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反函數(shù)例題講解例1下列函數(shù)中,沒有反函數(shù)的是( )(A) y = x21(x)(B) y = x3+1(xR)(C) (xR,x1)(D) 分析:一個(gè)函數(shù)是否具有反函數(shù),完全由這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)決定判斷一個(gè)函數(shù)有沒有反函數(shù)的依據(jù)是反函數(shù)的概念從代數(shù)角度入手,可試解以y表示x的式子;從幾何角度入手,可畫出原函數(shù)圖像,再作觀察、分析作為選擇題還可用特例指出不存在反函數(shù)本題應(yīng)選(D)因?yàn)槿魕 = 4,則由 得 x = 3由 得 x = 1 (D)中函數(shù)沒有反函數(shù)如果作出 的圖像(如圖),依圖更易判斷它沒有反函數(shù)例2求函數(shù) (1x0)的反函數(shù)解:由 ,得: 1x2 = (1y)2, x2 = 1(1y)2 = 2yy2 1x0,故 又 當(dāng) 1x0 時(shí), 01x21, 01,011,即 0y1 所求的反函數(shù)為 (0x1)由此可見,對于用解析式表示的函數(shù),求其反函數(shù)的主要步驟是: 把給出解析式中的自變量x當(dāng)作未知數(shù),因變量y當(dāng)作系數(shù),求出x = ( y ) 求給出函數(shù)的值域,并作為所得函數(shù)的定義域; 依習(xí)慣,把自變量以x表示,因變量為y表示,改換x = ( y )為y = ( x )例3已知函數(shù) f ( x ) = x2 + 2x + 2(x1),那么 f 1 (2 )的值為_分析:依據(jù)f 1 (2 )這一符號的意義,本題可由f ( x )先求得f 1 ( x ),再求f 1 (2 )的值(略)依據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的聯(lián)系,設(shè)f 1 (2 ) = m,則有f ( m ) = 2據(jù)此求f 1 (2 )的值會簡捷些令 x2 + 2x + 2 = 2,則得:x2 + 2x = 0 x = 0 或 x =2 又x2)(4) (0x1)例3求函數(shù)的反函數(shù)點(diǎn)評:反函數(shù)為例4已知,求f f 1(x)的值點(diǎn)評:,注意f (x)的定義域?yàn)閤|xR且x1,值域?yàn)閥|yR且y3例5已知一次函數(shù)y=f (x)反函數(shù)仍是它自己,試求f (x)的表達(dá)式分析:設(shè)y=f (x)=ax+b (a0),則f 1(x)=(xb)由(xb)=ax+b得或 f (x)=x或f (x)=x+b (bR)例6若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)(1) 求a的取值范圍;(2) 求此函數(shù)的值域解:(1)方法一:原式可化為4xy+3y=ax+1,(4ya)x=13y,當(dāng)y,即時(shí),解得時(shí)原函數(shù)有反函數(shù)方法二:要使在其定義域內(nèi)存在反函數(shù),則需此函數(shù)為非常數(shù)函數(shù),即,所以時(shí)函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)(2) 由解得的反函數(shù)為的定義域是x|xR且x=故的值域是y|yR且y例7設(shè)函數(shù)y=f (x)滿足f (x1)=x22x+3(x0),求f 1(x+1)解: x0,則x11 f (x1)=(x1)2+2 (x0) f (x)=x2+2 (x1)由y=x2+2 (x1)解得(y3) (x3)故 (x2)點(diǎn)評:f 1(x+1)表示以x+1代替反函數(shù)f 1(x)中的x,所以要先求f 1(x),再以x+1代x,不能把f 1(x+1)理解成求f (x+1)的反函數(shù)習(xí)題1已知函數(shù)f (x)=x21 (x2),那么f 1(4)=_2函數(shù)y=x2+
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