點的軌跡問題的出發(fā)點是找出
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