2018版高考數(shù)學一輪復習導數(shù)及其應用3.1導數(shù)的概念及運算理.docx

第三章 導數(shù)及其應用 3.1 導數(shù)的概念及運算 理1導數(shù)與導函數(shù)的概念(1)一般地，函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是 ，我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作，即f(x0) .(2)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內構成一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)在開區(qū)間內的導函數(shù)記作f(x)或y.2導數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0)3基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.導數(shù)的運算法則若f(x)，g(x)存在，則有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyuux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積【知識拓展】1.奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)2.(f(x)0)3.af(x)bg(x)af(x)bg(x)4.函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”【思考辨析】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率()(2)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點()(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線()(5)函數(shù)f(x)sin(x)的導數(shù)是f(x)cos x()1(教材改編)若f(x)xex，則f(1)等于()A0 Be C2e De2答案C解析f(x)exxex，f(1)2e.2如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導函數(shù)的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是()答案D解析由yf(x)的圖象知yf(x)在(0，)上單調遞減，說明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0，)上也單調遞減，故可排除A，C.又由圖象知yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.3某質點的位移函數(shù)是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，則當t2 s時，它的加速度是()A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2答案A解析由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，當t2時，a(2)v(2)1221014.4設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f(x)，且f(x)f()sin xcos x，則f() .答案解析因為f(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.5曲線y5ex3在點(0，2)處的切線方程是 答案5xy20解析因為y|x05e05，所以曲線在點(0，2)處的切線方程為y(2)5(x0)，即5xy20.題型一導數(shù)的計算例1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)ysin(2x)；(5)yln(2x5)解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x)(ln x)().(3)y().(4)設u2x，則ysin u，則y(sin u)ucos(2x)2y2cos(2x)(5)令u2x5，則yln u，則y(ln u)u2，即y.思維升華(1)求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量(2)復合函數(shù)求導時，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，則x0等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017，則ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)且f(1)2，f(1)2.題型二導數(shù)的幾何意義命題點1求切線方程例2(1)(2016全國丙卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)在點(1，3)處的切線方程是 (2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)2xy10(2)B解析(1)設x0，則x0，f(x)ln x3x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切線方程為y2x1，即2xy10.(2)點(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設切點為(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點為(1,0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為yx1，即xy10.故選B.命題點2求參數(shù)的值例3(1)(2016泉州模擬)函數(shù)yex的切線方程為ymx，則m .(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m等于()A1 B3 C4 D2答案(1)e(2)D解析(1)設切點坐標為P(x0，y0)，由yex，得從而切線方程為又切線過定點(0,0)，從而解得x01，則me.(2)f(x)，直線l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.故選D.命題點3導數(shù)與函數(shù)圖象的關系例4如圖，點A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，過點E作OB的垂線l.記AOB在直線l左側部分的面積為S，則函數(shù)Sf(x)的圖象為下圖中的()答案D解析函數(shù)的定義域為0，)，當x0,2時，在單位長度變化量x內面積變化量S大于0且越來越大，即斜率f(x)在0,2內大于0且越來越大，因此，函數(shù)Sf(x)的圖象是上升的且圖象是下凸的；當x(2,3)時，在單位長度變化量x內面積變化量S大于0且越來越小，即斜率f(x)在(2,3)內大于0且越來越小，因此，函數(shù)Sf(x)的圖象是上升的且圖象是上凸的；當x3，)時，在單位長度變化量x內面積變化量S為0，即斜率f(x)在3，)內為常數(shù)0，此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線思維升華導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設切點為(x1，y1)，由求解即可(4)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢(1)(2017鄭州月考)已知曲線y3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為()A3 B2 C1 D.(2)(2016昆明模擬)設曲線y在點(，1)處的切線與直線xay10平行，則實數(shù)a等于()A1 B. C2 D2答案(1)A(2)A解析(1)設切點的橫坐標為x0，曲線y3ln x的一條切線的斜率為，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合題意)，即切點的橫坐標為3.(2)y，由條件知1，a1.3求曲線的切線方程典例若存在過點O(0,0)的直線l與曲線yx33x22x和yx2a都相切，求a的值錯解展示現(xiàn)場糾錯解易知點O(0,0)在曲線yx33x22x上(1)當O(0,0)是切點時，由y3x26x2，得y|x02，即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y2x.由得x22xa0，依題意44a0，得a1.(2)當O(0,0)不是切點時，設直線l與曲線yx33x22x相切于點P(x0，y0)，則y0x3x2x0，3x6x02，又kx3x02，聯(lián)立，得x0(x00舍去)，所以k，故直線l的方程為yx.由得x2xa0，依題意，4a0，得a.綜上，a1或a.糾錯心得求曲線過一點的切線方程，要考慮已知點是切點和已知點不是切點兩種情況.1若f(x)2xf(1)x2，則f(0)等于()A2 B0 C2 D4答案D解析f(x)2f(1)2x，令x1，則f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.2一質點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為st33t28t，那么速度為零的時刻是()A1秒 B1秒末和2秒末C4秒末 D2秒末和4秒末答案D解析s(t)t26t8，由導數(shù)的定義知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度為零3若直線yx是曲線yx33x2px的切線，則實數(shù)p的值為()A1 B2 C. D1或答案D解析y3x26xp，設切點為P(x0，y0)，解得或4.(2017鄭州質檢)已知yf(x)是可導函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導函數(shù)，則g(3)等于()A1 B0 C2 D4答案B解析由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，g(3)13()0.5已知曲線yln x的切線過原點，則此切線的斜率為()Ae Be C. D答案C解析yln x的定義域為(0，)，且y，設切點為(x0，ln x0)，則切線方程為yln x0(xx0)，因為切線過點(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切線的斜率為.6已知函數(shù)f(x)1，g(x)aln x，若在x處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為()A. B. C1 D4答案A解析由題意可知g(x)，由f()g()，得，可得a，經(jīng)檢驗，a滿足題意7已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(1，f(1)處的切線過點(2,7)，則a .答案1解析f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.所以函數(shù)在(1，f(1)處的切線方程為y(a2)(13a)(x1)將(2,7)代入切線方程，得7(a2)13a，解得a1.8(2016邯鄲模擬)曲線ylog2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積等于 答案解析y，k，切線方程為y(x1)三角形面積S1.9若函數(shù)f(x)x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 答案2，)解析f(x)x2axln x，定義域為(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點，即xa0有解，ax2. *10.已知曲線f(x)xn1(nN*)與直線x1交于點P，設曲線yf(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值為 答案1解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，點P(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 015，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.11已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程解(1)P(2,4)在曲線yx3上，yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率為y|x24.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A(x0，x)，則切線的斜率為x.切線方程為y(x)x(xx0)，即yxxx.點P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為xy20或4xy40.12已知函數(shù)f(x)x32x23x(xR)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍解(1)由題意得f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是1，)(2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結合(1)中結論可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，) *13.設函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(